第1講　變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 【2020年高考會(huì)這樣考】 1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程． 2．考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算，尤其是簡(jiǎn)單的函數(shù)求導(dǎo)． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)充分利用具體實(shí)際情景，理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義，應(yīng)能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行某些函數(shù)求導(dǎo). 　 基礎(chǔ)梳理 1．函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率為. 若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，則平均變化率可表示為. 2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義 稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率li ＝ li 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li . (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線(xiàn)y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0))處切線(xiàn)的斜率．相應(yīng)地，切線(xiàn)方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 稱(chēng)函數(shù)f′(x)＝li 為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′. 4．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 若f(x)＝c，則f′(x)＝0； 若f(x)＝xα(α∈R)，則f′(x)＝αxα－1； 若f(x)＝sin x，則f′(x)＝cos x； 若f(x)＝cos x，則f′(x)＝－sin x； 若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝axln_a； 若f(x)＝ex，則f′(x)＝ex； 若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝； 若f(x)＝ln x，則f′(x)＝. 5．導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝　(g(x)≠0)． 6．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′. 一個(gè)區(qū)別 曲線(xiàn)y＝f(x)“在”點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)與“過(guò)”點(diǎn)P(x0，y0)的切線(xiàn)的區(qū)別： 曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)是指P為切點(diǎn)，若切線(xiàn)斜率存在時(shí)，切線(xiàn)斜率為k＝f′(x0)，是唯一的一條切線(xiàn)；曲線(xiàn)y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線(xiàn)，是指切線(xiàn)經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線(xiàn)可能有多條． 兩種法則 (1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則． (2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則． 三個(gè)防范 1．利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆． 2．要正確理解直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切和直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)的區(qū)別． 3．正確分解復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，做到不重不漏． 雙基自測(cè) 1．下列求導(dǎo)過(guò)程中 ①′＝－；②()′＝；③(logax)′＝′＝ ；④(ax)′＝(eln ax)′＝(exln a)′＝exln aln a＝axln a 其中正確的個(gè)數(shù)是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 2．(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導(dǎo)數(shù)為(　　)． A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) 解析　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案　C 3．(2020·湖南)曲線(xiàn)y＝－在點(diǎn)M處的切線(xiàn)的斜率為(　　)． A．－ B. C．－ D. 解析　本小題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力． y′＝＝，把x＝代入得導(dǎo)數(shù)值為. 答案　B 4．(2020·江西)若f(x)＝x2－2x－4ln x，則f′(x)＞0的解集為(　　)． A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 解析　令f′(x)＝2x－2－＝＞0，利用數(shù)軸標(biāo)根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故選C. 答案　C 5．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線(xiàn)段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝______；li ＝________(用數(shù)字作答)． 答案　2　－2　　 考向一　導(dǎo)數(shù)的定義 【例1】?利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝x3在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線(xiàn)f(x)＝x3在x＝x0處切線(xiàn)與曲線(xiàn)f(x)＝x3的交點(diǎn)． [審題視點(diǎn)] 正確理解導(dǎo)數(shù)的定義是求解的關(guān)鍵． 解　f′(x0)＝ ＝ ＝ (x2＋xx0＋x)＝3x. 曲線(xiàn)f(x)＝x3在x＝x0處的切線(xiàn)方程為 y－x＝3x·(x－x0)， 即y＝3xx－2x，由 得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0. 若x0≠0，則交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，(－2x0，－8x)； 若x0＝0，則交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)． 利用定義求導(dǎo)數(shù)的一般過(guò)程是：(1)求函數(shù)的增量Δy；(2)求平均變化率；(3)求極限li . 【訓(xùn)練1】 利用導(dǎo)數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)． 證明　法一　設(shè)y＝f(x)是奇函數(shù)，即對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)＝－f(x) f′(x)＝li 則f′(－x)＝li ＝li ＝f′(x) 因此f′(x)為偶函數(shù)，同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)． 法二　設(shè)y＝f(x)是奇函數(shù)，即對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有 f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x) 因此f′(x)＝[－f(－x)]′＝－ [f(－x)]′＝f′(－x) 則f′(x)為偶函數(shù) 同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)． 考向二　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 【例2】?求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝sin； (4)y＝＋； [審題視點(diǎn)] 先把式子化為最簡(jiǎn)式再進(jìn)行求導(dǎo)． 解　(1)∵y＝＝x－＋x3＋， ∴y′＝′＋(x3)′＋(x－2sin x)′ ＝－x－＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x. (2)法一　y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. 