4.2.1 實際問題的函數(shù)刻畫 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 １.知識技能： （１）培養(yǎng)學(xué)生由實際問題轉(zhuǎn)化為教學(xué)問題的建模能力。 （２）使學(xué)生會利用函數(shù)圖象的和性質(zhì)，對函數(shù)進行處理，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，并根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)論解決實際問題。 （３）通過學(xué)習(xí)函數(shù)基本模型的應(yīng)用，初步向?qū)W生滲透理論與實踐的辨證關(guān)系。 ２.過程與方法： （１）通過實際問題情境，了解實際問題中量與量之間的變化規(guī)律，可以用函數(shù)來刻畫，研究函數(shù)的性質(zhì)就等價于研究實際問題中量與量之間的函數(shù)關(guān)系。 （２）通過學(xué)生的討論、探究，使學(xué)生會將實際問題抽象、概括，化歸為函數(shù)問題，進而逐步培養(yǎng)解決實際問題的能力。 ３.情感、態(tài)度與價值觀： （１）體會事物發(fā)展變化的 “對立統(tǒng)一”規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生辨證唯物主義思想。 （２）教育學(xué)生愛護環(huán)境，維護生態(tài)平衡。 （３）體會研究函數(shù)問題的一般方法，體驗由具體到抽象的思維過程，感受常用的簡單重要函數(shù)模型在實際問題中的作用，領(lǐng)悟方程與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識，概括歸納能力和科學(xué)的思維方式。 【學(xué)習(xí)重點】常用簡單函數(shù)模型的應(yīng)用。 【學(xué)習(xí)難點】實際問題的函數(shù)刻畫化歸。 【學(xué)法指導(dǎo)】利用多媒體教學(xué)手段，根據(jù)教師的引導(dǎo)啟發(fā)，同學(xué)們之間的交流合作、討論、觀察、分析、概括、歸納、總結(jié)，達到教學(xué)目標(biāo)的要求。 【課前預(yù)習(xí)】閱讀教科書P137~P139，嘗試完成以下兩題： 1．商店的一種商品每個進價80元，零售價100元．為了促進銷售，開展購一件商品贈送一個小禮品的活動，在一定的范圍內(nèi)，禮品價格每增加l元，銷售量增加10％．求利潤與禮品價格”之間的函數(shù)關(guān)系． 2．在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到al，a2，…，an，共n個數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”“是這樣一個量：與其他近似值比較，a與各數(shù)據(jù)差的平方和最?。来艘?guī)定，請用a1，a2，…，an表示出a． 【課堂互動】 [課堂引入] 有一大群兔子在喝水嬉戲，但這群兔子曾使澳大利亞人傷透了腦筋？為什么？還是從頭說起： 1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子沒有天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了澳大利亞，數(shù)量達75億只，兔子太多，為了生存，變得可惡起來，75億只兔子，吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲畜，這些使澳大利亞人頭痛不已，他們采用了各種方法，消滅兔子，直至20世紀(jì)50年代，科學(xué)家采用載液病毒殺死了90%的兔子，澳大利亞人才算松了一口氣。 問題：自然界一個種群的數(shù)量增加有無規(guī)律？能否用數(shù)學(xué)的方法來刻畫，怎么刻畫？ [活動過程1] 問題1 當(dāng)人的生活環(huán)境溫度改變時，人體代謝率也有相應(yīng)的變化．表4—2給出了實驗的一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)能說明什么? 表4—2 環(huán)境溫度/（℃） 4 10 20 30 38 代謝率／4185J／（h·m2） 60 44 40 40．