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2020年全國高考數(shù)學第二輪復習 專題四 數(shù) 列第2講 數(shù)列的求和及其綜合應用 理

上傳人:艷*** 文檔編號:110287300 上傳時間:2022-06-18 格式:DOC 頁數(shù):11 大?。?.10MB
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1、專題四 數(shù) 列第2講 數(shù)列的求和及其綜合應用 真題試做 1.(2020·遼寧高考,理6)在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11=(  ). A.58     B.88    C.143     D.176 2.(2020·大綱全國高考,理5)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列的前100項和為(  ). A.     B.   C.     D. 3.(2020·課標全國高考,理16)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項和為__________. 4.(2020·福建高考,理14)

2、數(shù)列{an}的通項公式an=ncos+1,前n項和為Sn,則S2 012=________. 5.(2020·天津高考,理18)已知{an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式; (2)記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,證明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*). 考向分析 高考中對數(shù)列求和及其綜合應用的考查題型,主客觀題均會出現(xiàn),主觀題較多.一般以等差、等比數(shù)列的定義以及通項公式、前n項和公式的運用設計試題.考查的熱點主要有四個方面:(1)考查數(shù)列

3、的求和方法;(2)以等差、等比數(shù)列的知識為紐帶,在數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的交匯處命題,主要考查利用函數(shù)觀點解決數(shù)列問題以及用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì),多為中檔題;(3)數(shù)列與解析幾何交匯的命題,往往會先遇到遞推數(shù)列,通常以解析幾何作為試題的背景,從解析幾何的內(nèi)容入手,導出相關的數(shù)列關系,再進一步地解答相關的問題,試題難度大都在中等偏上,有時會以壓軸題的形式出現(xiàn);(4)數(shù)列應用題主要以等差、等比數(shù)列為工具,在數(shù)列與生產(chǎn)、生活實際問題的聯(lián)系上設計問題,考查閱讀理解能力、數(shù)學建模能力和數(shù)學應用的意識與能力,主要以解答題的形式出現(xiàn),多為中高檔題. 熱點例析 熱點一 數(shù)列的求和 【例1】(

4、2020·山東青島一模,20)已知等差數(shù)列{an}(n∈N*)中,an+1>an,a2a9=232,a4+a7=37. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若將數(shù)列{an}的項重新組合,得到新數(shù)列{bn},具體方法如下: b1=a1,b2=a2+a3,b3=a4+a5+a6+a7,b4=a8+a9+a10+…+a15,…,依此類推, 第n項bn由相應的{an}中2n-1項的和組成,求數(shù)列的前n項和Tn. 規(guī)律方法 數(shù)列求和的關鍵是分析其通項,數(shù)列求和主要有以下方法:(1)公式法:若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,則可直接由等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求和;(2)分組求和法:一個數(shù)列的通

5、項公式是由幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列通項公式組成,求和時可以用分組求和法,即先分別求和,然后再合并;(3)若數(shù)列{an}的通項能轉(zhuǎn)化為f(n)-f(n-1)(n≥2)的形式,常采用裂項相消法求和;(4)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,則求數(shù)列{an·bn}的前n項和時,可采用錯位相減法;(5)倒序相加法:若一個數(shù)列{an}滿足與首末兩項等“距離”的兩項和相等或等于同一常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項和,可采用倒序相加法,如等差數(shù)列的通項公式就是用該法推導的. 特別提醒:(1)利用裂項相消法求和時,應注意抵消后并不一定只剩第一項和最后一項,也可能前面剩兩項,后面也剩兩項.

