3、|，|BF2|成等差數(shù)列，則|AB|的長為( )
A. B．1 C. D.
8．已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1恰好將線段AB三等分，則( )
A．a(chǎn)2＝13 B．a(chǎn)2＝ C．b2＝2 D．b2＝
9．已知焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，則該雙曲線的離心率為________．
10．短軸長為，離心率e＝的橢圓的兩焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF2的周長為________．
11．F是拋物線x2＝2y的焦點，A，B是拋物線上
4、的兩點，|AF|＋|BF|＝6，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________．
12．已知點F(1，0)，直線l：x＝－1，動點P到點F的距離等于它到直線l的距離．
(1)試判斷點P的軌跡C的形狀，并寫出其方程；
(2)是否存在過N(4，2)的直線m，使得直線m被截得的弦AB恰好被點N所平分？
13．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓上任意一點到右焦點F的距離的最大值為＋1.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點C(m，0)是線段OF上一個動點(O為坐標原點)，是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B點，使|AC|＝|BC|，并說明理由．
5、
14．如圖15－1，橢圓＋＝1(a>b>0)的上、下頂點分別為A，B，已知點B在直線l：y＝－1上，且橢圓的離心率e＝.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設P是橢圓上異于A，B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ的中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM⊥MN.
圖15－1
專題限時集訓(十五)
6、
【基礎演練】
1．C [解析] 拋物線的焦點坐標為(3，0)，所以m2＋5＝9，解得m＝2，所以雙曲線的離心率為.
2．D [解析] 當焦點在x軸上時，＝，解得m＝3；當焦點在y軸上時，＝，解得m＝.
3．B [解析] 方法1：根據(jù)已知得點M的軌跡方程為x2＋y2＝3，與雙曲線方程聯(lián)立消掉x得y2＝，解得|y|＝，即為點M到x軸的距離．
方法2：設||＝m，||＝n，由得m·n＝4，
由S△F1MF2＝m·n＝|F1F2|·d，解得d＝.故選B.
4．D [解析] 設點A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為A，B兩點到直線x＝－2的距離之和等于5，所以x1＋2＋x2＋2＝5.
7、所以x1＋x2＝1.由拋物線的定義得|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝3.而過拋物線焦點弦的最小值(當弦AB⊥x軸時，是最小焦點弦)為4，所以不存在滿足條件的直線．
【提升訓練】
5．D [解析] 設P(x0，y0)，則·＝－，化簡得
＋＝1，可以判斷＝，e＝＝＝.
6．A [解析] 根據(jù)·＝0，tan∠PF1F2＝2，可得△PF1F2為直角三角形且|PF2|＝2|PF1|，根據(jù)雙曲線定義得|PF2|－|PF1|＝2a，由此得|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，根據(jù)勾股定理(2a)2＋(4a)2＝(2c)2，由此得＝5，即e＝.
7．C [解析] 根據(jù)橢圓定義|AF1|＋|AF2|＝2a
8、＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，兩式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，即(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝4，而|AF1|＋|BF1|＝|AB|，|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，所以3|AB|＝4，即|AB|＝.
8．D [解析] 因為橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點，所以c2＝5，a2＝b2＋5；取C2的一條漸近線l：y＝2x，設l與C1的交點為M，N，聯(lián)立得(4a2＋b2)x2－a2b2＝0，則|MN|＝·，
因為C1恰好將線段AB三等分，所以|MN|＝，所以＝＝，a2＝，b2＝.
9. [解
9、析] 因為焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，所以b＝4a，c2＝17a2，e＝.
10．6 [解析] 由題知即解得
由橢圓的定義知△ABF2的周長為4a＝4×＝6.
11. [解析] |AF|＋|BF|＝6，由拋物線的定義即|AD|＋|BE|＝6，又線段AB的中點到準線的距離為(|AD|＋|BE|)＝3，拋物線的準線為y＝－，所以線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為.
12．解：(1)因點P到點F的距離等于它到直線l的距離，所以點P的軌跡C是以F為焦點，直線x＝－1為準線的拋物線，其方程為y2＝4x.
(2)方法1：假設存在滿足題設的直線m.設直線m與軌跡C交于A(x1，y1
10、)，B(x2，y2)，
依題意，得
①當直線m的斜率不存在時，不合題意．
②當直線m的斜率存在時，設直線m的方程為y－2＝k(x－4)，
聯(lián)立方程組
消去y，得k2x2－(8k2－4k＋4)x＋(2－4k)2＝0，(*)
∴x1＋x2＝＝8，解得k＝1.
此時，方程(*)為x2－8x＋4＝0，其判別式大于零，
∴存在滿足題設的直線m.
且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.
方法2：假設存在滿足題設的直線m.設直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依題意，得
易判斷直線m不可能垂直于y軸，
∴設直線m的方程為x－4＝a(y－2)，
聯(lián)
11、立方程組
消去x，得y2－4ay＋8a－16＝0，
∵Δ＝16(a－1)2＋48>0，
∴直線與軌跡C必相交．
又y1＋y2＝4a＝4，∴a＝1.
∴存在滿足題設的直線m，
且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.
方法3：假設存在滿足題設的直線m.設直線m與軌跡C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依題意，得
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在軌跡C上，
∴有將①－②，得y－y＝4(x1－x2)．
當x1＝x2時，弦AB的中點不是N，不合題意，
∴＝＝1，即直線AB的斜率k＝1，
注意到點N在曲線C的張口內(或：經(jīng)檢驗，直線m與軌跡C相交)，
12、
∴存在滿足題設的直線m，且直線m的方程為：y－2＝x－4，即x－y－2＝0.
13．解：(1)因為所以∴b＝1，
橢圓方程為：＋y2＝1.
(2)由(1)得F(1，0)，所以0≤m≤1，假設存在滿足題意的直線l，設l的方程為y＝k(x－1)，
代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，①
∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，
設AB的中點為M，則M，－，
∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCM·kAB＝－1，
∴·k＝－1?(1－2m)k2＝m，
∴當0≤m<時，k＝±，即存在這樣的直線l；
當≤m≤1，k不存在，即不存在這樣的直線l.
14．解：(1)依題意，得b＝1.
∵e＝＝，a2－c2＝b2＝1，∴a2＝4.
∴橢圓的標準方程為＋y2＝1.
(2)證明：設P(x0，y0)，x0≠0，則Q(0，y0)，且＋y＝1.
∵M為線段PQ中點，∴M.
又A(0，1)，∴直線AM的方程為y＝x＋1.
∵x0≠0，∴y0≠1，令y＝－1，得C.
又B(0，－1)，N為線段BC的中點，∴N.
∴＝.
∴·＝＋y0·(y0＋1)＝－＋y＋y0
＝＋y－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0，
∴OM⊥MN.
2020高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓(十五)圓錐曲線的定義、方程與性質配套作業(yè) 理（解析版新課標）
