《2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破10 數(shù)列求和 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破10 數(shù)列求和 理（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、必考問(wèn)題10　數(shù)列求和 1．(2020·全國(guó))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 答案： A　[設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋4d＝5，S5＝5a1＋d＝15，得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n，所以＝＝－，所以S100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故選A.] 2．(2020·全國(guó))設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝(　　)． A．8 B．7

2、C．6 D．5 答案：D　[∵{an}是等差數(shù)列，a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.由已知得Sk＋2－Sk＝ak＋2＋ak＋1＝2(k＋2)＋2(k＋1)－2＝4k＋4＝24，所以k＝5，故選D.] 3．(2020·福建)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 答案：A　[∵{an}是等差數(shù)列，∴a4＋a6＝2a5＝－6，即a5＝－3，d＝＝＝2得{an}是首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列，所有的非正項(xiàng)之和最?。遖6＝－1，a7＝1，∴當(dāng)n＝6時(shí)，Sn取最?。?/p>

3、故選A.] 4．(2020·江西)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________. 解析　∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1，可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1，即當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝1，∴a10＝1. 答案　1 本部分是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，題型有選擇題、填空題和解答題．對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題，求遞推數(shù)列(以遞推形式給出的數(shù)列)的通項(xiàng)是一個(gè)難點(diǎn)，而數(shù)列的求和問(wèn)題多從數(shù)列的通項(xiàng)入手，并與不等式證明或求解結(jié)合，有一定難度． (1)牢固掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的遞推公式和通項(xiàng)公式，以一階線性的遞推公式

4、求通項(xiàng)的六種方法(觀察法、構(gòu)造法、猜歸法、累加法、累積法、待定系數(shù)法)為依托，掌握常見(jiàn)的遞推數(shù)列的解題方法．對(duì)于既非等差又非等比的數(shù)列要綜合運(yùn)用觀察、歸納、猜想、證明等方法進(jìn)行研究，要善于將其轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，這是一種非常重要的學(xué)習(xí)能力． (2)對(duì)于數(shù)列求和部分的復(fù)習(xí)要注意以下幾點(diǎn)：①熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式及其應(yīng)用，這是數(shù)列求和的基礎(chǔ)；②掌握好分組、裂項(xiàng)、錯(cuò)位相減、倒序相加法這幾種重要的求和方法，特別要掌握好裂項(xiàng)與錯(cuò)位相減求和的方法，這是高考考查的重點(diǎn)；③掌握一些與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問(wèn)題的解決方法，如求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，研究前n項(xiàng)和所滿足的不等式等. 必備知識(shí) 求通項(xiàng)

5、公式的方法 (1)觀察法：找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，然后猜想檢驗(yàn)，即得通項(xiàng)公式an； (2)利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系an＝ (3)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式； (4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累積法，如＝f(n)； (5)轉(zhuǎn)化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)． 常用公式 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋32＋…＋n2＝. 常用裂項(xiàng)方法 (1)＝－； (2)＝－. 必備方法 1．利用轉(zhuǎn)化，解決遞推公式為Sn與an的關(guān)系式：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：an＝通過(guò)紐帶：an＝Sn－Sn－

6、1(n≥2)，根據(jù)題目求解特點(diǎn)，消掉一個(gè)an或Sn.然后再進(jìn)行構(gòu)造成等差或者等比數(shù)列進(jìn)行求解．如需消掉Sn，可以利用已知遞推式，把n換成(n＋1)得到新遞推式，兩式相減即可．若要消掉an，只需把a(bǔ)n＝Sn－Sn－1代入遞推式即可．不論哪種形式，需要注意公式an＝Sn－Sn－1成立的條件n≥2. 2．裂項(xiàng)相消法的基本思想是把數(shù)列的通項(xiàng)an分拆成an＝bn＋1－bn或者an＝bn－bn＋1或者an＝bn＋2－bn等，從而達(dá)到在求和時(shí)逐項(xiàng)相消的目的，在解題中要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消的條件． 3．錯(cuò)位相減法適用于數(shù)列由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積

