2020高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第三部分專題八 直線和圓
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1、2020考前沖刺數(shù)學(xué)第三部分 【高考預(yù)測(cè)】 (1)考查圓錐曲線的概念與性質(zhì); (2)求曲線方程和求軌跡; (3)關(guān)于直線與圓及圓錐曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題?! ? 【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】 易錯(cuò)點(diǎn)1 直線的方程 1.(2020精選模擬題)已知點(diǎn) A 【錯(cuò)解分析】在運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),沒(méi)有理解直線Ax+By+C=0中,B的取值,B應(yīng)取-1,而不是取1. 【正確解答】 2.(2020精選模擬題)若直線2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后與圓x2+y2=5相切,則c的值為( ) A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6
2、 D.2或-8 【錯(cuò)誤解答】C.直線2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直線方程為:2(x+1)-(y+1)+c=0即:2x-y+1+c=0,此直線與圓相切,故圓心到直線的距離等于半徑,即或-6, 故選C. 【錯(cuò)解分析】坐標(biāo)平移公式運(yùn)用錯(cuò)誤,應(yīng)用x-h,y-k分別來(lái)替換原來(lái)的x,y. 【正確解答】A直線2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直線為2x-y-3+c=0,此直線與圓相切有:或者說(shuō)c=-2,故選A. 4.(2020精選模擬題)設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為a,且sina+cosa=0,則a、b滿足 ( ) A.A+b=1 B.a-b
3、=1 C.a+b=0 D.a-b=0 【錯(cuò)誤解答】C. 【錯(cuò)解分析】直線Ax+By+c=0的斜率k= 答案: D解析:略. 答案:16.2x-y+8=0 解析:由已知可設(shè)l2的方程為:y=tan2α·x-2,l1與l3垂直,l1,的斜率為k1=2,∴tan2α=,即l2的方程為y=-x-2,解方程組得P點(diǎn)坐標(biāo)(-3,2).由點(diǎn)斜式得l1,的方程為y=2(x+3)+2. 易錯(cuò)點(diǎn)2兩直線的位置關(guān)系 1.(2020精選模擬題)已知過(guò)點(diǎn)A(-2,m)和B(M,4)的直線與直線2x+y-1=0平行,則m的值為 ( ) A.0 B.-8 C.2
4、 D.10 【正確解答】B法一:由題意知所求直線必不與任何坐標(biāo)軸平行可設(shè)直線y=kx+b,即kx-y+b=0 法二:以A為圓心,1為半徑畫圓,以B為圓心2為半徑作圓,∵圓心距|AB|=∴⊙A′與⊙B必相交,則⊙A與⊙B的分切線有兩條,即到點(diǎn)A距離為1到點(diǎn)B距離為2的直線有2條. 3.(2020精選模擬題)如下圖,定圓半徑為a,圓心為(b,c)則直線ax+by+c=0與直線x-y+1=0的交點(diǎn)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【錯(cuò)誤解答】B由圖知b>a>c>0.取b=
5、3,a=2,c=1.解方程組
【錯(cuò)解分析】由圖看出的是長(zhǎng)度大小關(guān)系,在比較時(shí)坐標(biāo)值與長(zhǎng)度值相混淆。
【正確解答】C由圖形如此圖圓心在第二象限且a、b、c滿足球隊(duì)0 6、2y=1. 得消去x.2y2222+2(a+1)y+a222=0,有公共點(diǎn)故
【錯(cuò)解分析】忽略了直線與圓相切時(shí)的情況。
【正確解答】
【特別提醒】
兩直線平行與垂直的充要條件在解題中的應(yīng)用。
夾角與距離公式是求距離或角、斜率的最值問(wèn)題的工具.一定要注意公式的運(yùn)用及條件.
關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題,即點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,或直線關(guān)于直線對(duì)稱.是命題熱點(diǎn)。
【變式訓(xùn)練】
1直線l1:x+3y-7=0 、l2:kx-y-2=0與x軸、y軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓,則k的值等于 ( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
答案: B解析:略.
