《2020高考數(shù)學 考前沖刺第三部分專題五 三角函數(shù)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020高考數(shù)學 考前沖刺第三部分專題五 三角函數(shù)（26頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2020考前沖刺數(shù)學第三部分 【高考預測】 1.掌握三角函數(shù)概念，其中以三角函數(shù)的定義學習為重點。（理科：兼顧反三角） 2.提高三角函數(shù)的恒等變形的能力，關鍵是熟悉誘導公式、同角關系、和差角公式及倍角公式等，掌握常見的變形方法。 3.解決三角函數(shù)中的求值問題，關鍵是把握未知與已知之間的聯(lián)系。 4.熟練運用三角函數(shù)的性質，需關注復合問題，在問題轉化過程中，進一步重視三角恒等變形。 5.掌握等的圖象及性質，深刻理解圖象變換之原理。 6.解決與三角函數(shù)有關的（常見的）最值問題。 7.正確處理三角形內的三角函數(shù)問題，主要是理解并熟練掌握正弦定理、余弦定理及三角形內角和定理，提高邊角、角

2、角轉化意識。 8.提高綜合運用的能力，如對實際問題的解決以及與其它章節(jié)內容的整合處理。 【易錯點點睛】 對癥下荮填 ∵ y=作出其圖 像知原函數(shù)的最小正周其為2π，最大值為-.故最小正周期和最大值之和為2π-. 2．函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|,x∈（0，2π）的圖像與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則眾的取值范圍是 . 【錯誤答案】 填[0，3] ∵f(x)= ∴f(x)的值域為(0，3)，∵f(x)與y=k有交點， ∴k∈[0，3]． 【錯解分析】 上面解答求出k的范圍只能保證y= f(x)的圖像與y=k有

3、交點，但不能保證y=f(x)的圖像與y=k有兩個交點，如k=1，兩圖像有三個交點．因此，正確的解答要作出了y=f(x)的圖像，運用數(shù)形結合的思想求解． 【正確解答】 填(1，3) ∵f(x) 作出其圖像如圖 從圖5-1中可看出：當1

4、標不變)，再向左平行移動個單位長度 D．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度 【錯誤答案】 B或D ∵將函數(shù)y=sin(2x+)的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像，再向右平行移動子個單位長度后得函數(shù)y=sin(x+)= cosx的圖像．故選B． 將函數(shù)y=sin(2x+)變形為y=sin2(x+)．若將其圖像橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)后得函數(shù)y=sin(x+)的圖像．再向右平行移動 個單位長度后得y=cosx的圖像，選D． 【錯解分析】 選B有兩處錯誤，一是若將函數(shù)y f(x)=sin(2x+)橫坐標縮短到原來的倍

5、，(縱坐標標不變)所得函數(shù)y=f(x)= sin(4x+)，而不是f(x)=sin(x+)，二是將函數(shù)y=f(x)=sin(x+)向右平行移動得函數(shù)y=f(x)=sinx的圖像，而不是y= f(x)=cosx的圖像．因為函數(shù)圖像變換是針對自變量而言，應該是x變?yōu)閤-選D同樣是兩處錯誤．一是橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)得函數(shù)y=sin(x+)而不是y=sin(x+)．由y=sin(x+)的圖像向右平移個單位長度得了y=sinx的圖像，而不是y=cosx的圖像． 【錯誤答案】 (1)∵x=是函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸，∴sin(2×+)=±1，∴ + =kπ+k Z．∴

6、 =kπ+ ，∵-π<<0，∴ =-π． (2)由(1)知 =π，因此y=sin(2×-π)． ∵最小正周期為T==π.由題意得 kπ-≤2x-≤kπ+，k∈Z． 解得 kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z． 所以函數(shù)y=sin(2x-)的單調查遞增區(qū)間為 【錯解分析】 以上解答錯在第（2）小題求函數(shù)單調區(qū)間時，令處，因若把看成一個整體u，則y=sinu的周期為2π。故應令，解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間. 【正確解答】（1）解法1 ∵是函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸，∴sin(2×+)=±1。 ∴ 解法2 ∵x=是y=f(x)圖象的對稱軸，∴對任意的x有f(x)=f(-x

7、).令x=0時，有f(0)=f().即sin=sin(+)=cos.即tan=1.又 (2)由（1）得,因此， 由題意得 （3）由知 x 0 π y -1 0 1 0 故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上圖像是 5.求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在[0，π]上的單調遞增區(qū)間. 【錯誤答案】 當時，函數(shù)y有最小值-2. 當時，函數(shù)單調遞增. ∴函數(shù)遞增區(qū)間是. 【錯解分析】上面解答錯在求函數(shù)的遞增區(qū)間上，∵當x∈[0，]時，2x- (-,π)函數(shù)不為單調函數(shù)．應先求出函數(shù)y=2sin(2x-

