專題限時(shí)集訓(xùn)(三) [第3講　函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用] (時(shí)間：45分鐘) 1．函數(shù)f(x)＝log2x－的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 2．若一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為(　　) 圖3－1 3．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 則最佳的體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是(　　) A．v＝log2t B．v＝2t－2 C．v＝ D．v＝2t－2 4．函數(shù)f(x)＝3cosx－log2x－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5．如圖3－2的函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，但不宜用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是(　　) 圖3－2 6．設(shè)f(x)＝ex＋x－4，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 7．如圖3－3所示，有一個(gè)直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a m(0<a<12)和4 m，不考慮樹的粗細(xì)，現(xiàn)在用16 m長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形的花圃ABCD.設(shè)此矩形花圃的面積為S m2，S的最大值為f(a)，若將這棵樹圍在花圃內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)的圖象大致是(　　) 圖3－3 圖3－4 8．若函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點(diǎn)為2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是(　　) A．0，2 B．0， C．0，－ D．2， 9．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－1，1)上的圖象是連續(xù)的，且方程f(x)＝0在(－1，1)上僅有一個(gè)實(shí)根0，則f(－1)·f(1)的值(　　) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．無(wú)法確定 10．已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋2有一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(k，k＋1)(k∈N*)，則k的值為________． 11．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 12．已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的取值范圍； (2)若方程兩根均在(0，1)內(nèi)，求m的取值范圍． 13．省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(小時(shí))的關(guān)系為f(x)＝＋2a＋，x∈[0，24]．其中a是與氣候有關(guān)的參數(shù)，且a∈，若取每天f(x)的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記為M(a)． (1)令t＝，x∈[0，24]，求t的取值范圍； (2)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)：目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)． 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝lnx. (1)當(dāng)m＝2時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)在[1，m]上的最大值； (2)記函數(shù)p(x)＝f(x)－g(x)，若函數(shù)p(x)有零點(diǎn)，求m的取值范圍． 專題限時(shí)集訓(xùn)(三) 【基礎(chǔ)演練】 1．B　[解析] 依題意，因?yàn)閒(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－＝1－＝>0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈(1，2)． 2．B　[解析] 依題意，由所給出的函數(shù)圖象可求得函數(shù)解析式為h＝20－5t(0≤t≤4)，對(duì)照選項(xiàng)可知圖象應(yīng)為B.故選B. 3．C　[解析] 將表中的數(shù)據(jù)代入各選項(xiàng)中的函數(shù)解析式驗(yàn)證，可知只有v＝滿足．故選C. 4．B　[解析] 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y＝3cosx和y＝log2x＋的圖象，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 【提升訓(xùn)練】 5．B　[解析] 分析選項(xiàng)中所給圖象，只有B兩側(cè)的函數(shù)值是同號(hào)的，所以不能用二分法求解．故選B. 6．C　[解析] f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－2>0，故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(1，2)內(nèi)． 7．C　[解析] 設(shè)CD＝x，依題意，得S＝x(16－x)(4<x<16－a)，所以Smax＝f(a)＝對(duì)照?qǐng)D象知，C符合函數(shù)模型對(duì)應(yīng)的圖象．故選C. 8．C　[解析] 由已知f(2)＝2a＋b＝0，可得b＝－2a，則g(x)＝－2ax2－ax，令g(x)＝0得x＝0或x＝－，所以g(x)的零點(diǎn)是0或－，故選C. 9．D　[解析] 由題意，知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有零點(diǎn)0，該零點(diǎn)可能是變號(hào)零點(diǎn)，也可能是不變號(hào)零點(diǎn)，所以f(－1)·f(1)的符號(hào)不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x. 10．3　[解析] 由題意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以該函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(3，4)內(nèi)，由此可得k＝3.故填3. 11．(0，1)　[解析] 畫出函數(shù)f(x)＝的圖象(如圖)，由函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象得0<m<1.故填(0，1)． 12．解：(1)條件說(shuō)明拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得 ? ∴－<m<－. (2)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組得－<m≤1－. (這里0<－m<1是因?yàn)閷?duì)稱軸x＝－m對(duì)應(yīng)的－m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)過(guò)) 13．解：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0； 當(dāng)0<x≤24時(shí)，x＋≥2(當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))，∴t＝＝∈，即t的取值范圍是. (2)當(dāng)a∈時(shí)，記g(t)＝|t－a|＋2a＋， 則g(t)＝ ∵g(t)在[0，a]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 且g(0)＝3a＋，g＝a＋，g(0)－g＝2. 故M(a)＝ 即M(a)＝ ∴當(dāng)且僅當(dāng)a≤時(shí)，M(a)≤2. 故當(dāng)0≤a≤時(shí)不超標(biāo)，當(dāng)<a≤時(shí)超標(biāo)． 14．解：(1)當(dāng)m＝2，x∈[1，2]時(shí)， f(x)＝x·(x－1)＋2＝x2－x＋2＝x－2＋. ∵函數(shù)y＝f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增， ∴f(x)max＝f(2)＝4，即f(x)在[1，2]上的最大值為4. (2)函數(shù)p(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，函數(shù)p(x)有零點(diǎn)，即方程f(x)－g(x)＝x|x－1|－lnx＋m＝0有解，即m＝lnx－x|x－1|有解，令h(x)＝lnx－x|x－1|. 當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，h(x)＝x2－x＋lnx. ∵h(yuǎn)′(x)＝2x＋－1≥2－1>0當(dāng)且僅當(dāng)2x＝時(shí)取“＝”，∴函數(shù)h(x)在(0，1]上是增函數(shù)，∴h(x)≤h(1)＝0. 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)＝－x2＋x＋lnx. ∵h(yuǎn)′(x)＝－2x＋＋1＝＝－<0，∴函數(shù)h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)， ∴h(x)<h(1)＝0，∴方程m＝lnx－x|x－1|有解時(shí)，m≤0， 即函數(shù)p(x)有零點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為(－∞，0]．