2已知點(diǎn)M是點(diǎn)P 7、(4,5)關(guān)于直線y=3x-3的對(duì)稱點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)M且平行于直線y=3x+3的直即6x+2y-3=0
法二:設(shè)l2到l1的角為θ,則tgθ== ,所以角θ為銳角,而α1=α2=,由二倍角公式可知
tgθ=
∴tg=-2或tg= ∵為銳角,
∴tg== ,∴k=-3等同解法一.
易錯(cuò)點(diǎn)3 簡(jiǎn)童單線性規(guī)劃
1.(2020精選模擬題)已知點(diǎn)P(x,y)在不等式組
A.[-2,-1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[1,2]
【錯(cuò)誤解答】由約束條件畫出可行域,再平移y=x.過(guò)(0,1)時(shí)截距最大為1,過(guò)(2, 8、0)時(shí)截距最小為-2,∴取值范圍為[-2,1]選B.
【錯(cuò)解分析】z=x-y可化為y=x-z,此時(shí)y=x-z的截距為-z.故錯(cuò)選。
【正確解答】平移y=x得最大截距為1,最小截距為-2,∴-2≤-z≤1∴1-≤z≤2.
2.(2020精選模擬題)設(shè)集合A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三邊長(zhǎng)},則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是 ( )
【錯(cuò)誤解答】由題意可得
故選D.
【錯(cuò)解分析】三角形兩邊之和大于第三邊沒(méi)有寫完全,
【正確解答】由題意可列
故選A.
3.(2020精選模擬題)在坐標(biāo)平面上,不等式組所表示的平面區(qū)域的 9、面積為 ( )
【錯(cuò)誤解答】依條作出當(dāng)x≥0時(shí)即所表示的區(qū)域,其面積為1,故當(dāng)x≤0時(shí),同理其面積為1,故總面積為2,故選D.
【錯(cuò)解分析】y=-3|x|+1是關(guān)于y軸對(duì)稱,但y=x-1并不關(guān)于y軸對(duì)稱,故當(dāng)x≤0時(shí)的面積與x≥0時(shí)的面積不相等。
【正確解答】先作出y=-3|x|+1的圖像(依此函數(shù)為偶函數(shù)作),再作出y=x-1的圖像,再標(biāo)出其圍成的區(qū)域,如圖所示:其陰影部分為所求且為,故選B .
4.(2020精選模擬題)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足則的最大值是______.
【錯(cuò)誤解答】依題意作出可行域如圖所示:
【錯(cuò)解分析】連線斜率的最大與最小并不取決于此點(diǎn)與原點(diǎn)的遠(yuǎn)近。 10、
【正確解答】連接OA,則kOA最大,
【特別提醒】
對(duì)線性目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By中的B的符號(hào)一定要注意,當(dāng)B>0時(shí),z最大,當(dāng)B<0時(shí),當(dāng)直線過(guò)可行域且y軸上截距最大時(shí),z值最小。
由于最優(yōu)解是通過(guò)圖形來(lái)規(guī)定的,故作圖要準(zhǔn)確,尤其整點(diǎn)問(wèn)題。
【變式訓(xùn)練】
1在直角坐標(biāo)面上有兩個(gè)區(qū)域M和N.M是由y≥0,y≤x和y≤2-x三個(gè)不等式來(lái)確定的.N是由不等式t≤x≤t+1來(lái)確定的,t的取值范圍是0≤t≤1,設(shè)M和N的公共面積是函數(shù)f(t),則f(t)為 ( )
2
答案: A 解析:畫出M和N的所表示的區(qū)域,可得面積等于-t2+t+,所以選A
2設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足不 11、等式組
A.7+3a,1-3a????????????B.7+3a,-1-2a
C.-1-2a,1-3a??????????? D.以上都不對(duì)
答案: A 解析:畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,由線性規(guī)劃的知識(shí)知選A
3某運(yùn)輸公司有10輛載重量為6噸的A型卡車與載重量為8噸的B型卡車,有11名駕駛員。在建筑某段高速公路中,該公司承包了每天至少搬運(yùn)480噸瀝青的任務(wù)。已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車8次,B型卡車7次;每輛卡車每天的成本費(fèi)A型車350元,B型車400元。問(wèn)每天派出A型車與B型車各多少輛,公司所花的成本費(fèi)最低,最低為多少?
