課時訓練40 不等式的應用 【說明】 本試卷滿分100分，考試時間90分鐘. 一、選擇題（每小題6分，共42分） 1.若a+2b=1,下列結(jié)論中錯誤的是（ ） A.ab的最大值是 B.ab的最小值是8 C.a2+ab+b2的最大值是 D.的最大值是4 答案：A 解析：ab=(1-2b)b=-2(b-)2+≤. 2.(2020廣東珠海一模，4)已知0＜a＜b，且a+b=1.下列不等式中，正確的是（ ） A.log2a＞0 B.2a-b＜ C.log2a+log2b＜-2 D.＜4 答案：C 解析：由0＜a＜b且a+b=1知 ab＜()2=, 故log2a+log2b=log2ab＜log2=-2. 3.若關(guān)于x的方程9x+(2+a)·3x+4=0有解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A.（-∞,-8]∪［0,+∞) B.(-∞,-4] C.［-8,4) D.(-∞,-8］ 答案：D 解析：因4+a=-(3x+),又3x+≥4.故4+a≤-4,即a≤-8. 4.對任意實數(shù)x，不等式＜恒成立，則a的取值范圍是（ ） A.（0，1） B.（，+∞） C.(0,) D.(-∞,) 答案：B 解析：由＜x2+3x-2ax+a2＞0,由Δ＜0可知選B. 5.若a＞0,b＞0,則“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”成立的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案：A 解析：由集合的觀點知a2+b2＜1表示圓內(nèi)部所有點，而ab＞a+b-1(a-1)(b-1)＞0 顯然前者包括在后者點集中，故選A. 6.(2020湖北十一校大聯(lián)考，9)f(x)=的定義域為（-∞,2］則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) A.［-，+∞) B.｛-｝ C.(-,+∞) D.(-∞,-］ 答案：B 解析：由3+a·4x≥0，a·4x≥-3， 當a≥0時定義域為R不合條件， ∴a＜0，x≤log4(-). ∴l(xiāng)og4(-)=2. ∴a=-. 7.(2020湖北十一校大聯(lián)考，12)實系數(shù)方程x2+ax+2b=0的兩根為x1、x2，且0＜x1＜1＜x2＜2,則的取值范圍是( ) A.（，1） B.（，1） C.（-，） D.（-，） 答案：A 解析：設(shè)f(x)=x2+ax+2b，方程x2+ax+2b=0兩根滿足0＜x1＜1＜x2＜2的充要條件是: 記A(-3,1),B(-2,0),C（-1，0）,則動點(a,b)表示△ABC內(nèi)部的點集；而表示點（a,b）與D（1，2）連線的斜率kAD=,kCD=1， ∴＜＜1. 二、填空題（每小題5分，共15分） 8.已知直角三角形兩條直角邊的和等于14 cm，則此直角三角形的最大面積是_____________. 答案：24.5 cm2 解析：因a+b=,故S=ab≤ ()2= cm2，當且僅當a=b=7時等號成立. 9.光線透過一塊玻璃，其強度要減弱110，要使光線的強度減弱到原來的13以下，至少有這樣的玻璃板_____________塊.（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.301 0,lg3=0.477 1） 答案：11 解析：()n＜n-2nlg3＞lg3n＞. ∵10＜＜11.∴取n=11. 10.設(shè)函數(shù)f(x)=的圖象，如右圖.則a,b,c的大小關(guān)系是_______________. 答案：a＞c＞b 解析：依題意f(0)=0,得b=0, ∴f(x)=. ∴x∈R∴c＞0. 又f(1)=＞0a＞1+c＞c＞0, ∴a＞c＞b. 三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分） 11.某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800 cm2的矩形蔬菜溫室.