《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第6講　冪函數(shù)與二次函數(shù)教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第6講　冪函數(shù)與二次函數(shù)教案 理 新人教版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第6講　冪函數(shù)與二次函數(shù) 【2020年高考會這樣考】 1．求二次函數(shù)的解析式． 2．求二次函數(shù)的值域與最值． 3．利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析解決有關(guān)問題． 【復(fù)習指導(dǎo)】 本講復(fù)習時，應(yīng)從“數(shù)”與“形”兩個角度來把握二次函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，重點解決二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，掌握求函數(shù)最值的常用方法：配方法、判別式法、不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等，注重分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．冪函數(shù)的定義 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，α為常數(shù)． 2．冪函數(shù)的圖象 在同一平面直角坐標系下，冪函數(shù)y＝x，y＝x2

2、，y＝x3，y＝x，y＝x－1的圖象分別如右圖． 3．冪函數(shù)的性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值　域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 x∈[0，＋∞)時，增 x∈(－∞，0]時，減 增 增 x∈(0，＋∞)時，減 x∈(－∞，0)時，減 定點 (0,0)，(1,1) (1,1) 4.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝a

3、x2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞減 在x∈上單調(diào)遞減 奇偶性 當b＝0時為偶函數(shù)，b≠0時為非奇非偶函數(shù) 頂點 對稱性 圖象關(guān)于直線x＝－成軸對稱圖形 5.二次函數(shù)解析式的三種形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0) (3)兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 五個代表 函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1可做為研

4、究和學(xué)習冪函數(shù)圖象和性質(zhì)的代表． 兩種方法 函數(shù)y＝f(x)對稱軸的判斷方法 (1)對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝對稱． (2)對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱(a為常數(shù))． 雙基自測 1．(2020·安徽)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝(　　)． A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析　∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(1)＝－f(－1)

5、＝－3. 答案　A 2.(人教A版教材例題改編)如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，±四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為(　　)． A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ 答案　B 3．(2020·浙江)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(α)＝4，則實數(shù)α等于(　　)． A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 解析　由或得α＝－4或α＝2，故選B. 答案　B 4．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2的定義域和值域均為[1，b]，則b等于(　　)． A．3 B

6、．2或3 C．2 D．1或2 解析　函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上遞增， 由已知條件即解得b＝2. 答案　C 5．(2020·武漢模擬)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a、b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域為(－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________. 解析　f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2 由已知條件ab＋2a＝0，又f(x)的值域為(－∞，4]， 則因此f(x)＝－2x2＋4. 答案　－2x2＋4 考向一　二次函數(shù)的圖象 【例1】?(2020·安徽)設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象

7、可能是(　　)． [審題視點] 分類討論a＞0，a＜0. 解析　若a＞0，則bc＞0，根據(jù)選項C、D，c＜0，此時只有b＜0，二次函數(shù)的對稱軸方程x＝－＞0，選項D有可能；若a＜0，根據(jù)選項A，c＜0，此時只能b＞0，二次函數(shù)的對稱軸方程x＝－＞0，與選項A不符合；根據(jù)選項B，c＞0，此時只能b＜0，此時二次函數(shù)的對稱軸方程x＝－＜0，與選項B不符合．綜合知只能是選項D. 答案　D 分析二次函數(shù)的圖象，主要有兩個要點：一個是看二次項系數(shù)的符號，它確定二次函數(shù)圖象的開口方向；二是看對稱軸和最值，它確定二次函數(shù)的具體位置．對于函數(shù)圖象判斷類似題要會根據(jù)圖象上的一些特殊點進行判斷，如函

8、數(shù)圖象與正半軸的交點、函數(shù)圖象的最高點與最低點等． 【訓(xùn)練1】 已知二次函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象的大致形狀是(　　)． 解析　由函數(shù)f(x)的圖象知：當x∈(－∞，1]時，f(x)為減函數(shù)，∴f′(x)≤0；當x∈[1，＋∞)時，f(x)為增函數(shù)，∴f′(x)≥0.結(jié)合選項知選C. 答案　C 考向二　二次函數(shù)的性質(zhì) 【例2】?函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2在閉區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最小值記為g(t)． (1)試寫出g(t)的函數(shù)表達式； (2)作g(t)的圖象并寫出g(t)的最小值． [審題視點] 分類討論t的范圍分別確定g(t)解