答案:解:設(shè)每天派出A型車與B型車各 12、x、y輛,并設(shè)公司每天的成本為z元.由題意,得
且z=350x+400y.
作出可行域,作直線l0:350x+400y=0,
即7x+8y=0.
作出一組平行直線:7x+8y=t中(t為參數(shù))經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)距離最近的直線,此直線經(jīng)過(guò)6x +7y=60和y=5的交點(diǎn)A(,5),由于點(diǎn)A的坐標(biāo)不都是整數(shù),而x,y∈N,所以可行域內(nèi)的點(diǎn)A(,5)不是最優(yōu)解.
為求出最優(yōu)解,必須進(jìn)行定量分析.
因?yàn)椋?×+8×5≈69.2,所以經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))且與原點(diǎn)最小的直線是7X+8y=10,在可行域內(nèi)滿足該方程的整數(shù)解只有x=10,y=0,所以(1 13、0,0)是最優(yōu)解,即當(dāng)l通過(guò)B點(diǎn)時(shí),z=350×10+400×O=3500元為最小.
答:每天派出A型車10輛不派B型車,公司所化的成本費(fèi)最低為3500元
易錯(cuò)點(diǎn)4 圓的方程
1(2020精選模擬題)從原點(diǎn)向圓x2+y2-12y+27=0作兩條切線,則該圓夾在兩條切線間的劣弧長(zhǎng)為 ( )
【錯(cuò)誤解答】由半徑為3,圓心與原點(diǎn)距離為6,可知兩切線間的夾角為60。,故所相應(yīng)【正確解答】
3.(2020精選模擬題)圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0,-4),B(0,-2),則圓C的方程為_____.
【錯(cuò)誤解答】設(shè)圓的方程為
解得x0=- 14、3,y0=-13,r=.故所求圓的方程為(x+3)2+(y+13)2=168.
【錯(cuò)解分析】應(yīng)是令x=0,而不是令y=0,故后面的結(jié)果均錯(cuò)。2
【正確解答】 法一:∵AB的中垂線,必過(guò)圓心
故解得圓心坐標(biāo)為
所求圓的方程為
法二:設(shè)圓C 的方程:
圓心在直線上
①
又圓過(guò)A?(0,??-4)?B?(0,??-2)
???????????②
③
由①②③解得圓的方程
【特別提醒】
1.求圓的方程應(yīng)注意根據(jù)所給的條件,恰當(dāng)選
擇方方程的形式,用待定系數(shù)法求解.
2討論點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系時(shí),一般可從代數(shù)特征(方程組解的個(gè)數(shù))或幾 15、何特征去考慮,其中幾何特征數(shù)更為簡(jiǎn)捷實(shí)用。
【變式訓(xùn)練】
1過(guò)點(diǎn)A(1,-2),B(-1,1),且圓心在直線0上的圓的方程是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案: A ∵只有A中的圓心(3,-1)在直線x+y-2=0上,
∴選A.
2 方程所以表示的曲線圖形是
答案: D 解析:方程的解為x=1或x2+y2=2,且x2+y2>1,當(dāng)x=1,y≠0.
3.已知兩點(diǎn)A(-1,0),B(0,2),若點(diǎn)P是圓(x-1)2+( )
3已知兩點(diǎn)A(-1,0),B(0,2),若點(diǎn)P是圓
y2=1上的動(dòng)點(diǎn),則△ABP面積的最大值和最小值分別為 16、 ( )
點(diǎn)C為線段AB上任一點(diǎn),P、Q分別以AC和BC為直徑的兩圓 O1、O 2的外公切線的切點(diǎn),求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程.
