《2020版新教材高中數(shù)學 考點突破素養(yǎng)提升 第三課 函數(shù) 新人教B版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版新教材高中數(shù)學 考點突破素養(yǎng)提升 第三課 函數(shù) 新人教B版必修1（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　數(shù)學運算 角度1　函數(shù)的概念 【典例1】有以下判斷： ①f(x)=與g(x)=表示同一函數(shù)； ②函數(shù)y=f(x)的圖像與直線x=1的交點最多有1個； ③f(x)=x2-2x+1與g(t)=t2-2t+1是同一函數(shù)； ④若f(x)=|x-1|-|x|，則f=0. 其中正確判斷的序號是________.? 【解析】對于①，由于函數(shù)f(x)=的定義域為{x|x∈R且x≠0}，而函數(shù)g(x)=的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于②，若x=1不是y=f(x)定義域內的值，則直線x=1與y=f(x)的圖像沒有交點，如果x=1是y=f(x)定義域內的值，由函

2、數(shù)定義可知，直線x=1與y=f(x)的圖像只有一個交點，即y=f(x)的圖像與直線x=1最多有一個交點；對于③，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應關系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對于④，由于f=-=0，所以f=f(0)=1. 綜上可知，正確的判斷是②③. 答案：②③ 【類題·通】 關于同一個函數(shù)的判斷 (1)判斷定義域對應關系是否相同. (2)對應關系是對于自變量的一種運算法則，一是與自變量為x或t無關，二是可以化簡變形后相同. 【加練·固】 (1)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(　　) A.f(x)=|x|，g(x)= B.f(x)=，g(x)=()

3、2 C.f(x)=，g(x)=x+1 D.f(x)=·，g(x)= (2)下列四個圖像中，是函數(shù)圖像的是 (　　) A.①　　 B.①③④　　 C.①②③　 　D.③④ 【解析】(1)選A.A中，g(x)=|x|，所以f(x)=g(x).B中，f(x)=|x|(x∈R)，g(x)=x(x≥0)， 所以兩函數(shù)的定義域不同. C中，f(x)=x+1(x≠1)，g(x)=x+1(x∈R)， 所以兩函數(shù)的定義域不同. D中，f(x)=·(x+1≥0且x-1≥0)， f(x)的定義域為{x|x≥1}；g(x)=(x2-1≥0)， g(x)的定義域為{x|x≥1或x≤-1}.

4、所以兩函數(shù)的定義域不同. (2)選B.由每一個自變量x對應唯一一個f(x)可知②不是函數(shù)圖像，①③④是函數(shù)圖像. 角度2　求函數(shù)的解析式 【典例2】(1)已知二次函數(shù)f(2x+1)=4x2-6x+5，則f(x)=________.? (2)已知f(x)滿足2f(x)+f=3x-1，則f(x)=________.? 【解析】(1)方法一：(換元法)令2x+1=t(t∈R)，則x=， 所以f(t)=4-6·+5=t2-5t+9(t∈R)， 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 方法二：(配湊法)因為f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5

5、(2x+1)+9， 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 方法三：(待定系數(shù)法)因為f(x)是二次函數(shù)， 所以設f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 則f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c =4ax2+(4a+2b)x+a+b+c. 因為f(2x+1)=4x2-6x+5，所以 解得所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 答案：x2-5x+9(x∈R) (2)已知2f(x)+f=3x-1，① 以代替①式中的x(x≠0)，得2f+f(x)=-1② ①×2-②得3f(x)=6x--1， 故f(x)=2x--(x≠0). 答案：2x--(x≠0) 【

6、類題·通】 求函數(shù)解析式的常用方法 (1)配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式. (2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)可用待定系數(shù)法. (3)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍. (4)方程法：已知關于f(x)與f或f(-x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x). 【加練·固】 (1)已知f(x)+3f(-x)=2x+1，則f(x)=________.? (2)已知f(+1)=