6、 (2)利用錯位相減法求和時,應注意:①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應注意兩式“錯項對齊”;②當?shù)缺葦?shù)列的公比為字母時,應對字母是否為1進行討論. 變式訓練1 (2020·甘肅靖遠、中恒聯(lián)考,21)已知數(shù)列{an}中a1=2,an+1=2-,數(shù)列{bn}中bn=,其中n∈N*. (1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列; (2)設Sn是數(shù)列的前n項和,求++…+; (3)設Tn是數(shù)列的前n項和,求證:Tn<. 熱點二 數(shù)列與函數(shù)、不等式交匯 【例2】(2020·湖北孝感統(tǒng)考,22)已知數(shù)列{an}滿足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n=1,2,3,…). (1)求證:數(shù)

7、列{an-1}是等比數(shù)列; (2)令bn=(2-n)(an-1)(n=1,2,3,…),如果對任意n∈N*,都有bn+t≤t2,求實數(shù)t的取值范圍. 規(guī)律方法 (1)由于數(shù)列的通項是一類特殊的函數(shù),所以研究數(shù)列中的最大(小)項問題可轉(zhuǎn)化為求相應函數(shù)的單調(diào)性進行求解,但要注意數(shù)列中的自變量只能取正整數(shù)這一特點; (2)要充分利用數(shù)列自身的特點,例如在需要用到數(shù)列的單調(diào)性時,可以通過比較相鄰兩項的大小進行判斷; (3)對于數(shù)列的前n項和,沒有直接可套用的公式,但如果涉及大小比較等一些不等關系,可考慮放縮法:<或>,轉(zhuǎn)化為數(shù)列或,用裂項相消法求和后即可達到大小比較的目的. 變式訓練2 (理

8、科用)(2020·安徽合肥一模,21)已知數(shù)列{an}中,a1=1,nan+1=2(a1+a2+…+an). (1)求a2,a3,a4; (2)求數(shù)列{an}的通項an; (3)設數(shù)列{bn}滿足b1=,bn+1=+bn. 試證明:①->-;?、赽n<1. 熱點三 數(shù)列與解析幾何的交匯 【例3】(2020·陜西高考,理19)如圖,從點P1(0,0)作x軸的垂線交曲線y=ex于點Q1(0,1),曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2,依次重復上述過程得到一系列點:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,記Pk點的坐標為(xk,0)(k=1,2,…,n

9、). (1)試求xk與xk-1的關系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|. 規(guī)律方法 對于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題,通常利用幾何知識,并結(jié)合圖形,先得出關于數(shù)列相鄰項an與an+1之間的關系,然后根據(jù)這個遞推關系,結(jié)合所求內(nèi)容變形,得出通項公式或其他所求結(jié)論. 變式訓練3 設C1,C2,…,Cn,…是坐標平面上的一列圓,它們的圓心都在x軸的正半軸上,且都與直線y=x相切,對每一個正整數(shù)n,圓Cn都與圓Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半徑,已知{rn}為遞增數(shù)列. (1)證明:{rn}為等比數(shù)列; (2)設r1=1,求數(shù)列的

10、前n項和. 熱點四 數(shù)列在實際問題中的應用 【例4】(2020·湖南高考,文20)某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M,M的價值在使用過程中逐年減少.從第2年到第6年,每年初M的價值比上年初減少10萬元;從第7年開始,每年初M的價值為上年初的75%. (1)求第n年初M的價值an的表達式; (2)設An=,若An大于80萬元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年初對M更新.證明:須在第9年初對M更新. 規(guī)律方法 能夠把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題,并且能夠明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,能確定首項,公差(比),項數(shù)各是什么,能分清是某一項還是某些項的性質(zhì)是解決問題的關鍵. (1)在數(shù)列應

11、用題中,如果增加(或減少)的量是一個固定量時,該模型為等差模型,增加(或減少)的量就是公差,則可把應用題抽象為等差數(shù)列問題,然后用等差數(shù)列的知識對模型解析,最后再返回到實際中去; (2)若后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù),該模型為等比模型,這個固定的數(shù)就是公比,則可把應用題抽象為等比數(shù)列問題,然后用等比數(shù)列的知識對模型解析,最后再返回到實際中去; (3)若題目中給出的前后兩項之間的關系不固定,隨項的變化而變化,應考慮an+1,an之間的遞推關系,或考慮Sn+1,Sn之間的遞推關系. 特別提醒:解決實際問題中要注意n的取值范圍. 變式訓練4 某城市2020年末汽車擁有量為30萬輛,預