答案:解:作MC⊥AB交PQ于點(diǎn)M,則MC是兩圓的公切線,
∴|MC|=|MQ|,|MC|=|MP|,即M為PQ的中點(diǎn).設(shè)M(x,y),則點(diǎn)C、O1、O2的坐標(biāo)1.已知直線L過(guò)點(diǎn)(-2,0,當(dāng)直線L)
與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),其斜率k取值范圍是 ( )
【錯(cuò)誤解答】設(shè)此直線為圓心到直線的距離剛好好等于半徑(即相切)時(shí) .
故選D .
【錯(cuò)解分析】計(jì)算出見(jiàn)答案中有此結(jié)果, 便盲目選出 17、答案 .并沒(méi)有開方算出
【正確解答】可設(shè)直線方程為代入圓的方程中,用
選C .
2. (2020精選模擬題) “ a=b” j是“直線與圓 ( )
充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件
D. 既不充分又不必要條件
【錯(cuò)誤解答】 當(dāng) 時(shí)圓心坐標(biāo)為圓心到直線的距離為與半徑楊等,故是直線和圓相切的充分人條件,同理不直線與圓相切時(shí),圓心到的距離為故是直線與圓相切的充分必要條件.
【錯(cuò)解分析】 在運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),應(yīng)先變?yōu)?再計(jì)算. 這刊里y的系數(shù)應(yīng)為- 1而不是未變形前的1.
【錯(cuò)解分析】 在算出r后,往
中代入時(shí)、忘記后面 18、是r2.
【正確解答】 由圓心到直線的距離等于半徑得r = 2.
4. (2020精選模擬題) 設(shè)P < 0 是一常數(shù),過(guò)點(diǎn)`Q(2P,0)的直線與拋物線交于相由
【錯(cuò)解分析】 ∵時(shí),,雖然不成立,而時(shí)說(shuō)
明k不存在,即直線AB.
【正確解答】 法一;由題意,
直線AB不能是水平線,故可設(shè)
直線方程為:又設(shè)A
則其坐標(biāo)
滿足
消去x得
,由此得
由前已證,OH應(yīng)是圓H的半徑,且|OH|=
從而當(dāng)k=0時(shí),圓H的半徑最小,亦使
圓H和面積最小,此時(shí),直線AB的方程為:
法二:由題意,直線AB不能是水平線,故可設(shè)直線方程
為:則其坐 19、標(biāo)滿足
故
【特別提醒】
1.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系判斷時(shí)利用幾何法(即圓心到直線,圓心與圓心之間的距離,結(jié)合直角三角形求解.)
2.有關(guān)過(guò)圓外或圓上一點(diǎn)的切線問(wèn)題,要熟悉切線方程的形式.
【變式訓(xùn)練】
1 已知直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相切,則三條邊分別為,|a|、|b|、|c|的三角形是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.不存在
答案: B 解析:.
2 若a2+b2-2c2=0,則直線ax+by+c=0被x2+y2=1所截得的弦長(zhǎng)為 ( )
A. 20、 B.1 C. D.
答案: D 解析:設(shè)圓心到直線的距離為d,弦長(zhǎng)為l,
則d2= ,l=2
3 如圖,已知點(diǎn)F(0,1),直線L:y=-2,及圓C:x2+(y-3)2=1.
(1)若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離比它到直線L的距離小1,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程;
答案:解①x2=4y ②x1x2=-4 ③P(±2,1)Smin=
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線g交軌跡E于C(x1,y1)、H(x2,y2)
兩點(diǎn),求證:xlx2為定值;
(3)過(guò)軌跡E上一點(diǎn)P作圓C的切線,切點(diǎn)為A、B,要使四邊形PACB的面積S最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo)及S的最小值.