8、)在R上的單調遞增區(qū)間，再求它與區(qū)間[0，π]的交集． 【正確解答】 ∵函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)．故該函數(shù)的最小正周期是π. 當2x-=2kπ-時，即x=kπ-時，y有最小值 2．令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z． 解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z． 令K=0時，-≤x≤．又∵0≤x≤π，∴0≤x≤， K=1時， π≤x≤π 又∵0≤x≤π.∴π≤x≤π. ∴函數(shù)y=2sin(2x-)的遞增區(qū)間是[0，] [π，π]． 【特別提醒】 一

9、般地，y=Asib(ωx+)的圖象向左平移a個單位得到y(tǒng)=Asin[ω(x+a)+] 的圖象，再把其上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，即得到y(tǒng)=Asin[ωw1+ωa+]的圖像． 【變式探究】 1 已知函數(shù)y=tan 在(-,)內是減函數(shù)，則 ( ) A．0<ω≤1 B．-1≤ω<0 C.ω≥1 D． ω≤-1 答案：D解析∵函數(shù)y=tan ωx在（-）內是減函數(shù)，∴w<0，又∵函數(shù)y=tan(-wx)在（）上是增函數(shù)，∴有 2 函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期為 ( ) A． B. C．π

10、 D．2π 答案： C 解析：∵f(x)=|sin(x+)|．∵y=sin(x+) 的最小正周期為2π，∴f(x)=|sin(x+)|的最小正周期為π. 3 當00，cot x>0，∴f(x)≥ 4 化簡f(x)=cos(+2x)+cos(π-2x)+ 2(x∈R，k∈Z)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期． 【錯解分析】 上面解答錯在由cos2α=得sin2α=±時沒有

11、考慮角α是第四象限角．2α是第三、四象限角sin2α只能取負值．因而tan2α也只能為負值． 【正確解答】 -= cos2α+2cos2α=2cos2α+1=∴cos2α=．又∵α為第四象限角，即2kπ+<α< 2kπ+2π，k∈Z，∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π，k∈Z 即2α為第三、四象限角． ∴sin2α=- 2．(2020模擬題精選)已知-

12、因此原式化簡結果是錯誤的． 【正確解答】 解法1 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-． ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ . 又∵- 0，sinx-cosx<0．∴sinx-cosx=． (2) ① ② 解法2 (1)聯(lián)立方程 由①得slnx=-cosx，將其代入②，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，∴cosx=-或(cosx=) ∵-

13、nx)= 3．(2020模擬題精選)已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0，α∈[，π]．求sin(2α+)的值． 即 【錯解分析】 上述解答忽視了題設條件提供的角的范圍的運用，∵α∈(,π)，tanα<0，∴tanα=應舍去，因此原題只有一解． 【正確解答】 解法1 由已知得(3sinα+2cosα) (2sinα-cosα)=03sinα+2sinα=0或2sinα-cpsα=0． 由已知條件可知cosα2≠0，所以α≠，即α∈(，π)． 于是tanα<0，tanα= sin(2α+)=sin2αcos+cos2α·sin

14、【錯誤答案】 ∵f(x) = ∵sinx的最大值為1，∴． ∴a=3 【錯解分析】 上面解答在三角恒等變形中，用錯了兩個公式：①1+cos2x≠2sin2x；②sin(+x)≠sinx因為 cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1． ∴1+cos2x=2cos2x．由誘導公式“奇變偶不變”知sin(+x)=cosx． 【正確解答】 ∵f(x)=其中角滿足由已知有=4，解之得，a= 【特別提醒】 由于三角函數(shù)式中包含著各種角，不同的三角函數(shù)的種類，以及不同的式了結構，所以三角函數(shù)配湊、降次與升冪、引入輔助角等.同時在三角恒等變形中應多

15、觀察，以便發(fā)現(xiàn)角、三角函數(shù)名稱及式子結構差異，運用公式，找出差異的內在聯(lián)系，選擇適當?shù)墓酱偈共町惖霓D化.另外，由于公式記錯而在考試中失分是很常風的，應該熟練掌握各種要求記的公式及其使用范圍. 【變式探究】 1 ( ) A．tanα B．tan2α c．1 　　D． 3 已知α、β均為銳角，且cos(α+β)=sin(α-β)，則 tanα= . 答案：1 解析：∵cos(α+β)=sin(α-β)cos αcosβ-sin αsinβ=sin αcosβ-cosα·sinβcosα(cosβ+sinβ) =s