在溫室內(nèi)，沿左、右內(nèi)兩側(cè)內(nèi)墻與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地.當矩形溫室的邊長為各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？ 解析：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為a m,后側(cè)邊長為b m,則ab=800.蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).所以S≤808-4=648 m2. 當a=2b，即a=40 m，b=20 m，S最大值=648 m2. 答：當矩形溫室的左側(cè)邊長為40 m，后側(cè)邊長為20 m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648 m2. 12.設(shè)f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R,為參數(shù))如果當x∈［0,1］時，f(x)≤g(x)恒成立，求參數(shù)t的取值范圍. 解析：x∈［0,1］時，f(x)≤g(x)恒成立. ∴x∈［0,1］時，恒成立； ∴x∈［0,1］時，恒成立， 即x∈［0,1］時，t≥-2x+恒成立. 于是轉(zhuǎn)化求-2x+在x∈［0,1］的最大值問題. 令M=,則x=M2-1, 由x∈［0,1］,知M∈［1, ］, ∴-2x+=-2(M2-1)+M =-2(M-)2+. ∴當M=1,即x=0時，-2x+有最大值為1. ∴t的取值范圍是｛t|t≥1｝. 13.(2020湖北十一校大聯(lián)考，20)劉先生購買了一部手機，欲使用中國移動的“智慧”卡或加入中國聯(lián)通網(wǎng)，經(jīng)調(diào)查收費標準如下： 網(wǎng)絡(luò) 月租 本地話費 長途話費 甲：聯(lián)通 12元 0.3元/分鐘 0.6元/分鐘 乙：移動 無 0.5元/分鐘 0.8元/分鐘 劉先生每月接打本地電話時間是長途電話的5倍（手機雙向收費，接打話費相同）. （1）設(shè)劉先生每月通話時間為x分鐘，求使用甲、乙兩種入網(wǎng)方式所需話費的函數(shù)f(x),g(x); (2)請你根據(jù)劉先生每月通話時間為劉先生選擇一種較為省錢的入網(wǎng)方式. 解析：（1）因劉先生本地電話時間為長途電話的5倍，所以本地通話時間與長途通話時間分別為x,. f(x)=0.3×+0.6×+12， ∴f(x)=0.35x+12. g(x)=0.5×x+0.8×, ∴g(x)=0.55x. (2)∵g(x)-f(x)=0.2x-12=0.2(x-60). ①當x＞60時，g(x)＞f(x)，劉先生采用聯(lián)通網(wǎng)絡(luò)較省錢; ②當0＜x＜60時，g(x)＜f(x)，劉先生采用移動網(wǎng)絡(luò)較省錢; ③當x=60時,g(x)=f(x)，劉先生任選其中一種均可. 14.已知a＞b＞c,且f(x)=(a-b)x2+(c-a)x+(b-c). (1)求證：方程f(x)=0總有兩個正根； （2）求不等式f(x)≤0的解集； （3）求使f(x)＞(a-b)(x-1)對于3b≤2a+c恒成立的x的取值范圍. (1)證明：方程f(x)=0, 即(a-b)x2+(c-a)x+(b-c)=0, 即［(a-b)x-(b-c)］(x-1)=0. 所以方程f(x)=0的兩根為x1=,x2=1. 因為a＞b＞c，所以＞0. 故方程f(x)=0總有兩個正根. 解析：（2）f(x)≤0,即［（a-b）x-(b-c)］(x-1)≤0. 當＞1,即b＞時，不等式的解集為｛x|1≤x≤｝; 當＜1,即b＞時，不等式的解集為｛x|≤x≤1｝; 當=1,即b=時，不等式的解集為｛x|x=1｝. (3)f(x)＞(a-b)(x-1), 即(a-b)x2+(b+c-2a)x+a-c＞0, 即［(a-b)x-(a-c)］(x-1)＞0. 因為a＞b＞c，所以＞1. 所以x＞,或x＜1恒成立. 又3b≤2a+c,即2(a-b)≥b-c,≤2, 所以==1+≤3. 所以x＞3,或x＜1. 故使f(x)＞(a-b)(x-1)對于3b≤2a+c恒成立的x的取值范圍是（-∞,1）∪(3,+∞).