答案:設(shè)D的坐標(biāo)為(0 21、,a),圓D的半徑為r,則(r+2)2=16+a2. ①
設(shè)PA、PB的斜率為k1、k2,又A、B的坐標(biāo)分別為(0,a-r)、(0,a+r).則
k1=,
∴tan∠APB= ②
由①解出a2代人②,得tan∠APB=而8r-6為單調(diào)增函數(shù),r∈[2,+∞].
∴tan∠APB∈()
∠APB的最大值為arttan .
(3)在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,當(dāng)圓D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠AQB是定值?如果存在,求出點(diǎn)Q坐標(biāo);如果不存在,說(shuō)明理由.
答案:假設(shè)存在Q點(diǎn),設(shè)Q 22、(b,0),QA、QB的斜率分別為 k1、k2,則中 k1=
tan∠AQB=將a2=(r+2)2-16代人上式,得 tan∠AQB=欲使∠AQB大小與r無(wú)關(guān),則應(yīng)有b2=12,即b=±2,
此時(shí)tan∠AQB=,∠AQB=60°,
∴存在Q點(diǎn),當(dāng)圓D變動(dòng)時(shí),∠AQB為定值60°,這Q點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0)
【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】
難點(diǎn)1 直線的方程
1.求與直線3x+4y+12=0平行,且與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線乙的方程.
2.設(shè)正方形ABCD(A、B、C、D順時(shí)針排列)的外接圓方程為x2+y2-6x+a=0(a<9),C、D點(diǎn)所在直線l的斜率為.
(1)求外接圓 23、圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)及正方形對(duì)角線AC、BD的斜率;
(2)如果在x軸上方的A、B兩點(diǎn)在一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn),以x軸為對(duì)稱軸的拋物線上,求此拋物線的方程及直線l的方程;
(3)如果ABCD的外接圓半徑為2 ,在x軸上方的A、B兩點(diǎn)在一條以x軸為對(duì)稱軸的拋物線上,求此拋物線的方程及直線l的方程.
【解析】 (1)利用斜率公式求傾斜角.(2)(3)運(yùn)用軌跡法.
【答案】 (1)由(x-3)2+y2=9-a(a<9)可知圓心 M的坐標(biāo)為(3,0),依題意:∠ABM=∠BAM=,kAB=
∴MA、MB的斜率A滿足:=1,解得:kAC=-,kAB=2.
(2)設(shè)MB、MA的傾斜 24、角分別為θl、θ2,則tanθ1=2, tanθ2=-,可以推出:cosθ1= ,設(shè)拋物線方程為了y2=a(x-m)(*)將A(-1,2)、B (5,4)的坐標(biāo)代入(*),得
解得:a=2,m=-3,
∴拋物線的方程為y2=2(x+3).
A(-1,2),點(diǎn)關(guān)于M(3,0)的觀點(diǎn)為C(7,-2),
故直線l的方程為y-(-2)=(x-7),即x-3y- 13=0.
難點(diǎn)2
兩直線的位置關(guān)系
1.若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn),其中A(-2,3),B(3,2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解,直線mx+y+ 2=0的斜率-m 25、應(yīng)為傾角的正切,而當(dāng)傾角在(0°,90°)或 (90°,180°)內(nèi),角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的,因此當(dāng)直線在∠ACB內(nèi)部變化時(shí),眾應(yīng)大于或等于kBC,或者k小于或等于kAC,當(dāng)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化時(shí),求出m的范圍.
(1)當(dāng)k為定值時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是橫坐標(biāo)x的函數(shù),求這個(gè)函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)根據(jù)A的取值范圍,確定y=f(x)的定義域.
【解析】 (1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)而不求,直接轉(zhuǎn)化.
(2)垂足N必須在射線OB上,所以必須滿足條件:y 26、b>0).則|OM|=a,|ON|=b.
