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數(shù)學廣角——植樹問題 師：我們利用課前兩分鐘的時間我們來做個游戲，游戲的名字叫敢動不敢言——看動作猜成語。游戲規(guī)則：我將請兩位同學上來，我悄悄的給他們看一個詞，完了以后，他們根據(jù)這個詞的內(nèi)容來演，但是不能發(fā)言，而我們在坐的同學呢給他們互動，你們來猜，看看我們班的同學配合默契程度怎么樣，好不好？ 生：好 師：誰愿意上來？（兩位上來），好，我現(xiàn)在要悄悄的給他們看，你們做好準備。（看完后）哪位來做主持？ 生：我來，這個詞是四個字的，第一個和第三個是數(shù)字，下面我來演示一下（兩位同學演示） 師：猜出來了嗎？誰來說說看，你來找一位同學回答。 生：一刀兩斷 師：對不對，同意的舉手，哦，都舉手了，謝謝兩位請坐，他們猜對了，就是一刀兩斷，（板書：一刀兩斷）你們真聰明，反應很快，配合的默契程度很高， 師：好，現(xiàn)在做準備好了嗎？（做好了）能上課了嗎？（能）那我們現(xiàn)在上課了？ 師：上課 生：老師好！ 師：同學們好！請坐 一、導入 師：今天我們這節(jié)數(shù)學課就從一刀兩斷開始，現(xiàn)在我們看這個詞，數(shù)學上借用這個詞我們替換一個字（一刀兩斷，替換一個字“斷換段”）一起讀一下。 生一起讀：一刀兩斷 師：現(xiàn)在我想請一位同學用畫草圖的方式把一刀兩斷的結(jié)果表示出來（師板書——畫），誰想上來畫一畫？ （學生上臺） 師：我來幫幫你，如果這表示一跟繩子的話，你來使它一刀兩斷， （學生動手） 師：謝謝，請回 師：請看這個圖，很簡單，但是卻讓我們一目了然，請認真觀察，剛才那位同學一共剪了幾次？ 生一起回答：一次 師：哦，一次，（板書：次數(shù)，在次數(shù)下面寫1）剪成幾段？（生回答：兩段）（老師板書：段數(shù)，在段數(shù)下面寫2）繼續(xù)，像這樣剪兩次，幾段？（3段）三次，幾段？（4段）你們報得這么快，我都來不及記錄了，讓我記一下，（分別在次數(shù)下面和段數(shù)下面寫2—3，3—4） 師：還要我繼續(xù)畫下去嗎？（不需要）那么你找到了規(guī)律了？（找到了）哦，請你們先別告訴我，讓我來考考你們好不好？（好） 師：我這次啊出大點的數(shù)字，如果像這樣如果我剪50次（師在次數(shù)下面寫上50），能剪成幾段？ 生一起回答：51段 師：這么快，好的（師在段數(shù)下面寫上51），再來，現(xiàn)在我們反過來，像這樣剪繩子，我想剪成……你想剪成幾段啊？誰來報一個大點的數(shù)？ 生：1000段 師：哦，1000段，我把它寫下來（板書在段數(shù)下面），想好了嗎？剪成1000段要剪幾次？哦，舉手的人真多，大家一起告訴我吧。 生一起回答：999次 師：看來這個規(guī)律大家真的已經(jīng)找到了（師在“畫”字下面寫“找”字），誰來說說看，像這樣剪繩子的時候，次數(shù)和段數(shù)之間有怎樣的規(guī)律呢？ 生：段數(shù)都要比次數(shù)多1 師：可以，還可以怎么說？ 生：次數(shù)比段數(shù)少1 師：很好，那么現(xiàn)在我想問了，我們找到這個規(guī)律有什么好處？體會一下，像這些大的數(shù)據(jù)，是我們畫出來的？不是，那是怎么出來的？ 生：是推理出來的 師：他說是推理出來的，這個詞用得非常棒（師板書——推），看來，一個簡單的草圖，我們通過觀察在這些小的數(shù)據(jù)里面，我們找到了規(guī)律，就可以依次來推理了，是不是？也就是說我們可以“以小見大”（板書——以小見大），找到規(guī)律來推算。那么今天這節(jié)就讓我們用以小見大：畫、找、推這樣一個方法來解決數(shù)學廣角中的植樹問題（板書——植樹問題）， 二、新授 師：好，現(xiàn)在我們要看屏幕了，請看屏幕（出示課件題目：一根繩總長12米，每段長3米，可剪幾段？），一根繩總長12米，每段長3米，可剪幾段？能完成嗎？（能）好，我們做在我們的練習紙的第一部分，列式計算，答省略不寫，開始吧 （生動手，師巡視輔導，抽選一位同學的答案寫在黑板上123=4（段），1分鐘后）， 師：好，校對，大家看黑板，這位同學答案對嗎？ 生一起回答：對 師：好，請問：除法算式中的12是指什么？ 生：這條繩子總長12米 師：簡單點，兩個字， 生一起回答：總長 師：好，（板書——總長），3指什么？ 