第四十三講　空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖 班級(jí)________　姓名________　考號(hào)________　日期________　得分________ 一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．) 1．充滿氣的車輪內(nèi)胎可由下面某個(gè)圖形繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成，這個(gè)圖形是(　　) 解析：選項(xiàng)A得到的是空心球；D得到的是球；選項(xiàng)C得到的是車輪內(nèi)胎；B得到的是空心的環(huán)狀幾何體，故選C. 答案：C 2．在斜二測(cè)畫法的規(guī)則下，下列結(jié)論正確的是(　　) A．角的水平放置的直觀圖不一定是角 B．相等的角在直觀圖中仍然相等 C．相等的線段在直觀圖中仍然相等 D．若兩條線段平行，且相等，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行且相等 解析：角在直觀圖中可以與原來的角不等，但仍然為角；由正方形的直觀圖可排除B、C，故選D. 答案：D 3．下圖所示的四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是(　　) A．(1)不是棱柱　　　　　B．(2)是棱柱 C．(3)是圓臺(tái) D．(4)是棱錐 解析：顯然(1)符合棱柱的定義；(2)不符合；(3)中兩底面不互相平行，故選D. 答案：D 4．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 解析：正方體三個(gè)視圖都相同；圓錐的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓；三棱臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖雖然都是梯形但不一定相同；正四棱錐的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，故選D. 答案：D 5．一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且該梯形面積為，則原梯形的面積為(　　) A．2 B. C．2 D．4 解析：設(shè)直觀圖中梯形的上底為x，下底為y，高為h.則原梯形的上底為x，下底為y，高為2h，故原梯形的面積為4，選D. 答案：D 6．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a＋b的最大值為(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：構(gòu)造長方體，將棱BH構(gòu)造為長方體的體對(duì)角線，由題意知BH的正視圖的投影為CH，BH的側(cè)視圖的投影為BG，BH的俯視圖投影為BD. 設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，AE＝h， 則由CH＝?DC2＋DH2＝6?x2＋h2＝6， 又BH＝?BC＝1，即y＝1. BH側(cè)視圖的投影為BG＝， BH俯視圖的投影為BD＝， ∴＋≤2＝4， 當(dāng)x＝h時(shí)，取等號(hào)． 答案：C 二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．) 7．一正方體內(nèi)接于一個(gè)球，經(jīng)過球心作一個(gè)截面，則截面的可能圖形為________(只填寫序號(hào))． 解析：當(dāng)截面與正方體的某一面平行時(shí)，可得①，將截面旋轉(zhuǎn)可得②，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，過正方體兩頂點(diǎn)時(shí)可得③，即正方體的對(duì)角面，不可能得④. 答案：①②③ 8．有一粒正方體的骰子每一面有一個(gè)英文字母．下圖是從3種不同角度看同一粒骰子的情況，請(qǐng)問H反面的字母是________． 解析：因?yàn)檎襟w的骰子共有六個(gè)面，每個(gè)面都有一個(gè)字母，從每一個(gè)圖中都看到有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面，又與標(biāo)有S的面相鄰的面有四個(gè)，由圖可知，這四個(gè)平面分別標(biāo)有H、E、O、P四個(gè)字母，故能說明S的反面是D，翻轉(zhuǎn)圖②使P調(diào)整到正前面，S調(diào)整到正左面，則O為正下面，所以H的反面是O. 答案：O 9．有一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐，棱長都相等，問它們的一個(gè)側(cè)面重疊后，還有幾個(gè)暴露面？________. 解析：如圖(1)三棱錐S—A′B′C′有四個(gè)暴露面，如圖(2)四棱錐V—ABCD有五個(gè)暴露面，且它們的側(cè)面都是完全相同的正三角形． 如圖(3)當(dāng)三棱錐S—A′B′C′的底面A′B′C′與四棱錐V—ABCD的側(cè)面AVD完全重合后，四點(diǎn)S，A，B，V共面，同樣四點(diǎn)S，D，C，V也共面，此時(shí)，新幾何體共有5個(gè)面． 答案：5 10．已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，兩條側(cè)棱長為，則第三條側(cè)棱長的取值范圍是________． 解析：如圖1，四面體ABCD中，AB＝BC＝CA＝1，DA＝DC＝，只有棱長BD是可以變動(dòng)的． 設(shè)M為AC的中點(diǎn)，則MD＝＝，MB＝.但是要構(gòu)成三棱錐，如圖2所示，必須BD1<BD<BD2，BD1＝MB＝，BD2＝3MB＝， 即<BD<. 答案： 三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．) 11．已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，P是AA1的中點(diǎn)，E是BB1上一點(diǎn)，如圖所示，求PE＋EC的最小值． 解：把面A1ABB1和面B1BCC1展成平面圖形，如圖所示，PE＋EC的最小值即為線段PC的長．由于AP＝PA1＝，AC＝2， 所以PC＝＝， 所以PE＋EC的最小值為. 評(píng)析：“化折為直”是求空間幾何體表面上折線段最小值問題的基本方法，其途徑是將各側(cè)面展開． 12．以正四棱臺(tái)(底面為正方形，各個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形)為模型，驗(yàn)證棱臺(tái)的平行于底面的截面的性質(zhì)：設(shè)棱臺(tái)上底面面積為S1，下底面面積為S2，平行于底面的截面距棱臺(tái)上、下兩底的距離的比為mn，則截面面積S滿足下列關(guān)系：＝.當(dāng)m＝n時(shí)，則＝(中截面面積公式)． 解：如圖所示，把棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐．根據(jù)棱臺(tái)上、下底面與平行于底面的截面相似的性質(zhì)，上底面、下底面、截面的相似比為::. 設(shè)PO2＝h，O1O2＝x， 則＝＝＝， ＝＝＝. ∴＋＝＋＝＝m＋n， 即＝. 當(dāng)m＝n時(shí)，則＝＝. 評(píng)析：由于棱臺(tái)是由棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體，臺(tái)體中一些幾何量的計(jì)算不是很容易時(shí)就可以把臺(tái)體還原為錐體，利用錐體的一些性質(zhì)解決臺(tái)體問題，如利用平行于錐體底面的平面截錐體，則截面面積和底面面積的比等于被截得的小錐體的高和原錐體的高的比的平方，截得的小錐體的體積和原來錐體的體積的比等于被截得的小錐體的高和原來錐體高的比的立方等． 13．有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體的各條棱相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)．求這三個(gè)球的半徑之比． 解：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑分別為R1，R2，R3.球內(nèi)切于正方體時(shí)，球的直徑和正方體的棱長相等，如圖1所示，AB＝2R1＝a，所以R1＝； 球與這個(gè)正方體的各條棱相切時(shí)，球的直徑與正方體的面對(duì)角線長相等，如圖2所示，CD＝2R2＝a，所以R2＝； 當(dāng)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，也即正方體內(nèi)接于球，此時(shí)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)均在球面上，則正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑，如圖3所示，EF＝2R3＝a， 所以R3＝. 故三個(gè)球的半徑之比為1::.