9、析式． 解　(1)f(x)＝(x－1)2＋1. 當t＋1≤1，即t≤0時，g(t)＝t2＋1. 當t<1

10、【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值． (2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)． 解　(1)當a＝－1時，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]， ∴x＝1時，f(x)取得最小值1； x＝－5時，f(x)取得最大值37. (2)函數(shù)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的圖象的對稱軸為直線x＝－a， ∵y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)， ∴－a≤－5或－a≥5， 故a的取值范圍是a≤－5或a≥5. 考向三　冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【例3】

11、?已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范圍． [審題視點] 由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù)m2－2m－3＜0，再結(jié)合m是整數(shù)，及冪函數(shù)是偶數(shù)可得m的值． 解　∵函數(shù)在(0，＋∞)上遞減， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱， ∴m2－2m－3是偶數(shù)， 而22－2×2－3＝－3為奇數(shù)， 12－2×1－3＝－4為偶數(shù)， ∴m＝1. 而f(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)， ∴(a＋1)－＜(3－2a)

12、－等價于a＋1＞3－2a＞0 或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a. 解得a＜－1或＜a＜. 故a的取值范圍為. 本題集冪函數(shù)的概念、圖象及單調(diào)性、奇偶性于一體，綜合性較強，解此題的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念及性質(zhì)．解答此類問題可分為兩大步：第一步，利用單調(diào)性和奇偶性(圖象對稱性)求出m的值或范圍；第二步，利用分類討論的思想，結(jié)合函數(shù)的圖象求出參數(shù)a的取值范圍． 【訓(xùn)練3】 冪函數(shù)y＝xa，當a取不同的正數(shù)時，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一族美麗的曲線(如圖)．設(shè)點A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y＝xα，y＝xβ的圖象三等分，即有|B

13、M|＝|MN|＝|NA|.那么，αβ＝(　　)． A．1 B．2 C．3 D．無法確定 解析　法一　由條件得M，N，由一般性，可得＝α，＝β，即α＝log，β＝log.所以αβ＝log·log＝·＝1. 法二　由解法一，得＝α，＝β， 則αβ＝α＝a＝，即αβ＝1. 答案　A　　 規(guī)范解答4——如何求解二次函數(shù)在某個閉區(qū)間上的最值 【問題研究】 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，一定要根據(jù)對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系確定最值，當函數(shù)解析式中含有參數(shù)時，要根據(jù)參數(shù)的取值情況進行分類討論，避免漏解． 【解決方案】 對于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先確

14、定對稱軸，然后與所給區(qū)間的位置關(guān)系分三類進行討論． 【示例】?(本題滿分12分)(2020·濟南模擬)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在區(qū)間[0,1]內(nèi)有最大值－5，求a的值及函數(shù)表達式f(x)． 求二次函數(shù)f(x)的對稱軸，分對稱軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)討論． [解答示范] ∵f(x)＝－42－4a， ∴拋物線頂點坐標為.(1分) ①當≥1，即a≥2時，f(x)取最大值－4－a2. 令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分) ②當0＜＜1，即0＜a＜2時，x＝時， f(x)取最大值為－4a. 令－4a＝－5，得a＝∈(0,2)；(7分)

15、③當≤0，即a≤0時，f(x)在[0,1]內(nèi)遞減， ∴x＝0時，f(x)取最大值為－4a－a2， 令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0， 解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分) 綜上所述，a＝或a＝－5時，f(x)在[0,1]內(nèi)有最大值－5. ∴f(x)＝－4x2＋5x－或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分) 求解本題易出現(xiàn)的問題是直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)——最值在對稱軸處取得，忽視對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系，不進行分類討論． 【試一試】 設(shè)函數(shù)y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函數(shù)的最小值g(a)． [嘗試解答]　∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴對稱軸為直線x＝1，而x＝1不一定在區(qū)間[－2，a]內(nèi)，應(yīng)進行討論． 當－2＜a＜1時，函數(shù)在[－2，a]上單調(diào)遞減，則當x＝a時，ymin＝a2－2a；當a≥1時，函數(shù)在[－2,1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，則當x＝1時，ymin＝－1. 綜上，g(a)＝