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2020高考數學一輪復習 不等式選講教案 理 選修4-5

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1、2020高考數學(理)一輪復習教案:選修4-5不等式選講 【2020年高考會這樣考】 1.考查含絕對值不等式的解法. 2.考查有關不等式的證明. 3.利用不等式的性質求最值. 【復習指導】 本講復習時,緊緊抓住含絕對值不等式的解法,以及利用重要不等式對一些簡單的不等式進行證明.該部分的復習以基礎知識、基本方法為主,不要刻意提高難度,以課本難度為宜,關鍵是理解有關內容本質. 基礎梳理 1.含有絕對值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<-a; (2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a; (3)對形如|x-a|+|x-b|≤

2、c,|x-a|+|x-b|≥c的不等式,可利用絕對值不等式的幾何意義求解. 2.含有絕對值的不等式的性質 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 3.基本不等式 定理1:設a,b∈R,則a2+b2≥2ab.當且僅當a=b時,等號成立. 定理2:如果a、b為正數,則≥,當且僅當a=b時,等號成立. 定理3:如果a、b、c為正數,則≥,當且僅當a=b=c時,等號成立. 定理4:(一般形式的算術-幾何平均值不等式)如果a1、a2、…、an為n個正數,則≥,當且僅當a1=a2=…=an時,等號成立. 5.不等式的證明方法 證明不等式常用的

3、方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等. 雙基自測 1.不等式1<|x+1|<3的解集為________. 答案 (-4,-2)∪(0,2) 2.不等式|x-8|-|x-4|>2的解集為________. 解析 令:f(x)=|x-8|-|x-4|= 當x≤4時,f(x)=4>2; 當4<x≤8時,f(x)=-2x+12>2,得x<5, ∴4<x<5; 當x>8時,f(x)=-4>2不成立. 故原不等式的解集為:{x|x<5}. 答案 {x|x<5} 3.已知關于x的不等式|x-1|+|x|≤k無解,則實數k的取值范圍是________. 解析 ∵|x-1|+

4、|x|≥|x-1-x|=1,∴當k<1時,不等式|x-1|+|x|≤k無解,故k<1. 答案 k<1 4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整數有且僅有1,2,3,則b的取值范圍為________. 解析 由|3x-b|<4,得<x<, 即解得5<b<7. 答案 (5,7) 5.(2020·南京模擬)如果關于x的不等式|x-a|+|x+4|≥1的解集是全體實數,則實數a的取值范圍是________. 解析 在數軸上,結合實數絕對值的幾何意義可知a≤-5或a≥-3. 答案 (-∞,-5]∪[-3,+∞) 考向一 含絕對值不等式的解法 【例1】?設函數f(x)=|2x

5、+1|-|x-4|. (1)解不等式f(x)>2; (2)求函數y=f(x)的最小值. [審題視點] 第(1)問:采用分段函數解不等式;第(2)問:畫出函數f(x)的圖象可求f(x)的最小值. 解 (1)f(x)=|2x+1|-|x-4|= 當x<-時,由f(x)=-x-5>2得,x<-7.∴x<-7; 當-≤x<4時,由f(x)=3x-3>2,得x>, ∴<x<4; 當x≥4時,由f(x)=x+5>2,得x>-3,∴x≥4. 故原不等式的解集為 . (2)畫出f(x)的圖象如圖: ∴f(x)min=-. (1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟:①求零點;②劃區(qū)

6、間、去絕對值號;③分別解去掉絕對值的不等式;④取每個結果的并集,注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值. (2)用圖象法,數形結合可以求解含有絕對值的不等式,使得代數問題幾何化,即通俗易懂,又簡潔直觀,是一種較好的方法. 【訓練1】 設函數f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若a=-1,解不等式f(x)≥3; (2)如果?x∈R,f(x)≥2,求a的取值范圍. 解 (1)當a=-1時,f(x)=|x-1|+|x+1|, f(x)= 作出函數f(x)=|x-1|+|x+1|的圖象. 由圖象可知,不等式的解集為. (2)若a=1,f(x)=2|x-1|,不滿足題設條件; 若

7、a<1,f(x)= f(x)的最小值為1-a. 若a>1,f(x)= f(x)的最小值為a-1. ∴對于?x∈R,f(x)≥2的充要條件是|a-1|≥2, ∴a的取值范圍是(-∞,-1]∪[3,+∞). 考向二 不等式的證明 【例2】?證明下列不等式: (1)設a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2; (2)a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc; (3)a6+8b6+c6≥2a2b2c2. [審題視點] (1)作差比較;(2)綜合法;(3)利用柯西不等式. 證明 (1)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)-2b2(a-b) =