由動(dòng)點(diǎn)P在∠AOx的內(nèi)部,得0 27、x>};
當(dāng)0 28、直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn) B,此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最大;當(dāng)l在l0的左上方時(shí),直線l上的點(diǎn)(x,y)滿足2x-y<0,即t<0,而且直線l往左平移時(shí),t隨之減小.當(dāng)直線l平移至l2的位置時(shí),直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)C,此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最?。?
由 解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,3);
由解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,).
所以,z最大值=2×5-3=7;z最小值=2
2.已知三種食物P、Q、R的維生素含量與成本如下表所示.
食物P
食物Q
食物R
維生素A(單位/kg)
400
600
400
維生素B(單位/kg)
800
200
400
成本(元/kg)
6
5
4
現(xiàn)在將xkg 29、的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物 R混合,制成100kg的混合物.如果這100kg的混合物中至少含維生素A44000單位與維生素B48000單位,那么 x、y、z為何值時(shí),混合物的成本最小?
【解析】 由x+y+z=100,得z=100-x-y,所以上述問(wèn)題可以看作只含x、y兩個(gè)變量.設(shè)混合物的成本為k元,那么k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400.于是問(wèn)題就歸結(jié)為求∵在已知條件下的線性規(guī)劃問(wèn)題.
【答案】 已知條件可歸結(jié)為下列不等式組:
①
在平面直角坐標(biāo)系中,畫出不等式組①所表示的平面區(qū)域,這個(gè)區(qū)域是直線x+y=100,y=20,2x-y=40圍成的一 30、個(gè)三角形區(qū)域EFG(包括邊界),即可行域,如圖所示的陰影部分.
設(shè)混合物的成本為k元,那么k=6x+5y+4(100- x-y)=2x+y+400.
作直線l0:2x+y=0,把直線l0向右上方平移至l1位置時(shí),直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)E,且與原點(diǎn)的距離最小,此時(shí)2x+y的值最小,從而A的值最?。?
由
得 即點(diǎn)E的坐標(biāo)是(30,20).
所以,k最小值=2×30+20+400=480(元),此時(shí)z= 100-30-20=50.
答:取x=30,y=20,z=50時(shí),混合物的成本最小,最小值是480元.
難點(diǎn)4直線與圓
(3)
由直線PT的斜率和直線QT 31、的斜率互為相反數(shù)知,由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射,反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.
2.已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn),QA、QB分別切OM于A、B兩點(diǎn),
(1)如果|AB|=,求直線MQ的方程;
(2)求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.
【解析】 (1)由射影定理知:|MB|2=|MP|· |MQ|,得|MQ|=3,在Rt△MOQ,求出OQ.再求直線MQ的方程;利用點(diǎn)M、P、Q在一直線上,斜率相等求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.
【答案】 (1)由|AB|=,可得|MP|=,由射影定理,得|MB|2=|MP|·|MQ|,得,|MQ|=3,
在RtAMOQ中,
|OQ 32、|=
故a=或a=-
所以直線MQ方程是
2x+y-2=0或2x-y+2=0;
(2)連接MB、MQ,設(shè)P(x,y)、p(a,0),由點(diǎn)M、P、Q在一直線上,得
,(*)由射影定理得
|MB|2=|MP|·|MQ|,
即 ,(答案:)把(*)及(答案:)消去a,并注意到y(tǒng)<2,可得x2+
難點(diǎn)5有關(guān)圓的綜臺(tái)問(wèn)題
1.設(shè)P是圓M:(x-5)2+(y-5)2=1上的動(dòng)點(diǎn),它關(guān)于A(9,0)的對(duì)稱點(diǎn)為Q,把P繞原點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到點(diǎn)S,求|SQ|的最值.
【解析】 運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義求出SQ的軌跡方程,再求|SQ|的最值.
