【命中考心】2020高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)之——圓的方程 1 例1 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？ 分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答． 解法一：圓的圓心為，半徑． 設(shè)圓心到直線的距離為，則． 如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意． 又． ∴與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意． ∴符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)． 解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)． 設(shè)所求直線為，則， ∴，即，或，也即 ，或． 設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則 ，． ∴與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)． 說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解： 設(shè)圓心到直線的距離為，則． ∴圓到距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)． 顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，，只能說明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1． 到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)．求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷． 典型例題三 例3 求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系． 分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)． 解法一：（待定系數(shù)法） 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． ∵圓心在上，故． ∴圓的方程為． 又∵該圓過、兩點(diǎn)． ∴ 解之得：，． 所以所求圓的方程為． 解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑） 因?yàn)閳A過、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)椋实男甭蕿?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為：即． 又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為 ∴半徑． 故所求圓的方程為． 又點(diǎn)到圓心的距離為 ． ∴點(diǎn)在圓外． 說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？ 典型例題四 例4　圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（ ）． （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè) 分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以選C． 典型例題五 例5　過點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，如圖所示． 分析：觀察動(dòng)畫演示，分析思路． P E O y x 解：設(shè)直線的方程為 即 根據(jù)有 整理得 解得 ． 典型例題二 例6　已知圓，求過點(diǎn)與圓相切的切線． 解：∵點(diǎn)不在圓上， ∴切線的直線方程可設(shè)為 根據(jù) ∴ 解得 所以 即 因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為． 說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解． 本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）．還可以運(yùn)用，求出切點(diǎn)坐標(biāo)、的值來解決，此時(shí)沒有漏解．