16、inα(sinβ+cosβ) ∵β∈(0，)，sinβ>0，cosβ>0，∴．tan(α=1． 4 已知函數(shù)f(x)=-sin2x+sinxcosx (1)求f()的值； 答案：∵sin ∴ (2)設α∈(0，π),f()=，求sinα的值． 答案： ∴ 16sin2α-4sinα-11=0，解得sinα= ∵α∈(0，π)，∴sinα>0，則sinα= 已知函數(shù)f(x)=2sin2x+sin2x，x∈(0，2π)求使f(x)為正值的x的集合． =(+a2)sin(x+) ∴f(x)的最大值為+a2．令+a2=+3．

17、∴a=± 易錯點3 三角函數(shù)的綜合應用 1．(2020模擬題精選)如圖，在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y>x>0． (Ⅰ)將十字形的面積表示為θ的函數(shù)； (Ⅱ)θ為何值時，十字形的面積最大?最大面積是多少? 【錯誤答案】 設S為十字形的面積，則S=2xy=2sinθ· cosθ=sin2θ(≤θ<)． (2)當sin2θ=1即θ= 時，S最大，S的最大值為1． 【錯解分析】 上面解答錯在面積S的計算上，因為十字形面積等于兩個矩形面積和還需減去中間一個邊長為 x的正方形面積． 【正確解答】 (1)設S為十字形的面積，則S=2xy-x2=

18、2sinθcosθ-cos2θ(<θ< ) (2)解法1 S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-cos2θ,其中=1，即2θ-=時，S最大． ∴當θ=時，S最大，S的最大值為． 解法2 ∵S=2sinθcosθ-cos2θ， ∴S′=2cos2θ- 2sin2θ+2sinθ·cosθ=2cos2θ+sin2θ． 令S′=0．即2cos2θ+sin2θ=0， 可解得θ=arctan(-2)． ∴當θ=arctan(-2)時，S最大，S的最大值為． 2．(2020模擬題精選)若0

19、2x>3sinx B．2x<3sinx C．2x=3sinx D．與x的取值有關 【錯誤答案】 選A 設f(x)=2x-3sinx，∴f(x)= 2-3cosx，∵00． ∴f(x)在(0，)上是增函數(shù) ∴f(x)>f(0)=0． 即2x>3sinx，選A 【錯解分析】∵f′(x)=3(-cosx)．當0

20、∵y′=2-3cosx=3(-cosx)．∵當cosx<即x∈(arccos)時，y′>0．當x∈(0，arcccos)時，y′<0． 即當x∈(arccos，)時，f(x)>0．口P2x>3sinx當x∈(0，arccoss)時，f(x)<0．即2x<3sinx．故選D． 3．(2020模擬題精選)設函數(shù)f(x)=xsinx(x∈R) (1)證明f(x+2kπ)f(x)=2kπsinx．其中k∈Z； (2)設x0是f(x)的一個極值點．證明[f(x0)]2=； (3)設f(x)在(0，+∞)的全部極值點按從小到大的順序a1,a2，…，an，…，證明：

21、【錯誤答案】 (1)證明：由函數(shù)f(x)的定義，對任意整數(shù)k，有f(x+2kπ)-f(x)=(x+2kπ)·sin(x+2kπ)- xsinx=(x+2kπ)sinx-xsinx=2karsinx． (2)函數(shù)f(x)在定義域R上可得f′(x)=sinx+ xcosx．令f′(x)=0，sinx+xcosx=0．顯然，對于滿足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化簡為x=-tanx，此方程一定有解,f(x)的極值點x0一定滿足tanx0=-x0· (3)證明：設x0>0是f′，(x0)=0的任意正實根即x0 =-tax0，則存在一個非負整數(shù)k，使x0∈(+kπ，π+ kπ)．

22、即x0在第二或第四象限內． 由題設條件，a1，a2，…，an為方程x=-tanx的全部正實根,且滿足a10，由②式知tan(an-1，-an)< 0．由此可知an+1-an必在第二象限 ∴

23、根，則認為x0是f(x)的一個極值點，沒有判斷f′(x)在(+kπ，x0)和(x0+π+kπ)上的符號是否異號，這顯然是錯誤的． 【正確解答】 (1)證明：由函數(shù)f(x)的定義，對任意整數(shù)k，有f(x+2kπ)-π(x)=(x+2kπ)sin(x+2kπ)- xsinx=(x+2kπ)sinx-xsinx=2kπsinx． (2)證明：函數(shù)f(x)在定義域R上可導f′(x)=sinx +xcosx， ① 令f′(x)=0，得sinx+xcos=0顯然，對于滿足上述方程x有cosx≠0，上述方程化簡為x=-tanx．如圖所示，此方程一定有解f(x)的極值點x0一定滿足tanx0