【答案】 設(shè)P(x,y), 33、則Q(18-x,-y),記P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi,則S點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為:
(x+yi)·i=-y+xi,即S(-y,x)
其中可以看作是點(diǎn)P到定點(diǎn) B(9,-9)的距離,其最大值為|MB|+r=2+1最小值為|MB|-r=2-1,則
|SQ|的最大值為2,|SQ|的最小值為2
2.已知圓(x+4)2+y2=25的圓心為M1,圓(x-4)2+y2=1的圓心為M2,一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓都外切.
(1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)M2的直線與(1)中所求軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)A、O,求|AMl|·|BM1|的取值范圍.
【解析】 (1)利用定義法求軌跡;(2)設(shè)過(guò)M2的直線 34、斜率為k,聯(lián)立方程,求|AM1|·|BM1|的取值范圍轉(zhuǎn)化為求參數(shù)k的范圍.
【答案】 (1)∵|PM1|-5=|PM2|-1,∴|PM1|- |PM2|=4
∵k2-3>0,∴|AM1|×|BM1|>100
又當(dāng)直線傾斜角等于 時(shí),A(4,y1)、B(4,y2),|AM1|= |BM1|=e(4+1)=10,|AM1|·|BM1|=100
故 |AM1|·|BM1|≥100.
【典型習(xí)題導(dǎo)煉】
1 方程 (λ∈R且λ≠1)表示的曲線是 ( )
A.以點(diǎn)M1(x1,y1)、M2(x2,y2)為端點(diǎn)的線段
B.過(guò)點(diǎn)M1(x1,y1)、M2(x2,y2) 35、的直線
C.過(guò)點(diǎn)Ml(x1,y1)、M2(x2,y2)兩點(diǎn)的直線,去掉點(diǎn)M1的部分
D.過(guò)點(diǎn)M1(x1,y1)、M2(x2,y2)兩點(diǎn)的直線去掉M2的部分
答案: D
2 直線l經(jīng)過(guò)A(2,1)、B(1,m2)(m∈R)兩點(diǎn),那么直線l的傾斜角的取值范圍是 ( )
A.[0,π] B.[0,]∪(,π)
C.[0,] D.[0,]∪[π,π]
答案: B
3 曲線y=1+,x∈[-2,2]與直線y=k(x-2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ( )
答案: D
4 若x、y滿足x2+y2-2x+4y=0,則x- 36、2y的最大值是 ( )
答案: C
5 使可行域?yàn)榈哪繕?biāo)函數(shù)z=ax+by(ab≠0),在x=2,y=2取得最大值的充要條件是 ( )
A. |a|≤b B. |a|≤|b|
C. |a|≥b D. |a|≥|b|
答案: A 解析:畫出可行區(qū)域,直線l:ax+by=0的斜率為-,要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+by在x=2,y=2時(shí),取得最大值,必須且只需|-|≤1,且直線l向上平移時(shí),縱截距變大,所以必須且只需|-|≤1且 b>0.
6 已知向量a=(2cosα,2sina),b=(3cosβ,3sinβ),a與b的夾角為60° 37、,則直線xcosα-ysinα+=0與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置關(guān)系是 ( )
A.相切 B.相交
C.相離 D.隨α,β的值而定
答案: C 解析:略
7 當(dāng)x,y滿足約束條件 (k為常數(shù))時(shí),能使z=x+3y的最大值為12的k的值為 ( )
A.-9 B.9
C.-12 D.12
答案: A 解析:畫出線性約束條件所表示的平面區(qū)域,,由圖可知,目標(biāo)函數(shù)y=-的圖像過(guò)直線y=x與2x+y+k=0的交點(diǎn)時(shí),z最大,解得交點(diǎn)為(-,-),得z=12,所以選A.
