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1、第四十二講　拋物線 班級(jí)________　姓名________　考號(hào)________　日期________　得分________ 一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．) 1．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為(　　) A．y2＝±4　　　　　　　　 B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：y2＝ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.過焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y＝2，令x＝0得：y＝－. ∴×·＝4， ∴a2＝64， ∴a＝±8

2、，故選B. 答案：B 2．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 解析：如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為P到F的距離，由圖可知，距離和的最小值即F到直線l1的距離d＝＝2，故選A. 答案：A 3．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是(　　) A．4 B．3 C．4 D．8 解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線

3、為l：x＝－1，經(jīng)過F且斜率為的直線y＝(x－1)與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A(3,2)，AK⊥l，垂足為K(－1,2)，∴△AKF的面積是4.故選C. 答案：C 4．若拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，則經(jīng)過點(diǎn)F、M(4,4)且與l相切的圓共有(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè) 解析：經(jīng)過F、M的圓的圓心在線段FM的垂直平分線上，設(shè)圓心為C，則|CF|＝|CM|，又圓C與l相切，所以C到l距離等于|CF|，從而C在拋物線y2＝4x上． 故圓心為FM的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，顯然有兩個(gè)交點(diǎn)，所以共有兩個(gè)圓，故選C. 答案：C 5．設(shè)F為

4、拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若＝0，則等于(　　) A．9 B．6 C．4 D．3 解析：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(xiàn)(1,0)． ∵＝0，∴x1＋x2＋x3＝3. 又由拋物線定義知＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6，故選B. 答案：B 6．設(shè)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M(，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，|BF|＝2，則△BCF與△ACF的面積之比等于(　　) A. B. C. D. 解析：由|BF|＝2小于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離知點(diǎn)B在

5、A、C之間，由拋物線的定義知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，代入得y2＝3，則B，另一種可能是，那么此時(shí)直線AC的方程為＝，即y＝，把y＝代入y2＝2x，可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，則有y＝2，即A(2,2)，那么S△BCFS△ACF＝|BC||AC|＝＝45，故選A. 答案：A 二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．) 7．已知拋物線型拱的頂點(diǎn)距離水面2米時(shí)，測(cè)量水面寬為8米，當(dāng)水面上升米后，水面的寬度是________． 解析：設(shè)拋物線方程為x2＝－2py，將(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8， 故方程為x2＝－

6、8y，水面上升米，則y＝－，代入方程，得x2＝－8×＝12，x＝±2.故水面寬4米． 答案：4米 8．點(diǎn)P到A(1,0)和直線x＝－1的距離相等，且點(diǎn)P到直線l：y＝x的距離等于，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________． 解析：由拋物線定義，知點(diǎn)P的軌跡為拋物線，其方程為y2＝4x，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，知＝，即y－4y0±4＝0，易知y0有三個(gè)解，故點(diǎn)P個(gè)數(shù)有三個(gè)． 答案：3 9．已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F且斜率為1的直線交C于A、B兩點(diǎn)．設(shè)|FA|>|FB|，則|FA|與|FB|的比值等于________． 解析：拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0

7、)，準(zhǔn)線方程：x＝－1，如圖， 則直線AB的方程為y＝x－1， 由得 x2－6x＋1＝0，① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程①的兩根， ∴x1x2＝1，x1＝3＋2. 根據(jù)拋物線定義，得|FA|＝x1＋1， |FB|＝x2＋1(x1>x2)， ∴＝＝＝＝x1＝3＋2. 答案：3＋2 10．設(shè)x1、x2∈R，常數(shù)a＞0，定義運(yùn)算“*”：x1]x*a))的軌跡方程是________． 解析：由y＝，得y2＝x*a＝(x＋a)2－(x－a)2＝4ax(y≥0)． 答案：y2＝4ax(y≥0) 三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，1

8、3題14分，寫出證明過程或推演步驟．) 11．A、B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB. (1)求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積； (2)求證：直線AB過定點(diǎn)； (3)求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程； (4)求△AOB面積的最小值． 解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)P(x0，y0)． (1)kOA＝，kOB＝. ∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0. ∵y＝2px1，y＝2px2，∴·＋y1y2＝0. ∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2. (2)∵y＝2px1，y＝2px2， ∴(y1－

9、y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)． ∴＝，∴kAB＝. ∴直線AB：y－y1＝(x－x1)． ∴y＝＋y1－. ∴y＝＋. ∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝＋. ∴y＝(x－2p)． ∴AB過定點(diǎn)(2p,0)． (3)如圖，設(shè)OA：y＝kx，代入y2＝2px得：x＝0或x＝， ∴A. 同理，以－代k得B(2pk2，－2pk)． 設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)P(x0，y0)， ∴. ∵k2＋＝2＋2，∴＝2＋2， 即y＝px0－2p2. ∴中點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝px－2p2. (4)設(shè)M(2p,0)，S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝|OM|(|y1|＋|

10、y2|)＝p(|y1|＋|y2|)≥2p＝4p2，當(dāng)且僅當(dāng)|y1|＝|y2|＝2p時(shí)，等號(hào)成立． 評(píng)析：解決直線與拋物線的有關(guān)問題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①設(shè)拋物線上的點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)；②因?yàn)?x1，y1)，(x2，y2)都在拋物線上，故滿足y＝2px1，y＝2px2；③利用yy＝4p2x1x2可以整體得到y(tǒng)1y2或x1x2. 12．是否存在同時(shí)滿足下列條件的拋物線：①準(zhǔn)線是y軸；②頂點(diǎn)在x軸上；③點(diǎn)A(3,0)到該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P的距離的最小值為2？如果存在，求出拋物線方程；如果不存在，說明理由． 解：設(shè)滿足條件的拋物線存在，頂點(diǎn)B在x軸上． 設(shè)B(a,0)，以y軸為準(zhǔn)線

11、的拋物線方程為 y2＝4a(x－a)，由條件知a>0. 設(shè)P是拋物線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)為. 則|AP|2＝2＋m2 ＝[m2－12(a－a2)]2＋12a－8a2， ∴當(dāng)a－a2≥0，即0＜a≤1， 且m2＝12(a－a2)時(shí)，|AP|min＝. ∴＝2，解得a＝1或a＝. 此時(shí)拋物線方程為y2＝4(x－1)或y2＝2. 當(dāng)a－a2<0，即a>1，且m＝0時(shí)， |AP|min＝|a－3|＝2. ∴a＝5，此時(shí)拋物線方程為y2＝20(x－5)， ∴存在滿足條件的拋物線，其方程為 y2＝4(x－1)或y2＝2或y2＝20(x－5)． 13．(精選考題·福建)已知拋物線C：y

12、2＝2px(p>0)過點(diǎn)A(1，－2)． (1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程； (2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由． 解：(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2. 故所求拋物線C的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1. (2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t， 由得y2＋2y－2t＝0. 因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn)，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 由直線OA與l的距離d＝可得＝，解得t＝±1. 因?yàn)椋??，1∈， 所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0.