7、x+2，求f(x)的解析式. 【解析】(1)由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1，解方程組得f(x)=-x+. 答案：-x+ (2)方法一：設t=+1，則x=(t-1)2(t≥1). 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1) =t2-2t+1+2t-2=t2-1. 所以f(x)=x2-1(x≥1). 方法二：因為x+2=()2+2+1-1 =(+1)2-1， 所以f(+1)=(+1)2-1(+1≥1)， 即f(x)=x2-1(x≥1). 素養(yǎng)二　邏輯推理 【典例3】(1)求函數(shù)y=-x2+2|x|+1的單調區(qū)間. (2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8

8、，且f(-2)=10，則f(2)等于 (　　) A.-26 B.-18 C.-10 D.10 【解析】(1)由于y= 即y=畫出函數(shù)圖像如圖所示， 單調遞增區(qū)間為(-∞，-1]和[0，1]，單調遞減區(qū)間為[-1，0]和[1，+∞). (2)選A.方法一：令g(x)=x5+ax3+bx，易知g(x)是R上的奇函數(shù)，從而g(-2)=-g(2)，又f(x)=g(x)-8，所以f(-2)=g(-2)-8=10，所以g(-2)=18， 所以g(2)=-g(-2)=-18. 所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 方法二：由已知條件，得 ①+②得f(2)+f

9、(-2)=-16.又f(-2)=10， 所以f(2)=-26. 【類題·通】 定函數(shù)單調性的注意點 (1)定義法：證明函數(shù)單調性只能用定義法. (2)圖像法：作出圖像觀察，但圖像不連續(xù)的單調區(qū)間不能用“∪”連接. 【加練·固】 (1)已知函數(shù)f(x)為(0，+∞)上的增函數(shù)，若f(a2-a)>f(a+3)，則實數(shù)a的取值范圍為________.? (2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=x2+2x，若f(2-a2)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A.(-∞，-1)∪(2，+∞) B.(-1，2) C.(-2，1) D.(-∞，-2)∪(

10、1，+∞) 【解析】(1)由已知可得 解得-33. 所以實數(shù)a的取值范圍為(-3，-1)∪(3，+∞). 答案：(-3，-1)∪(3，+∞) (2)選C.因為f(x)是奇函數(shù)， 所以當x<0時，f(x)=-x2+2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖像如圖中實線所示，結合圖像可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2-a2)>f(a)，得2-a2>a，解得-2

11、位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系C(x)=(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. (1)求k的值及f(x)的表達式. (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值. 【解析】(1)由已知條件得C(0)=8，則k=40， 因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10). (2)f(x)=6x+10+-10≥2-10=70(萬元)，當且僅當6x+10=，即x=5時等號成立. 所以當隔熱層厚度為5 cm時，總費用f(x)達到最小值，最小值為70萬元. 【類題·通】 有關函數(shù)

12、最值的實際問題的解題技巧 (1)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值. (2)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). (3)解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍. (4)在應用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調性求解. 【加練·固】 1.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是 (　　) A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米 B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多 C.甲車以80千米/小時的速

13、度行駛1小時，消耗10升汽油 D.某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油 2.為了迎接世博會，某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元.根據(jù)經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛.為了便于結算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分). (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式及其

14、定義域. (2)試問當每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使一日的凈收入最多？ 【解析】1.選D.對于A選項，從題圖中可以看出，當乙車的行駛速度大于40 km/h時的燃油效率大于5 km/L，故乙車消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米，所以A錯誤.對于B選項，由題圖可知甲車消耗汽油最少.對于C選項，甲車以 80 km/h的速度行駛時的燃油效率為10 km/L，故行駛1小時的路程為80千米，消耗8 L汽油，所以C錯誤.對于D選項，當最高限速為80 km/h且速度相同時丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率， 故用丙車比用乙車更省油，所以D正確. 2.(1)當x≤6時，y=50x-115， 令50x-115>0，解得x>2.3，因為x為整數(shù)，所以3≤x≤6. 當x>6時，y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115. 令-3x2+68x-115>0，有3x2-68x+115<0，結合x為整數(shù)得6185，所以當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多.