說(shuō)明:8~11解析:略
8 已知點(diǎn)M 38、(-3,0)、N(3,0)、O(1,0),⊙C與直線MN切于點(diǎn)B,過(guò)M、N與⊙C相切的兩直線相交于點(diǎn)P, 則P點(diǎn)的軌跡方程為 ( )
A.x2-=1
B.x2-=1(x>1)
C.x2+=1
D.x2+=1
答案: B
9 有下列4個(gè)命題:
①兩直線垂直的充要條件是k1k2=-1;
②點(diǎn)M(x0,y0)在直線Ax+By+C=0外時(shí),過(guò)點(diǎn)M(x0,y0)與直線Ax+By+C=0(AB≠0)平行的直線方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0;
③直線l1:y=2x-1到l2:y=x+5的角是;
④兩平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離是d= 39、其中正確的命題有 ( )
A.①② B.③④
C.②④ D.以上答案均對(duì)
答案: C
的平分線所在直線的方程為:x-4y+10=0,求邊BC所在直線的方程.
答案:解:設(shè)B(a,b),B在直線BT上,∴a-4b+10=0①
又AB中點(diǎn)
M()在直線CM上,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程6x+10y-59=0
∴6·+10·-59=0②
解①、②組成的方程組可得a=10,b=5
∴B(10,5),
又由角平分線的定義可知,直線BC到BT的角等于直線BT到直線BA的角,又kAB=,kBT=
∴ ∴kBC=-∴BC所在直線的方 40、程為y-5=-(x-10)即2x+9y-65=0
14 某人有樓房一幢,室內(nèi)面積共180m2,擬分隔成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿費(fèi)為40元;小房間每間面積為15m2,可住游客3名,每名游客每天住宿費(fèi)為50元.裝修大房間每間需1000元,裝修小房間每間需600元.如果他只能籌款8000元用于裝修,且游客能住滿客房,他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間,能獲得最大收益?
解6x+5y=60與5x+3y=40聯(lián)立的方程組得到B().由于點(diǎn)B的坐標(biāo)不是整數(shù),而
x、y∈N,所以可行域內(nèi)的點(diǎn)B不是最優(yōu)解.
為求出最優(yōu)解,同樣必須進(jìn)行定量分析.
41、
因?yàn)?×+3×=≈37.1,但該方程的非負(fù)整數(shù)解(1,11)、(4,7)、(7,3)均不在可行域內(nèi),所以應(yīng)取4x+3y=36.同樣可以驗(yàn)證,在可行域內(nèi)滿足上述方程的整點(diǎn)為(0,12)和(3,8).此時(shí)z取最大值 1800元.
15 設(shè)有半徑為3km的圓形村落,A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā),B向北直行,A先向東直行,出村后不久,改變前進(jìn)方向,沿著與村落周界相切的直線前進(jìn),后來(lái)恰與。相遇.設(shè)A、B兩人速度一定,其速度比為3:1,問(wèn)兩人在何處相遇?
設(shè)直線y=-x+b與圓O:x2+y2=9相切,
則有=3,∴b=.
答:A、B相遇點(diǎn)在離村中心正北3 千米處.
16 設(shè)數(shù)列{a 42、n}的前n項(xiàng)和Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,…),a、b是常數(shù)且b≠0.
(1)證明:{an}是等差數(shù)列.
答案:證明:由條件,得al=S1=a,當(dāng)n≥2時(shí),
有an=Sn-Sn-1=[na++n(n-1)b]-[(n-1)a+(n- 1)(n-2)b]=a+2(n-1)b.
因此,當(dāng)n≥2時(shí),有an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b.
所以{an}是以a為首項(xiàng),2b為公差的等差數(shù)列.
(2)證明:以(an,-1)為坐標(biāo)的點(diǎn)Pn(n=1,2,…)都落在同一條直線上,并寫出此直線的方程.
答案:證明:∵b≠0,對(duì)于n≥2,有
∴所有的點(diǎn)Pn(an,)(n=1,2,…)都落在通過(guò)P1 (a,a-1)且以為斜率的直線上.此直線方程為了y-(a-1)= (x-a),即x-2y+a-2=0.
(3)設(shè)a=1,b=,C是以(r,r)為圓心,r為半徑的圓(r>0),求使得點(diǎn)P1、P2、P3都落在圓C外時(shí),r的取值范圍.
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