法二　y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·　(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11. (3)∵y＝sin＝－sin x， ∴y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x. (4)y＝＋＝＝， ∴y′＝′＝＝. (1)熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算法則是正確求導(dǎo)的基礎(chǔ)． (2)必要時(shí)對(duì)于某些求導(dǎo)問(wèn)題可先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式再求導(dǎo)． 【訓(xùn)練2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝xnex； (2)y＝； (3)y＝exln x； (4)y＝(x＋1)2(x－1)． 解　(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)． (2)y′＝＝－. (3)y′＝exln x＋ex·＝ex. (4)∵y＝(x＋1)2(x－1)＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1， ∴y′＝3x2＋2x－1. 考向三　求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【例3】?求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝； (3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5)． [審題視點(diǎn)] 正確分解函數(shù)的復(fù)合層次，逐層求導(dǎo)． 解　(1)設(shè)u＝2x－3，則y＝(2x－3)5， 由y＝u5與u＝2x－3復(fù)合而成， ∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2 ＝10u4＝10(2x－3)4. (2)設(shè)u＝3－x，則y＝. 由y＝u與u＝3－x復(fù)合而成． y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′＝u－(－1) ＝－u－＝－＝. (3)設(shè)y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 則yx′＝y(tǒng)u′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin·cos＝2sin. (4)設(shè)y＝ln u，u＝2x＋5，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′ y′＝·(2x＋5)′＝. 由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開(kāi)始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程． 【訓(xùn)練3】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝；　　　　(2)y＝sin22x； (3)y＝e－xsin 2x; (4)y＝ln. 解　(1)y′＝·2x＝， (2)y′＝(2sin 2x)(cos 2x)×2＝2sin 4x (3)y′＝(－e－x)sin 2x＋e－x(cos 2x)×2 ＝e－x(2cos 2x－sin 2x)． (4)y′＝··2x＝.　　 規(guī)范解答6——如何求曲線(xiàn)上某一點(diǎn)的切線(xiàn)方程 【問(wèn)題研究】 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某一點(diǎn)的坐標(biāo)或某一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是高考常常涉及的問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是分不清楚所求切線(xiàn)所過(guò)的點(diǎn)是不是切點(diǎn)而導(dǎo)致錯(cuò)誤., 【解決方案】 解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是抓住切點(diǎn).看準(zhǔn)題目所求的是“在曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程”還是“過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)方程”，然后求某點(diǎn)處的斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程. 【示例】?(本題滿(mǎn)分12分)(2020·山東)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)． (1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)方程； (2)當(dāng)a≤時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性． (1)求出在點(diǎn)(2，f(2))處的斜率及f(2)，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程； (2)求f′(x)，再對(duì)a分類(lèi)討論． [解答示范] (1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝ln x＋x＋－1， x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，(1分) 因此f′(2)＝1，即曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)斜率為1. 又f(2)＝ln 2＋2， 所以曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)方程為 y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0.(3分) (2)因?yàn)閒(x)＝ln x－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．(4分) 令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)． ①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)， 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)＞0， 此時(shí)f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＜0，此時(shí)f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；(6分) ②當(dāng)a≠0時(shí)，由f′(x)＝0， 即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1. a．當(dāng)a＝時(shí)，x1＝x2，g(x)≥0恒成立，此時(shí)f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；(7分) b．當(dāng)0＜a＜時(shí)，－1＞1＞0. x∈(0,1)時(shí)，g(x)＞0，此時(shí)f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； x∈時(shí)，g(x)＜0，此時(shí)f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；x∈時(shí)，g(x)＞0，此時(shí)f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；(9分) c．當(dāng)a＜0時(shí)，由于－1＜0，x∈(0,1)時(shí)，g(x)＞0，此時(shí)f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＜0，此時(shí)f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．(11分) 綜上所述： 當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， 函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a＝時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)0＜a＜時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增， 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減．(12分) 求解切線(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵是切點(diǎn)坐標(biāo)，無(wú)論是已知切線(xiàn)斜率還是切線(xiàn)經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，切點(diǎn)坐標(biāo)都是化解難點(diǎn)的關(guān)鍵所在．