12、計此后每年將上一年擁有量的6%報廢,并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境,要求該城市汽車擁有量不超過60萬輛.從2020年末起,n年后汽車擁有量為bn+1萬輛,若每年末的擁有量不同. (1)求證:{bn+1-bn}為等比數(shù)列; (2)每年新增汽車數(shù)量不能超過多少輛? 思想滲透 1.函數(shù)思想——函數(shù)思想解決數(shù)列常見的問題: (1)數(shù)列的單調(diào)性; (2)數(shù)列中求最值問題; (3)數(shù)列中的恒成立問題. 2.求解時注意的問題及方法: (1)數(shù)列是定義在N*或其子集上的特殊函數(shù),自然與函數(shù)思想密不可分,因此樹立函數(shù)意識是解決數(shù)列問題的最基本要求; (2)解題時要注意把數(shù)列的遞推公

13、式、數(shù)列的通項公式以及前n項和公式看作函數(shù)的解析式,從而合理地利用函數(shù)性質(zhì)和導數(shù)解決問題; (3)解決有關數(shù)列的通項公式、單調(diào)性、最值、恒成立等問題時要注意項數(shù)n的取值范圍. 【典型例題】(2020·湖南長沙模擬,22)已知數(shù)列{an}是各項均不為0的等差數(shù)列,公差為d,Sn為其前n項和,且滿足a=S2n-1,n∈N*.數(shù)列{bn}滿足bn=,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和. (1)求a1,d和Tn; (2)若對任意的n∈N*,不等式λTn<n+8·(-1)n恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍; (3)是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列?若存在,求出所有m,n的

14、值;若不存在,請說明理由. 解:(1)(方法一)在a=S2n-1中,令n=1,n=2, 得即 解得a1=1,d=2,∴an=2n-1. ∵bn===, ∴Tn==. (方法二)∵{an}是等差數(shù)列,∴=an, ∴S2n-1=(2n-1)=(2n-1)an. 由a=S2n-1,得a=(2n-1)an. 又∵an≠0,∴an=2n-1,則a1=1,d=2. (Tn求法同方法一) (2)①當n為偶數(shù)時,要使不等式λTn<n+8·(-1)n恒成立,即需不等式λ<=2n++17恒成立, ∵2n+≥8,等號在n=2時取得, ∴此時λ需滿足λ<25. ②當n為奇數(shù)時,要使不等式λ

15、Tn<n+8·(-1)n恒成立,即需不等式λ<=2n--15恒成立, ∵2n-是隨n的增大而增大, ∴當n=1時,2n-取得最小值-6. ∴此時λ需滿足λ<-21. 綜合①②,可得λ的取值范圍是λ<-21. (3)T1=,Tm=,Tn=. 若T1,Tm,Tn成等比數(shù)列,則,即=. (法一)由=,可得 =>0, 即-2m2+4m+1>0, ∴1-<m<1+. 又m∈N,且m>1, ∴m=2,此時n=12. ∴當且僅當m=2,n=12時,數(shù)列{Tn}中的T1,Tm,Tn成等比數(shù)列. (法二)∵=<, 故<,即2m2-4m-1<0, ∴1-<m<1+(以下同上).

16、 1.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=,則a3=(  ). A.     B.     C.     D. 2.已知a,b,c,d成等比數(shù)列,且曲線y=x2-2x+3的頂點是(b,c),則ad=(  ). A.3     B.2    C.1     D.-2 3.(2020·甘肅蘭州診斷,3)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=3,則=(  ). A.2     B.    C.    D.3 4.在等比數(shù)列{an}中,a1=2,前n項和為Sn,若數(shù)列{an+1}也是等比數(shù)列,則Sn=(  ). A.2n+1-2     B.3n   C.2n     D.3n-1

17、 5.(2020·河北模擬,14)已知數(shù)列{an}滿足an=2n-1+2n-1(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項和Sn=__________. 6.(原創(chuàng)題)設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù),對任意實數(shù)x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是________. 7.(2020·江西聯(lián)考,19)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=8,an+2=4an+1-4an. (1)證明:{an+1-2an}是等比數(shù)列; (2)設bn=(n≥2),求:b2+b3+…+bn(n≥2且n∈N*). 8.已知二