8、(a-b)(3a2-2b2). ∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>0. ∴(a-b)(3a2-2b2)≥0. ∴3a2+2b3≥3a2b+2ab2. (2)∵a2+4b2≥2=4ab, a2+9c2≥2=6ac, 4b2+9c2≥2=12bc, ∴2a2+8b2+18c2≥4ab+6ac+12bc, ∴a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc. (3)a6+8b6+c6≥3 =3×a2b2c2=2a2b2c2, ∴a6+8b6+c6≥2a2b2c2. (1)作差法應該是證明不等式的常用方法.作差法證明不等式的一般步驟是:①作差;②分解因式;③與0比較;

9、④結論.關鍵是代數式的變形能力. (2)注意觀察不等式的結構,利用基本不等式或柯西不等式證明. 【訓練2】 (2020·遼寧)已知a,b,c均為正數,證明:a2+b2+c2+2≥6,并確定a,b,c為何值時,等號成立. 證明 法一 因為a,b,c均為正數,由基本不等式得,a2+b2+c2≥3(abc),① ++≥3(abc)-, 所以2≥9(abc)-,② 故a2+b2+c2+2≥3(abc)+9(abc)-. 又3(abc)+9(abc)-≥2=6,③ 所以原不等式成立. 當且僅當a=b=c時,①式和②式等號成立. 當且僅當3(abc)=9(abc)-時,③式等號成立.

10、 故當且僅當a=b=c=3時,原不等式等號成立. 法二 因為a,b,c均為正數,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.① 同理++≥++,② 故a2+b2+c2+2≥ab+bc+ac+++≥6.③ 所以原不等式成立. 當且僅當a=b=c時,①式和②式等號成立,當且僅當a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3時,③式等號成立.故當且僅當a=b=c=3時,原不等式等號成立. 考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值 【例3】?已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求++的最大值. [審題視點]

11、先將(++)平方后利用基本不等式;還可以利用柯西不等式求解. 解 法一 利用基本不等式 ∵(++)2=(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+2·+2·+2·≤(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+[(3a+1)+(3b+1)]+[(3b+1)+(3c+1)]+[(3a+1)+(3c+1)] =3[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)]=18, ∴++≤3, ∴(++)max=3. 法二 利用柯西不等式 ∵(12+12+12)[()2+()2+()2]≥(1·+1·+1·)2 ∴(++)2≤3[3(a+b+c)+3]. 又∵a+b+c=1,∴(++)2≤18, ∴

12、++≤3. 當且僅當==時,等號成立. ∴(++)max=3. 利用基本不等式或柯西不等式求最值時,首先要觀察式子特點,構造出基本不等式或柯西不等式的結構形式,其次要注意取得最值的條件是否成立. 【訓練3】 已知a+b+c=1,m=a2+b2+c2,求m的最小值. 解 法一 ∵a+b+c=1, ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1, 又∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc, ∴2(a2+b2+c2)≥2ab+2ac+2bc, ∴1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3(a2+b2+c2). ∴a2+b2+c2≥. 當且僅當a=b

13、=c時,取等號,∴mmin=. 法二 利用柯西不等式 ∵(12+12+12)(a2+b2+c2)≥(1·a+1·b+1·c)=a+b+c=1. ∴a2+b2+c2≥,當且僅當a=b=c時,等號成立. ∴mmin= 如何求解含絕對值不等式的綜合問題 從近兩年的新課標高考試題可以看出,高考對《不等式選講》的考查難度要求有所降低,重點考查含絕對值不等式的解法(可能含參)或以函數為背景證明不等式,題型為填空題或解答題. 【示例】? (本題滿分10分)(2020·新課標全國)設函數f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)當a=1時,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2

14、)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},求a的值. 第(2)問解不等式|x-a|+3x≤0的解集,結果用a表示,再由{x|x≤-1}求a. [解答示范] (1)當a=1時,f(x)≥3x+2可化為|x-1|≥2. 由此可得x≥3或x≤-1. (3分) 故不等式f(x)≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤-1}.(5分) (2)由f(x)≤0得,|x-a|+3x≤0. 此不等式化為不等式組或 即或(8分) 因為a>0,所以不等式組的解集為. 由題設可得-=-1,故a=2.(10分) 本題綜合考查了含絕對值不等式的解法,屬于中檔題.解含絕對值的不等式主要是通過同解

15、變形去掉絕對值符號轉化為一元一次和一元二次不等式(組)進行求解.含有多個絕對值符號的不等式,一般可用零點分段法求解,對于形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m為正常數),利用實數絕對值的幾何意義求解較簡便. 【試一試】 (2020·遼寧)已知函數f(x)=|x-2|-|x-5|. (1)證明:-3≤f(x)≤3; (2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集. [嘗試解答] (1)f(x)=|x-2|-|x-5|= 當2<x<5時,-3<2x-7<3.所以-3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知,當x≤2時,f(x)≥x2-8x+15的解集為空集;當2<x<5時,f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-≤x<5}; 當x≥5時,f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5≤x≤6}. 綜上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-≤x≤6}.

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