生：段長 師：好的，（在總長后面板書——段長）請看，總長、段長，總長里有幾段段長呢？4段，4段指什么？ 生：段數(shù) 師：段數(shù)，（在段長后面板書——段數(shù)），通過這樣的一個簡單的數(shù)學問題，其實我們是總結(jié)出了一個數(shù)量關系，這個數(shù)量關系就是我們一起來說說吧：（板書）總長段長=段數(shù)，對了，現(xiàn)在讓我們一起回到剛才的剪繩子的問題上，（出示課件第一題）像剛才那種剪法，剪成4段我們要剪幾次？ 生一起回答：三次 師：三次（演示課件剪刀剪），四段三次是不是符合我們剛才總結(jié)出來的規(guī)律？（手指剪繩子草圖）段數(shù)比次數(shù)多1。 生一起回答：是 師：好了，現(xiàn)在我們要變換以下情境了，我們知道3月12日是植樹日，那我們就不剪繩子了，我們來植樹，請看大屏幕，（出示課件：一條路總長12米，每隔3米栽一棵樹，可以怎樣栽？栽幾課？） 師：請看題，這里有一個12米，這個12米是指什么？ 生一起回答：路的總長 師：哦，路的總長，能不能用總長來概括， 生：能 師：哦，這里又有一個每隔3米栽一棵樹，這3米就是什么？ 生：段長 師：段長，好的，那么現(xiàn)在總長里面有多少個段長，那么求出來還是什么？ 生：4段 師：那么現(xiàn)在這條小路分成4段的情況下，我們到底怎么該栽呢？可以栽幾棵呢？這樣，我們就用剛才總結(jié)的方法畫、找、推（師指黑板板書），一步一步來研究，先從畫開始，每位同學在這張圖上畫一畫，小數(shù)苗到底可以栽在哪個位置上，開始吧，在你們的練習紙的第二部分畫一畫，開始，（老師巡視并抽選）（1分鐘后） 師：好，我們來交流一下，請看屏幕，這是第一位（用投影出示），這位同學栽了幾棵樹苗？ 生：5棵 師：5棵樹，5棵4段，再來看第二位，他栽了幾棵樹苗？ 生：3棵 師：3棵，3棵4段，好，再來一位，栽了幾棵樹苗？ 生：4棵 師：4棵，4棵4段，好，我把它們都搬到屏幕上去，在分成4段的情況下，剛才我在下面看了一下基本上出現(xiàn)的都是這三種情況，是吧？ 生一起回答：是 師：有同學要問了，剛才我們在剪繩子的時候我們就是一刀兩段，一種情況，現(xiàn)在怎么就出現(xiàn)三種情況呢？那么這三種情況里面他們的棵樹和段數(shù)之間又有怎樣的規(guī)律呢？想不想來研究一下？ 生一起回答：想 師：想，好，接下來，我們要以小組為單位，我們一起來研究一下，拿出小組合作的那張練習紙，請看屏幕上的要求（師出示屏幕：1、給每種情況起個名。2、每種情況中“棵數(shù)”與“段數(shù)”有什么關系），開始研究吧。（師巡視輔導） 師：（3分鐘之后）有的同學說我起名有點困難，有的同學把名字起好了，找關系還來不及找，沒關系，等下我們組和組之間還可以交流，好，我們先暫停一下，現(xiàn)在我們請一個小組派代表來介紹一下第一種情況下棵數(shù)和段數(shù)之間的關系，好不好？（好）哪組想來？ 生：他的關系是：棵數(shù)=段數(shù)+1（師在之前張貼的5棵4段圖下面板書——棵數(shù)=段數(shù)+1） 師：請觀察這張簡單的圖示是不是這樣的關系 生：5棵數(shù)4段 師：同意嗎？（同意），好，請坐，我也發(fā)現(xiàn)有的用文字表示的他說棵數(shù)比段數(shù)多1，你看，同一個關系，同一個規(guī)律我們又可以用不同的表達方式，對不對？（對）好了，接下來請第二組來匯報下第二種情況，哪組來說一說？ 生：棵數(shù)比段數(shù)少1 師：我們用數(shù)量關系表示……. 生：棵數(shù)=段數(shù)—1（師在之前張貼的3棵4段圖下面板書——棵數(shù)=段數(shù)—1） 師：同意嗎？同意，好，下面第三種情況，我們一起來吧， 生一起說：棵數(shù)等于段數(shù)（師在之前張貼的4棵4段圖下板書——棵數(shù)=段數(shù)） 師：好了，現(xiàn)在我們來看，三種情況都是在分成4段的情況下，有的時候棵數(shù)比段數(shù)多1，有的時候棵數(shù)比段數(shù)少1，有的時候棵數(shù)等于段數(shù)？怎么回事呢？請認真觀察，到底是哪個位置決定一會兒多1，一會兒少1呢？重在哪個位置上的數(shù)特別的重要？值得我們好好研究一下，什么位置上？ 生：兩頭 師：兩頭，同意嗎？ 