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2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六、七模塊 數(shù)列 不等式 推理與證明 新人教版

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1、第六、七模塊 數(shù)列 不等式 推理與證明 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.在等比數(shù)列{an}中,若a3a5a7a9a11=243,則的值為(  ) A.9            B.1 C.2 D.3 解析:a3a5a7a9a11=aq30=243,所以==a1q6==3.故選D. 答案:D 2.在等比數(shù)列{an}中,an>an+1,且a7·a11=6,a4+a14=5,則等于(  ) A. B. C.- D.- 解析: 即a4,a14可視為方程x2-5x+6=0的兩根

2、, 又an>an+1,故a4=3,a14=2,從而==.故選B. 答案:B 3.在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=,則通項(xiàng)公式為an=(  ) A. B.n C. D.n2 解析:當(dāng)n≥2時(shí),an=,取倒數(shù)得=+1,數(shù)列{}是以為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列,則=n,an=,且a1=1也適合an=.故選C. 答案:C 4.已知0

3、gna+lognc=logn(ac)=lognb2=2lognb=.故選C. 答案:C 5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(  ) A.a(chǎn)n=2n-1 B. C.a(chǎn)n=n2 D.a(chǎn)n=n 解析:∵an=n(an+1-an), ∴=, ∴an=×××…×××a1=×××…×××1=n.故選D. 答案:D 6.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積等于Tn= (n∈N*),bn=log2an,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn中的最大值是(  ) A.S6 B.S5 C.S4 D.S3 解析:Sn=b

4、1+b2+…+bn=log2(a1a2……an)=log2Tn=12n-2n2=-2(n-3)2+18, ∴n=3時(shí),Sn的值最大. 故選D. 答案:D 7.已知a,b∈R,且a>b,則下列不等式中恒成立的是(  ) A.a(chǎn)2>b2          B. C.lg(a-b)>0 D.>1 解析:對(duì)于A、D,當(dāng)a=0,b=-1時(shí)不成立;對(duì)于C,當(dāng)a=2,b=時(shí)不成立,故應(yīng)選B. 答案:B 8.設(shè)a>0,b>0,則以下不等式中不恒成立的是(  ) A.(a+b)≥4 B.a(chǎn)3+b3≥2ab2 C.a(chǎn)2+b2+2≥2a+2b D.≥- 解析:對(duì)于B,

5、當(dāng)a=0,b=-1時(shí)不成立,故應(yīng)選B. 答案:B 9.當(dāng)點(diǎn)M(x,y)在如圖所示的三角形ABC內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=kx+y取得最大值的一個(gè)最優(yōu)解為(1,2),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  ) A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.[-1,1] C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) 解析:當(dāng)k>0時(shí),要使函數(shù)在C點(diǎn)取得最大值只需kBC+k≤0?-1≤-k<0?00,則x0的取

6、值范圍是(  ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,+∞) 解析:當(dāng)x0<0時(shí),則lg|x0|>0, ∴|x0|>1,∴x0<-1, 當(dāng)x0≥0時(shí),則2x0-1>0,∴2x0>1, ∴x0>0. 綜上知,x0的范圍是(-∞,-1)∪(0,+∞). 答案:B 11.已知a>b>0,ab=1,則的最小值是(  ) A.2 B. C.2 D.1 解析:記a-b=t,則t>0,==t+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)t=,即a=,b=時(shí)取等號(hào)).故選A. 答案:A 12.下面四個(gè)結(jié)論

7、中,正確的是(  ) A.式子1+k+k2+…+kn(n=1,2,…)當(dāng)n=1時(shí),恒為1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n=1,2…)當(dāng)n=1時(shí),恒為1+k C.式子+++…+(n=1,2,…)當(dāng)n=1時(shí),恒為++ D.設(shè)f(n)=++…+(n∈N*),則f(k+1)=f(k)+++ 答案:C 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中的橫線上. 13.已知Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和,且S6>S7>S5,有下列四個(gè)命題: (1)d<0;(2)S11>0;(3)S12<0;(4)數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S11,其中正確命題的序號(hào)是__

