《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講　定積分的概念與微積分基本定理教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講　定積分的概念與微積分基本定理教案 理 新人教版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講　定積分的概念與微積分基本定理 【2020年高考會這樣考】 1．考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理． 2．利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運動的質(zhì)點的運動路程． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 定積分的考查頻率不是很高，本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概念和幾何意義，使用微積分基本定理計算定積分，使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡單的物理問題等．　　 基礎(chǔ)梳理 1．定積分 (1)定積分的定義及相關(guān)概念 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0

2、點ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，當(dāng)n→∞時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx. 在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式． (2)定積分的性質(zhì) ①kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù))． ②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. ③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

3、′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，這個結(jié)論叫微積分基本定理，又叫牛頓—萊布尼茲公式． 3．定積分的應(yīng)用 (1)定積分與曲邊梯形的面積 定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積．這要結(jié)合具體圖形來定： 一種思想 定積分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步驟解決“無限”過程的問題，其方法是“分割求近似，求和取極限”，利用這種方法可推導(dǎo)球的表面積和體積公式等．恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始以及微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就． 三條性質(zhì) (

4、1)常數(shù)可提到積分號外； (2)和差的積分等于積分的和差； (3)積分可分段進行． 一個公式 由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運算． 雙基自測 2．(2020·湖南)由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cos x所圍成的封閉圖形的面積為(　　)． A. B．1 C. D. 解析　S＝∫－cos xdx＝2∫0cos xdx＝0＝. 答案　D 4．如圖，在一個長為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sin x(0≤x

5、≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機投一點(該點落在矩形OABC內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是(　　)． A. B. C. D. 考向一　定積分的計算 【例1】　計算下列積分 當(dāng)原函數(shù)較難求時，可考慮由其幾何意義解得． 考

6、向二　利用定積分求面積 【例2】　求下圖中陰影部分的面積． [審題視點] 觀察圖象要仔細(xì)，求出積分上下限，找準(zhǔn)被積函數(shù)． 解　解方程組 得，或 S陰影＝dx－8＋|－|dx＋2 ＝＋－6＝18. 求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟 (1)畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標(biāo)．定出積分的上、下限；(2)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置；(3)寫出平面圖形面積的定積分的表達式；(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積． 【訓(xùn)練2】 求曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成圖形的面積． 解　由得交點A(1,1)； 由得交點

7、B(3，－1)． 故所求面積S＝dx＋dx ＝＋ ＝＋＋＝. 考向三　定積分的應(yīng)用 【例3】　一質(zhì)點在直線上從時刻t＝0(s)開始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)運動．求： (1)在t＝4 s的位置； (2)在t＝4 s內(nèi)運動的路程． [審題視點] 理解函數(shù)積分后的實際意義，確定被積函數(shù)． 解　(1)在時刻t＝4時該點的位置為 (t2－4t＋3)dt＝＝(m)， 即在t＝4 s時刻該質(zhì)點距出發(fā)點 m. (2)因為v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在區(qū)間[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0， 在區(qū)間[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4 s時的

8、路程為 S＝(t2－4t＋3)dt＋|(t2－4t＋3)dt|＋(t2－4t＋3)dt ＝＋||＋ ＝＋＋＝4 (m)， 即質(zhì)點在4s內(nèi)運動的路程為4 m. 由s＝v0t＋at2通過求導(dǎo)可推出v＝v0＋at，反之根據(jù)積分的幾何意義，由v＝v(t)(v(t)≥0)可求出t∈[a，b]時間段內(nèi)所經(jīng)過的路程． 【訓(xùn)練3】 已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛，甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示)．那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是(　　)． A．在t1時刻，甲車在乙車前面 B．t1時刻后，甲車在乙車后面 C．在t0時刻

9、，兩車的位置相同 D．t0時刻后，乙車在甲車前面 解析　可觀察出曲線v甲，直線t＝t1與t軸圍成的面積大于曲線v乙，直線t＝t1與t軸圍成的面積，故選A. 答案　A 　　 難點突破8——積分的綜合應(yīng)用 定積分的考查在試卷中不是必然出現(xiàn)的，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，在近兩年的高考中，考查的一般是定積分的計算和定積分在求曲邊圖形面積中的應(yīng)用等，如2020年福建卷，陜西卷考查的是定積分的計算，新課標(biāo)全國卷、湖南卷、山東卷考查的是定積分求曲邊形的面積． 一、積分的幾何意義 【示例】? 已知r>0，則－rdx＝________. 二、積分與概率 【示例】? (2020·陜西)從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點M(x，y)，則點M取自陰影部分的概率為__________．