生：同意 師：好，那我們現(xiàn)在來觀察，（師手指之前張貼的5棵4段說）兩頭都栽，結(jié)果棵數(shù)就等于段數(shù)加1，哦，你們都把名字說出來了，我們就叫它兩頭都栽或者叫兩端都栽（在圖前面寫“兩頭都栽”），那么這個呢？（師指3棵4段圖）能起名字了吧？ 生：能 師：叫做什么？ 生：兩頭都不栽 師：好，（師在3棵4段圖前面寫“兩頭都不栽”）那這個呢？（師指4棵4段圖說） 生：只栽一頭 師：那另一頭呢？ 生：不栽， 師：好，那我把他展開來寫叫一頭栽一頭不栽（在4棵4段前面寫），好了，我覺得你們起名字的本領真大，原來這個起名字也不是亂起的，你們看這三種情況起的多有水平啊，為什么有水平啊，他揭示了三種情況當中所預示的棵數(shù)和段數(shù)之間分別不同的關系，是不是？ 生：是 師：那我要問了，一頭栽一頭不栽，除了這個情況還有吧？ 生分別說 師：一種是頭不栽尾栽，另一種是尾不栽頭栽，是不是啊，哦，是不是這種情況？（師張貼一頭栽一頭不栽的另一張圖在第三種情況的下面），你看，一個名字包括了兩種情況，是吧，師：好了，現(xiàn)在我們已經(jīng)研究了植樹問題的三種情況，剛才啊，老師在巡視的時候有的同學說這三種情況不能再用一刀兩斷來概括了，我說對，他學習能力很強，那既然不能用一刀兩斷來概括了，那你們也想想辦法用什么方法來概括下，為了方便記憶，我們也用一個四個字的詞來概括下好不好？我們就叫它“五指四空”，（板書——五指四空）， 師：哦，已經(jīng)有同學拿出手來比劃了，好，請一位同學上來借用下你的小手，（把學生的小手放在投影儀上老師介紹）找一找五指代表我們剛才的五棵小樹苗，四空代表剛才的四段，那“五指四空”這就是我們剛才的哪一種？ 生一起回答：第一種， 師：非常好，它的名字叫什么？ 生：兩頭都栽 師：太好了，謝謝，請回，接下來你能用你自己的小手創(chuàng)造性的表示下這種情況嗎？（師出示一頭栽一頭不栽課件）動手演示下， 生嘗試演示 師：4段4棵，是不是這樣？（課件出示手）這是哪種情況？ 生：一頭不栽一頭栽 師：真棒，好，還有一種情況呢，（師出示兩頭都不栽的課件） 生嘗試演示 師：哦，這種手勢比較難都做出來了，是不是這樣??？（課件出示手）這叫做什么呀？ 生：兩頭都不栽 師：太對了，你看，小手是不離身的，有了這個模型，帶在身上，你還怕記不住這三種情況當中棵數(shù)和段數(shù)之間的關系嗎？不怕了，對不對？ 生一起回答：對 師：好，現(xiàn)在回過頭來，我們再來看剛才這到題：當一條小路每3米分成一段，可以分成四段，對吧，在分成4段的情況下我們得出了這三種栽法，都符合題意，這三種情況就是我們植樹問題當中的三種最基本情況，好了，學到現(xiàn)在啊我們體會一下，我們剛才是用怎樣的方法學的？（老師手指畫、找、推） 生：畫、找、推 師：好了，現(xiàn)在請你們翻開課本第117頁例1，（師用課件出示此題）現(xiàn)在動手把這道題做在書中空白處，開始， 師：請大家認真審題，題目當中的栽樹方法其實就是我們剛才哪種情況？ 生：兩頭都栽 師：（2分鐘后）好了沒有？好，很多同學都已經(jīng)做好了，現(xiàn)在開始校對。是不是這樣?。績煞N：分步，綜合，請問為什么要加1？ 生：因為兩頭要栽，所以要加1 師：通過此題，我們歸納出一個數(shù)量關系，它就是段長段數(shù)＝總長，原來就是我們剛才這個數(shù)量關系的反向運用，是不是啊， 師：好，現(xiàn)在我們再來看看，我們今天這節(jié)課啊其實舉了很多的例子，他們之間有沒有關聯(lián)呢，仔細觀察，在數(shù)學廣角之中，剪繩子其實就和哪種情況一樣的？ 生：栽樹， 師：栽樹有三種情況的，栽樹里面的…… 生：兩頭都不栽 師：路燈其實就和……. 生：兩頭都栽一樣 師：是不是這樣？生活中這樣的例子還有很多很多，你們有心的可以去找一找 師：好，現(xiàn)在我想問，通過今天這節(jié)課的學習，你有哪些收獲，和大家分享一下，你最感興趣的是什么？ 生：我知道了一刀兩段，五指四空 師：好，還有什么嗎？ 生：我學會了畫找推 師：畫、找、推，這是一種什么？ 生：方法 師：方法，學習方法，非常啊，畫、找、推，以小見大來類推，這就是一種學習方法，好，這節(jié)課可能過了時間的推移，里面的知識有的東西你會遺忘，但正如這位同學說的他牢牢記住了一刀兩段，五指四空，為什么？因為他讓我們領略了以小見大的魅力，這是你終身受用的。好，這節(jié)課就上到這里，下課