18、次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標原點,其導函數(shù)為f ′(x)=6x-2,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設bn=,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求使得Tn<對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m. 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1.B 2.A 3.1 830 4.3 018 5.(1)解:設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d. 由條件,得方程組 解得 所以an=3n-1,bn=2n,n∈N

19、*. (2)證明:(方法一) 由(1)得 Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,① 2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1.② 由②-①,得 Tn=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2 =+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10. 而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10, 故Tn+12=-2an+10bn,n∈N*. (方法二:數(shù)學歸納法) ①當n=1時,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立; ②假設當n=k時等式成立,即T

20、k+12=-2ak+10bk,則當n=k+1時有: Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk) =ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(-2ak+10bk-12) =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12, 即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1, 因此n=k+1時等式也成立. 由①和②,可知對任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】解:(1)由題意知 解得或(由于an+1>an,

21、舍去). 設公差為d,則解得 ∴數(shù)列{an}的通項公式為an=3n+2(n∈N*). (2)由題意得 =(3·2n-1+2)+(3·2n-1+5)+(3·2n-1+8)+…+[3·2n-1+(3·2n-1-1)] =2n-1×3·2n-1+[2+5+8+…+(3·2n-1-4)+(3·2n-1-1)]. 而2+5+8+…+(3·2n-1-4)+(3·2n-1-1)是首項為2,公差為3的等差數(shù)列的前2n-1項的和, ∴2+5+8+…+(3·2n-1-4)+(3·2n-1-1) =2n-1×2+×3 =3·22n-3+·2n, ∴bn=3·22n-2+3·22n-3+·2n

22、 =·22n+·2n. ∴bn-·2n=·22n. ∴Tn=(4+16+64+…+22n)=×=(4n-1). 【變式訓練1】(1)證明:bn+1===, 而bn=, ∴bn+1-bn=-=1(n∈N*). ∴數(shù)列{bn}是首項為b1==1,公差為1的等差數(shù)列. (2)解:由(1)可知bn=n,bn=n, ∴Sn=(1+2+…+n)=, ∴==6, 故有++…+ =6 =6=. (3)證明:由(1)可知·bn=n·, 則Tn=1·+2·+…+n·, ∴Tn=1·+2·+…+(n-1)·+n·, 則Tn=+++…+-n· =, ∴Tn=--·<. 【例2】

23、(1)證明:由題意可知 a1+a2+a3+…+an-1+an=n-an,① a1+a2+a3+…+an+an+1=n+1-an+1,② ②-①,得2an+1=1+an, 即an+1-1=(an-1). 又a1-1=-, 所以數(shù)列{an-1}是以-為首項,以為公比的等比數(shù)列. (2)解:由(1)可得an=1-,bn=. 由bn+1-bn=-==>0,得n<3, 由bn+1-bn<0,得n>3, 所以b1<b2<b3=b4>b5>…>bn>…, 故bn有最大值b3=b4=, 所以對任意n∈N*,有bn≤. 如果對任意n∈N*,都有bn+t≤t2,即bn≤t2-t恒成立,

24、 則(bn)max≤t2-t.故有≤t2-t, 解得t≥或t≤-, 所以實數(shù)t的取值范圍是∪. 【變式訓練2】解:(1)a2=2,a3=3,a4=4. (2)nan+1=2(a1+a2+…+an),則可得(n-1)an=2(a1+a2+…+an-1)(n≥2), 兩式相減,得nan+1-(n-1)an=2an, 即nan+1=(n+1)an,=(n≥2), 所以an=a1···…·=1···…·=n(n≥3),易得an=n(n∈N*). (3)證明:①b1=,由(2)得bn+1=+bn>bn>bn-1>…>b1>0, 所以數(shù)列{bn}是正項單調(diào)遞增數(shù)列, 當n≥1時,bn+

