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1、2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練(五) 理 新課標(biāo)(湖南專用)
時(shí)量:50分鐘 滿分:50分
解答題:本大題共4小題,第1,2,3小題各12分,第4小題14分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
1.已知向量a=(sin2x,cos2x),b=(cos2x,-cos2x).
(1)若x∈(,),a·b+=-,求cos4x的值;
(2)設(shè)△ABC的三邊a,b,c滿足b2=ac,且邊b所對應(yīng)的角為x,若關(guān)于x的方程a·b+=m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的值.
解析:由已知a·b=sin2xcos2x-cos22x
=sin4x-(1+cos4x)
=si
2、n(4x-)-.
(1)由a·b+=-,得sin(4x-)=-.
又
3、5分(含85分)以上為優(yōu)秀)
序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
數(shù)學(xué)成績
71
84
98
95
75
80
94
92
65
67
物理成績
81
82
93
90
63
72
87
91
71
58
(1)根據(jù)上表完成下面的2×2列聯(lián)表:
數(shù)學(xué)成
績優(yōu)秀
數(shù)學(xué)成績
不優(yōu)秀
合計(jì)
物理成
績優(yōu)秀
物理成績
不優(yōu)秀
合計(jì)
(2)根據(jù)題(1)中表格的數(shù)據(jù)計(jì)算,有多少把握認(rèn)為同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)系?
(3)約定:數(shù)學(xué)成績70分(不包含70
4、分)以下為成績一般,70分到89分為成績中檔,90分(包含90分)以上為成績優(yōu)秀,分別以樣本中上述三檔成績的平均分為總體的平均分,請估計(jì)該班數(shù)學(xué)的平均成績.
附:K2=,
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解析:(1)
數(shù)學(xué)成
績優(yōu)秀
數(shù)學(xué)成績
不優(yōu)秀
合計(jì)
物理成
績優(yōu)秀
4
0
4
物理成績
不優(yōu)秀
0
6
6
合計(jì)
4
6
10
(2)由于K2==10>6.635.
故有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)系.
(3)由題設(shè),可設(shè)成績一般,成績中檔,成績優(yōu)
5、秀的平均分分別為ξ1,ξ2,ξ3,
且ξ1==66,ξ2==77.5,
ξ3==94.75,
而平均成績的分布列為
ξ
66
77.5
94.75
P
Eξ=66×+77.5×+94.75×=82.1.
由此估計(jì)該班數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?2.1分.
3.如圖,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.
(1)在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面EAB?請證明你的結(jié)論;
(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值.
解析:(1)線段BC的中點(diǎn)就是滿足條件的P.
6、
證明如下:
取AB的中點(diǎn)F,連接DP,PF,EF,
則FP∥AC,F(xiàn)P=AC.
取AC的中點(diǎn)M,連接EM,EC.
因?yàn)锳E=AC且∠EAC=60°,
所以△EAC是正三角形,所以EM⊥AC,
所以四邊形EMCD為矩形,所以ED=MC=AC.
又因?yàn)镋D∥AC,ED∥FP且ED=FP,
所以四邊形EFPD是平行四邊形.
所以DP∥EF,而EF?平面EAB,DP?平面EAB,
所以DP∥平面EAB.
(2)方法1:過B作AC的平行線l,過C作l的垂線交l于G,連接DG.
因?yàn)镋D∥AC,所以ED∥l,
l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱.
因?yàn)槠矫鍱AC
7、⊥平面ABC,DC⊥AC,
所以DC⊥平面ABC,
又因?yàn)閘?平面ABC,所以DC⊥l,
所以l⊥平面DGC,所以l⊥DG,
所以∠DGC是所求二面角D-BG-C的平面角.
設(shè)AB=AC=AE=2a,則CD=a,GC=2a,
所以GD==a,
所以cosθ=cos∠DGC==.
方法2:因?yàn)椤螧AC=90°,平面EACD⊥平面ABC,
所以以點(diǎn)A為原點(diǎn),直線AB為x軸,直線AC為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則z軸在平面EACD內(nèi)(如圖).
設(shè)AB=AC=AE=2a,由已知,得B(2a,0,0),E(0,a,a),D(0,2a,a).
所以=(2a,-a,-a)
8、,=(0,a,0),
設(shè)平面EBD的法向量為n=(x,y,z),
則n⊥且n⊥,
所以,所以,
取z=2,
得平面EBD的一個(gè)法向量為n=(,0,2).
又因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量為n′=(0,0,1).
cosθ=|cos〈n,n′〉|
==.
4.某市近郊有一塊大約500 m×500 m的接近正方形的荒地,地方政府準(zhǔn)備在此建一個(gè)綜合性休閑廣場,首先要建設(shè)如圖所示的一個(gè)矩形場地,其總面積為3000 m2,其中場地四周(陰影部分)為通道,通道寬度均為2 m,中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場地(其中兩個(gè)小場地形狀相同),塑膠運(yùn)動(dòng)場地的占地面積為S m2.
(1)分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域);
(2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值,最大值為多少?
解析:(1)由已知xy=3000,2a+6=y(tǒng),
則y=(6≤x≤500).
S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a
=(2x-10)·
=(x-5)(y-6)
=3030-6x-(6≤x≤500).
(2)S=3030-6x-≤3030-2
=3030-2×300=2430.
當(dāng)且僅當(dāng)6x=,即x=50時(shí),“=”成立,
此時(shí)y=60,Smax=2430,
即設(shè)計(jì)x=50 m,y=60 m時(shí),運(yùn)動(dòng)場地面積最大,最大值為2430 m2.