大題專項(xiàng)練習(xí)(四)　立體幾何 1．[2020·安徽池州月考]如圖，在幾何體ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四邊形A1ACC1是正方形，B1C1∥BC，Q是A1B的中點(diǎn)，且AC＝BC＝2B1C1，∠ACB＝. (1)證明：B1Q⊥A1C； (2)求直線AC與平面A1BB1所成角的正弦值． 2．[2020·全國(guó)卷Ⅲ]如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)． (1)證明：平面AMD⊥平面BMC； (2)當(dāng)三棱錐M－ABC體積最大時(shí)，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值． 3．[2020·康杰中學(xué)模擬]已知四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝BC＝1，沿對(duì)角線BD將△ABD旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A至點(diǎn)P的位置，此時(shí)滿足PD⊥BC. (1)證明：PD⊥CD； (2)求二面角A－PB－C平面角的正弦值． 4．[2020·武威六中第六次診斷考試]如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的中點(diǎn)． (1)求證：平面EAC⊥平面PBC； (2)若二面角P－AC－E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值． 5．[2020·安徽安慶一中模擬]如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為棱A1B1與BB1的中點(diǎn)，M，N為線段C1D上的動(dòng)點(diǎn)，其中，M更靠近D，且MN＝C1N. (1)證明：A1E⊥平面AC1D； (2)若NE與平面BCC1B1所成角的正弦值為，求異面直線BM與NE所成角的余弦值． 6．[2020·福建三明一中模擬]如圖所示，四邊形ABCD為菱形，且∠ABC＝120°，AB＝2，BE∥DF，且BE＝DF＝3，DF⊥平面ABCD， (1)求證：平面ABE⊥平面ABCD； (2)求平面AEF與平面ABE所成銳二面角的正弦值．