24、=-x0· 由sin2x= ∴[f(x0)]2= (3)證明：設x0>0是f′(x)=0的任意正實根，即x0-tanx0，則存在一個非負整數(shù)k，使x0∈(+kπ，π+kπ)，即x0在第二或第四象限內．由①式f′(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號可列表如下： X () f′(x)的符號 K為奇數(shù) - 0 + K為偶數(shù) + 0 - 所以滿足f′(x)=0的正根x0都為f(x)的極值點． 由題設條件，a1,a2，…，an…為方程x=-tanx的全部正實根且滿足a1

25、nan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)tan(an+1-an)． ② 由于+(n-1)π0，由②式知tan(an+1-an)<．0由此可知an+1-an必在第二象限，即an+1-an<π.綜上，

26、3題． 【變式探究】 1將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程，所得方程是 答案：解析：(x-1)2+y2=4 由 ∴ 2 若x2+y2=4，則x-y的最大值是 . 答案：2解析：設x：2cosθ，y=2sinθ，則x-y=2(sinθ-cosθ)=2sin(θ-) ∴當θ=2kπ+π時,(x-y)max=2 3 某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室．如圖所示， ABCD是一塊邊長為50米的正方形地皮，扇形CEF是運動場的一部分，其半徑為40米，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中C、M分別在AB和AD上，H在EF上

27、，設矩形AGHM的面積為 S，∠HCF=θ，請將S表示為θ的函數(shù)，并指出當點H在EF的何處時，該健身室的面積最大，最大面積是多少? 當t=1時，S有最大值，且S最大值=500． 此時，2sinθcosθ=0，即 sin 2θ=0． ∵0≤2θπ,∴θ=0或， 當H在EF的端點E或F處時，健身室面積最大，最大面積為500平方米． 4 已知函數(shù)f(x)=sin (1)將f(x)寫成Asin(ωx+)+k的形式．并求其圖像對稱中心的橫坐標； 答案：解f(x)=sin(x+)+ ， 由sin(x+)=0，即x-=kπ(k∈Z)． 得x=π，k∈Z．

28、即對稱中心的橫坐標為π，k∈Z． (2)如果△ABC的三邊。a，b,c成等比數(shù)列，且邊 b所對的角為x，試求x的取值范圍及此時函數(shù)f(x)的值域． 答案：解析：(2)由已知b2=ac，cosx= ∴0

29、④函數(shù)y=f(-x)的單凋遞增區(qū)間可由不等式2kπ-≤-2x+≤2kπ+(k∈Z)求得． 其中正確命題的序號是 . 圖像的對稱點， ∵x=,4sin(2·()+)=0．故③對． 由復合函數(shù)的知識可知，y=4sin(-2x+)的遞增區(qū)間為滿足不等式2kπ+≤-2x+≤2kπ+π的 x的集合，故④錯． 綜合得只有②③正確． 故填②③ 2．函數(shù)f(x)=2cos2x+ (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)當方程f(x)+a=0有解時，求a的取值范圍； (3)當cos()=時，求f(x)的值． 難點2 運用三角恒等變形求值 1．若關于x的方程

30、x2-4x·Sinθ+α·tanθ=0(<θ<有兩個相同的實根． (1)求a的取值范圍； (2)當a=時，求cos(θ+)的值 【解析】 (1)利有△=0可得a表示為θ的函數(shù)，通過來值域即可得a的取值范圍． (2)可先通過第(1)問結果求出sin2θ的值，再運用降冪公式可求得cos2(θ+)的值，再求cos(θ+)的值就容易了． 【答案】 (1)△=16sin2θ-4a·tanθ=0 ∵ <θ<，∴sinθ≠0 故4sinθ- ， ∵a=4sinθcosθ=2sin2θ，<2θ<π, ．·．0

31、2θ， ∴sin2θ= cos()= 而 2．已知θ∈(0，)，sinθ-cosθ=,求的值． 【解析】 由已知可求得sin2θ及tanθ的值，因此只要把 化為sinθ-cosθ，sin2θ，及tanθ表示的式子，再代入計算即可． 【答案】 解法1 把sinθ-cosθ兩邊平方得 解析2 由已知sin2θ=且2θ∈(,π)． ∴ 3．已知cos(-α),sin(π+β)=-且β∈(0，)，α(π)，求sin(α+β)的值． 【解析】 注意已知角與未知角之間的聯(lián)系，即α+β=π+β-(-α)-π．