5 54 分析: （1） 該問題中反映的信息中有哪些量? （2） 這幾個量之間存在怎樣的依賴關(guān)系? （3） 數(shù)據(jù)提供的信息是什么（揭示了怎 樣的規(guī)律）? （4）上述規(guī)律有什么現(xiàn)實指導(dǎo)意義？ [活動過程2] 問題2 某廠生產(chǎn)一種暢銷的新型工藝品，為此更新專用設(shè)備和制作模具花去廠200000元，生產(chǎn)每件上藝品的直接成本為300元，每件工藝品的售價為500元，產(chǎn)量x對總成本C、單位成本P、銷售收入R以及利潤L之間存在什么樣的函數(shù)關(guān)系?表示了什么實際含義， （1）該問題中反映的信息中有哪些量? （2） 這幾個量之間存在怎樣的依賴關(guān)系? [活動過程3] 問題3 如圖4—7，在一條彎曲的河道上，設(shè)置了六個水文監(jiān)測站．現(xiàn)在需要在河邊建一個情報中心，從各監(jiān)測站沿河邊分別向情報中心鋪沒專用通信電纜，怎樣刻畫專用通信電纜的總長度? 解: [課堂小結(jié)]：本節(jié)課我們通過幾例實際問題，體會到了用一次函數(shù)（分段）模型來刻畫實際問題的方法，明白數(shù)形結(jié)合法是研究函數(shù)性質(zhì)，解決實際問題的有效方法 問題1：當(dāng)環(huán)境溫度改變時，人體代謝率也有相應(yīng)的變化，通過對實驗數(shù)據(jù)的分析，它可以確定由環(huán)境溫度值到人體代謝率各數(shù)值的一個函數(shù)，通過對這個函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們體會到用函數(shù)能夠刻畫（社會的）人的代謝率與溫度（自然的）的關(guān)系。 問題2：總成本C，單位成本P，銷售收入R，利潤L都是產(chǎn)量x的函數(shù)。 問題3：用“以直代曲”的辦法，可確定電纜總長度的函數(shù)。 通過以上實例可以看出函數(shù)作為描述變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型在刻畫現(xiàn)實問題中具有廣泛的應(yīng)用。小到一個人的成長過程，大到一個國家的人口增長；小到一架飛機的飛行路線，大到天體的運動軌跡；小到冰塊的溫度變化過程，大到全球溫度的變暖，都可利用函數(shù)進行刻畫和研究。 [課堂練習(xí)] 1．某市有甲乙兩家乒乓球俱樂部，兩家的設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費方式不同。甲家每張球臺每小時5元，乙家按月計費，一個月中30小時（含30小時）每張球臺90元，超過30小時的部分，每張球臺每小時2元。某人準(zhǔn)備下個月從這兩家中的一家租一張球臺，開展活動。其活動時間不少于15小時，也不超過40小時；設(shè)在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g（x）元（15≤x≤40）。 （1）寫出f（x）和g（x）的解析式。 （2）假設(shè)你和你的同伴想去該人處進行乒乓球訓(xùn)練，按時間來算，你們該怎樣選擇，費用比較低？ 提示：①利用f（x）=g（x）解方程得出x； ②在同一坐標(biāo)系中利用函數(shù)圖象相交，直接觀察、分析、概括。 [達標(biāo)檢測] y 140 50E 20F O 100 500 x 方案A N P C D 方案B 1．電信局為了滿足客戶不同需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費（元）與通話時間（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，（其中MN//CD） （1）分別求出方案A、B應(yīng)付話費（元）與通話時間X（分鐘）的函數(shù)表達式f（x）和g（x）。 （2）假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A、B兩種優(yōu)惠方案？并說明理由。 2．Ａ、Ｂ兩城相距１００km，在兩地之間距Ａ城xkm處Ｄ建一核電站給Ａ、Ｂ兩城供電，為得讓城市安全，核電站距城市距離不得少于１０km。已知供電費用與供電距離得平方和和供電量之積成正比，比例系數(shù)x＝０.２５。若Ａ城供電量為２０億度／月，Ｂ城為１０億度／月，把月供電總費用y表示成x的函數(shù)，并求出定義域，并回答，應(yīng)將電站建在何處，月供電總費用最低？ 140 N 方案A 方案B D 50 E P 20 F M C 0 X 100 500 通話時間（分）