25、1=+bn<+bn, 所以->-. ②當n=1時,b1=<1顯然成立. 當n≥2時,=+…++ >-+2 >-+2 =-+2 =-+2=1+=. 所以bn<<1. 綜上可知,bn<1成立. 【例3】解:(1)設點Pk-1的坐標是(xk-1,0), ∵y=ex,∴y′=ex. ∴Qk-1(xk-1,),在點Qk-1(xk-1,)處的切線方程是y-=(x-xk-1), 令y=0,則xk=xk-1-1(2≤k≤n). (2)∵x1=0,xk-xk-1=-1, ∴xk=-(k-1). ∴|PkQk|==e-(k-1),于是有 |P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+

26、…+|PnQn| =1+e-1+e-2+…+e-(k-1)+…+e-(n-1) ==, 即|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|=. 【變式訓練3】(1)證明:將直線y=x的傾斜角記為θ, 則有tan θ=,sin θ=. 設Cn的圓心為(λn,0)(λn>0),則由題意得知=,得λn=2rn; 同理λn+1=2rn+1, 從而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1,將λn=2rn代入,解得rn+1=3rn, 故{rn}為公比q=3的等比數(shù)列. (2)解:由于r1=1,q=3, 故rn=3n-1,從而=n·31-n. 記Sn=++…+, 則有S

27、n=1+2·3-1+3·3-2+…+n·31-n,① 則=1·3-1+2·3-2+…+(n-1)·31-n+n·3-n,② 由①-②,得 =1+3-1+3-2+…+31-n-n·3-n =-n×3-n=-·3-n, 故Sn=-·31-n=. 【例4】(1)解:當n≤6時,數(shù)列{an}是首項為120,公差為-10的等差數(shù)列. an=120-10(n-1)=130-10n; 當n≥6時,數(shù)列{an}是以a6為首項,公比為的等比數(shù)列, 又a6=70,所以an=70×. 因此第n年初,M的價值an的表達式為 an= (2)證明:設Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,由等差及等比數(shù)列

28、的求和公式得 當1≤n≤6時,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n; 當n≥7時, Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+70××4× =780-210×, An=. 因為{an}是遞減數(shù)列,所以{An}是遞減數(shù)列. 又A8==82>80, A9==76<80, 所以須在第9年初對M更新. 【變式訓練4】(1)證明:設2020年末汽車擁有量為b1萬輛,每年新增汽車數(shù)量為x萬輛, 則b1=30,b2=0.94b1+x,可得bn+1=0.94bn+x. 又bn=0.94bn-1+x, ∴bn+1-bn=0.94·(bn-bn-1

29、). ∵每年末的擁有量不同, ∴{bn-1-bn}是以b2-b1=x-1.8為首項,且公比q=0.94的等比數(shù)列. (2)解:由(1)得bn+1-bn=0.94n·(x-1.8), 于是bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=30+0.94·(x-1.8)+0.942·(x-1.8)+…+0.94n-1·(x-1.8)=30+·(x-1.8)·0.94, 當x-1.8≤0,即x≤1.8時,{bn}為遞減數(shù)列,故有bn+1≤bn≤…≤b1=30, 當x-1.8>0時,即x>1.8時,bn<30+×0.94≤60,解得x≤3.7. 故每年新增汽車數(shù)量不能超

30、過3.7萬輛. 創(chuàng)新模擬·預測演練 1.A 2.B 3.B 4.C 5.2n+n2-1 6. 7.(1)證明:由an+2=4an+1-4an,得an+2-2an+1=2(an+1-2an). 又a2-2a1=4, ∴{an+1-2an}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列. (2)解:由(1)可得an+1-2an=2n+1, -=1, ∴是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,an=n·2n(n≥1,n∈N*), ∴bn=====-(n≥2), ∴b2+b3+…+bn=++…+=-1(n≥2且n∈N*). 8.解:(1)設這個二次函數(shù)為f(x)=ax2+bx(a≠0), 則f′(x)=2ax+b. 由于f′(x)=6x-2,得a=3,b=-2, 又因為點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上, 所以Sn=3n2-2n. 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5, 當n=1時,a1=S1=3×12-2=6×1-5, 所以an=6n-5(n∈N*). (2)由(1)得bn= = =, 故Tn= =. 因此要使<(n∈N*)成立,m必須且僅需滿足≤,即m≥10, 所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.

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