32、【答案】 由已知，α∈(π)． 所以 難點3 向量與三角函數(shù)的綜合 1．已知向量a=(2sinx，cosx)，b=(cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=a·b-1． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間． 【解析】 用向量的數(shù)量積的坐標運算求出y=f(x)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖像和性質求解． 【答案】 (1)f(x)=a·b-1=sinxcosx+2cos2x- 1=sin2x+cosx=2sin(2x+)． (2)令 ∴函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間為[kπ+]k∈Z. 2．設a=(1+cosα，sinα)，b=(

33、1-cosβ，sinβ)，c=(1，0)α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a與b的夾角為θ1，b與c的夾角為的值． 【解析】 通過向量的夾角公式找到θ1、θ2與α、β的關系，從而得θ1-θ2與α-β的關系，進而求得 sin的值． 【答案】根據(jù)題意， cosθ1= 3．已知a=(sinoα，cosα)，b=(cosβ，sinβ)，b+c=(2cosβ， 0)，a·b=,a·c=求cos2(α+β)+tanα·cotβ的值． 【典型習題導練】 1 已知x，cos2x=a，則sinx ( ) A． B．- C． D． 答案：B 解析：由-

34、inx<0，sin2x==.∴sinx=- 2已知的值為 ( ) A. B. C. D. 答案： A 解析：<α<π，sin(-α)=，cos(-α)= 3 設，則有 ( ) A．O>b>c B．O

35、 ) 答案： C 解析：∵0<α+<α+π，∴sin(α+)∈(，1)∴sina+cosα=sin(α+)∈(1，)，即tanα∈(，) 故α∈()． 7的值是 . 答案：解析：1+tan10°= 原式= 8 函數(shù)y=(sin-2x)的單調減區(qū)間是 . 答案：[](k)解析：函數(shù)變形為 即函數(shù)單調減區(qū)間為[]（k） 9 求函數(shù)f(x)=的最小正周期、最大值和最小值． 答案：解析：f(x)=所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π，最大值是，最小值是. 10 已知函數(shù)y=Asin(w+)(x∈R)(其中A>O,w>0)的圖像在

36、y軸右側的第一個最高點為M(2，2)，與x軸在原點右側的第一個交點為N(0,0) (1)求這個函數(shù)的解析式； 答案：解：（1）根據(jù)題意可知，A=2=6-2=4，∴T=16，于是w=所以y=2將點M的坐標代入y=2 即sin. ∴滿足為最小正數(shù)解，即.故所求的解析工為y=2 (2)此函數(shù)可以由y=sinx經(jīng)過怎樣的變換得到?(寫出每一個具體變換)． y=2sin() 11 已知三點A，B，C的坐標分別為A(3，0)，B(0，3)C(cosα，sinα)，α≠，k∈Z，若=-1，求的值． (1)若f(x)=(a+b)2，求f(x)的解析式； 答案： f(x

37、)=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+ (2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； 答案：由x∈[-]得x+∈[π] 當x+=，即x=-時，函數(shù)f(x)取最大值+2； 當x+=π，即x=時，函數(shù)f(x)取最小值為0 13 已知α為第二象限的角，sinα=，β為第一象限的角，cosβ=，求tan(2α-β)的值． 答案：解：∵α為第二象限的角，sinα=，cosα=-. ∴tanα=-，又∵ β為第一象限的角，cosβ=，sinβ 14如圖所示，有一農民在自留地建造一個長10 m，深0．5 m，橫截面為等腰梯形的封閉式引水槽側面材料每平方米造價50元

38、，頂蓋材料每平方米造價10元． (1)把建立引水槽的費用y(元)表示為引水槽的側面與地面所成的角∠DAE=θ的函數(shù)； 答案：作AH⊥CD，垂足為H，則AH=, ∠ADH=θ ∴=AH(AB+CD). 即 (2)引水槽的側面與地面所成的角θ多大時，其材料費最低?最低材料費是多少?(精確到0．01，≈1．732) 答案： 等號當且僅當 3tan=cot即tan=． ∴θ=60°．即當引槽的側面與地面所成角為60°材料費最低為646．4元． (3)按照題沒條件，在引水槽的深度和橫截面積及所在的材料不改變的情況下，將引水槽的橫截面形狀改變?yōu)檎叫螘r的材料費與(2)中所求得的材料費相比較，哪一種設計所用材料費更省?省多少? 答案：截面為正方形時，材料費為×10=700元． 所以橫截面為等腰梯形時比橫截面為正方形時，材料費用較省，省53．6元．