7、構(gòu)成的數(shù)列的求和，乘以等比數(shù)列的公比再錯(cuò)位相減，即依據(jù)是：cn＝anbn，其中{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，則qcn＝qanbn＝anbn＋1，此時(shí)cn＋1－qcn＝(an＋1－an)bn＋1＝dbn＋1，這樣就把對(duì)應(yīng)相減的項(xiàng)變?yōu)榱艘粋€(gè)等比數(shù)列，從而達(dá)到求和的目的. 數(shù)列的遞推關(guān)系一直是高考“久考不衰”的考點(diǎn)，具有題型新穎、方法靈活等特點(diǎn)，求通項(xiàng)的常用方法有：定義法、公式法、累加法、累乘法、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法等．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，且an＋1＝，n＝1，2，…. (1)證明：數(shù)列－1是等

8、比數(shù)列； (2)令bn＝－1，試求數(shù)列{n·bn}的前n項(xiàng)和Sn. [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽(tīng)課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] 對(duì)于第(1)問(wèn)，由條件利用等比數(shù)列的定義即可證明；對(duì)于第(2)問(wèn)，求數(shù)列{n·bn}的前n項(xiàng)和Sn，只需利用錯(cuò)位相減法即可． (1)證明　由已知，得＝·＋，n＝1,2，…， ∴－1＝－1，n＝1,2，…. ∴數(shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列． (2)解　由bn＝－1＝(n≥1)， 得Sn＝1·b1＋2·b2＋3·b3＋…＋(n－1)·bn－1＋n·bn ＝1·＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·. ∴Sn＝1·＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·. ∴

9、Sn＝＋＋＋＋…＋－n· ＝－n·. ∴Sn＝1－－n·＝－. 對(duì)于由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)an的問(wèn)題，一般有以下幾種題型： (1)類型an＋1＝can＋d(c≠0,1)，可以通過(guò)待定系數(shù)法設(shè)an＋1＋λ＝c(an＋λ)，求出λ后，化為等比數(shù)列求通項(xiàng)；(2)類型an＋1＝an＋f(n)與an＋1＝f(n)·an，可以分別通過(guò)累加、累乘求得通項(xiàng)； (3)類型an＋1＝can＋rn(c≠0，r≠0)，可以通過(guò)兩邊除以rn＋1，得＝·＋，于是轉(zhuǎn)化為類型(1)求解． 【突破訓(xùn)練1】 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)證明：數(shù)列{an－n}是等

10、比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn； (3)證明：不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立． (1)證明　由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1，得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*. 又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列． (2)解　由(1)可知an－n＝4n－1，于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－1＋n.所以，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＋. (3)證明　對(duì)任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＋－4＋＝－(3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立． 裂項(xiàng)法求和是近幾年高考的熱點(diǎn)，試題設(shè)計(jì)年

11、年有變、有創(chuàng)新，但變的僅僅是試題的外殼，有效地轉(zhuǎn)化、化歸問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，常與不等式綜合命制解答題．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? 已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝6x－2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜對(duì)所有n(n∈N*)都成立的最小正整數(shù)m. [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽(tīng)課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] (1)由f′(x)＝6x－2可求f(x)，則可得Sn與n的關(guān)系式，再由an＝Sn－Sn

12、－1(n≥2)求an. (2)由裂項(xiàng)求和求Tn，再由單調(diào)性求Tn的最大值． 解　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝6x－2， 得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x. 又因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上， 所以Sn＝3n2－2n. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)] ＝6n－5. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＝1，所以，an＝6n－5(n∈N*)． (2)由(1)知bn＝＝ ＝－，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1－＋－＋

13、…＋－ ＝1－. 因此，要使1－＜(n∈N*)成立， 則m需滿足≤即可，則m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10. 使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的． 【突破訓(xùn)練2】 已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn中S3＝. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (解　(1)若q＝1，則S3＝≠不符合題意，∴q≠1. 當(dāng)q≠1時(shí)，由得q＝－. ∴an＝·－n－1＝－n＋1. (2)∵bn＝log|an|＝log＝n＋1， ∴＝＝－， ∴Tn