8、______. 解析:由S6>S7>S5,得a7=S7-S6<0,a6+a7=S7-S5>0,所以a6>0,a7<0,所以d<0, 所以(1)正確; 又S11=11a6>0,所以(2)也正確; 而S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,所以(3)不正確; 由上知,數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)應(yīng)為S6,所以(4)也不正確,所以正確命題的序號(hào)是(1)(2). 答案:(1)(2) 14.在數(shù)列{an}中,如果對(duì)任意n∈N*都有=k(k為常數(shù)),則稱{an}為等差比數(shù)列,k稱為公差比.現(xiàn)給出下列命題: (1)等差比數(shù)列的公差比一定不為0; (2)等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列; (3

9、)若an=-3n+2,則數(shù)列{an}是等差比數(shù)列; (4)若等比數(shù)列是等差比數(shù)列,則其公比等于公差比. 其中正確的命題的序號(hào)為_(kāi)_______. 解析:若k=0,{an}為常數(shù),分母無(wú)意義,(1)正確;公差為0的等差數(shù)列不是等差比數(shù)列,(2)錯(cuò)誤;=3,滿足定義,(3)正確;設(shè)an=a1qn-1,則==q,(4)正確. 答案:(1)(3)(4) 15.不等式<1的解集為{x|x<1或x>2},那么a的值為_(kāi)_______. 解析:不等式<1可化為<0,即(x-1)[(a-1)x+1]<0,由題意知=2,∴a=. 答案: 16.已知點(diǎn)P(x,y)滿足條件(k為常數(shù)),若z=x+3

10、y的最大值為8,則k=________. 解析:由題意知k<0,且當(dāng)z=x+3y經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)取最大值(如圖), 由得x=y(tǒng)=-, 代入z=x+3y得8=-k,即k=-6. 答案:-6 三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.(10分)(2020·天津市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為a-1,4,2a,記前n項(xiàng)和為Sn. (1)設(shè)Sk=2550,求a和k的值; (2)設(shè)bn=,求b3+b7+b11+…+b4n-1的值. 解:(1)由已知得a1=a-1,a2=4,a3=2a, 又a1+a3=2a2,∴(a-1)+2a=8,

11、即a=3. ∴a1=2,公差d=a2-a1=2. 由Sk=ka1+d, 得2k+×2=2550, 即k2+k-2550=0, 解得k=50或k=-51(舍去). ∴a=3,k=50. (2)由Sn=na1+d, 得Sn=2n+×2=n2+n. ∴bn==n+1. ∴{bn}是等差數(shù)列. 則b3+b7+b11+…+b4n-1=(3+1)+(7+1)+(11+1)+…+(4n-1+1)==2n(n+1). 18.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,首項(xiàng)為a1,且2,an,Sn成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若bn=log2an

12、,cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)由題意知2an=Sn+2,an>0, 當(dāng)n=1時(shí),2a1=a1+2, ∴a1=2. 當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,兩式相減得 an=2an-2an-1,整理得=2. ∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. ∴an=2×2n-1=2n. 當(dāng)n=1時(shí),上式亦成立,∴an=2n. (2)由(1)知an=2n,∴bn=n,cn=, Tn=+++…+,① Tn=+++…+,② ①-②得Tn=++++…+-, ∴Tn=1--, ∴Tn=2-. 19.(12分)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足

13、f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè). (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式; (2)若數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=f(an),bn=-1,n∈N*,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出{bn}的通項(xiàng)公式; (3)在(2)的條件下,證明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*). 解:(1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1. 由f(x)=2x只有一解,即=2x, 也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解, ∴b=-1. ∴a=-1.故f(x)=. (2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn=-1, ∴===,

14、 ∴{bn}為等比數(shù)列,q=. 又∵a1=, ∴b1=-1=, bn=b1qn-1=n-1=n(n∈N*). (3)證明:∵anbn=an=1-an =1-=, ∴a1b1+a2b2+…+anbn=++…+<++…+= =1-<1(n∈N*). 20.(12分)已知集合A=,集合B={x|x2-(2m+1)x+m2+m<0} (1)求集合A,B; (2)若B?A,求m的取值范圍. 解:(1)≤1?≤0?-2≤x<2, 即A={x|-2≤x<2}; x2-(2m+1)x+m2+m<0?(x-m)[x-(m+1)]<0?m

15、(2)B?A??-2≤m≤1. 21.(12分)解關(guān)于x的不等式:x|x-a|≤(a>0). 解:x≥a時(shí),不等式可轉(zhuǎn)化為 即, 解得a≤x≤a. 當(dāng)x

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