14、＝＋＋…＋ ＝－＋－＋…＋－ ＝－. 錯(cuò)位相減法求和作為求和的一種方法在近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，復(fù)習(xí)時(shí)要熟練掌握錯(cuò)位相減法求和的特點(diǎn)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? (2020·淄博一模)已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)． (1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an－1}的前n項(xiàng)和Sn. [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽(tīng)課記錄](méi) [審題視點(diǎn)] (1)作差：－后，把a(bǔ)n＝2an－1＋2n－1代入；(2)求出an－1，利用錯(cuò)位相減法求和． (1)證明　設(shè)bn＝，b1＝＝2. ∴bn－bn－1＝－＝(an－

15、2an－1)＋1 ＝(2n－1)＋1＝1. 所以數(shù)列為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列． (2)解　由(1)知，＝＋(n－1)×1， ∴an－1＝(n＋1)·2n. ∵Sn＝2·21＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n，① ∴2Sn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1.② ①－②，得－Sn＝4＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)·2n＋1， ∴Sn＝－4－4(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋1， ∴Sn＝n·2n＋1. 錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和是一類重要方法．在應(yīng)用這種方法時(shí)，一定要抓住數(shù)列的特征．即數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等

16、比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列的求和問(wèn)題．所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減，要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù)． 【突破訓(xùn)練3】 (2020·天津)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式； (2)記Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，證明：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)． (1)解　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由條件，得方

17、程組解得 所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*. (2)證明　法一　由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，① 2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.② 由②－①，得 Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2 ＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*. 法二?、佼?dāng)n＝1時(shí)，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立； ②證明：假設(shè)

18、當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk ＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由①和②，可知對(duì)任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立． 數(shù)列綜合題中的轉(zhuǎn)化與推理 數(shù)列是一個(gè)既有相對(duì)獨(dú)立性，又與其他知識(shí)

19、易交匯的知識(shí)點(diǎn)，命題者為體現(xiàn)考查思維的綜合性與創(chuàng)新性，經(jīng)常讓數(shù)列與一些其他知識(shí)交匯，有效地考查考生對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法的深刻理解，以及考生的數(shù)學(xué)潛能與思維品質(zhì)．因此，要利用轉(zhuǎn)化與推理將大問(wèn)題(或綜合性問(wèn)題)分解為小問(wèn)題(或基礎(chǔ)性問(wèn)題)，降低問(wèn)題難度． 【示例】? (2020·湖南)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，…. (1)若a1＝1，a2＝5，且對(duì)任意n∈N*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：數(shù)列{an}是公比為q的等

20、比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列． [滿分解答]　(1)對(duì)任意n∈N*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)， 即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4. 故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列． 于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.(5分) (2)①必要性：若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則對(duì)任意n∈N*，有an＋1＝anq.由an＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是 ＝＝＝q， ＝＝＝q， 即＝＝q，

21、所以三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．(8分) ②充分性：若對(duì)任意n∈N*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，則B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)． 于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－qa1. 由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，從而an＋2－qan＋1＝0. 因?yàn)閍n＞0，所以＝＝q.故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列． 綜上所述，數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n

22、)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．(12分) 老師叮嚀：本題看似新穎，但揭開(kāi)面紗卻很平常.它很好地考查了考生的應(yīng)試心理和推理論證的能力，用到的知識(shí)卻很簡(jiǎn)單，失去信心是本題失分的主要原因.第(1)問(wèn)根據(jù)B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)即可輕松解決；第(2)問(wèn)需分充分性和必要性分別證明，其依據(jù)完全是非常簡(jiǎn)單的等比數(shù)列的定義，其關(guān)鍵是要有較好的推理論證能力. 【試一試】 (2020·山東)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm. 解　(1)因?yàn)閧an}是一個(gè)等差數(shù)列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得，28＝a1＋3×9，即a1＝1. 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)對(duì)m∈N*，若9m＜an＜92m，則9m＋8＜9n＜92m＋8. 因此9m－1＋1≤n≤92m－1.故得bm＝92m－1－9m－1. 于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm ＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1) ＝－ ＝.