《廣東省珠海四中2020屆高三數(shù)學二輪專題復習 立體幾何試題 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《廣東省珠海四中2020屆高三數(shù)學二輪專題復習 立體幾何試題 理(14頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2020高三數(shù)學(理)專題復習--立體幾何
一、選擇題
1、(2020廣東高考)某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是 ( )
A .
B.
C.
D.
2、(2020廣東高考)設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是( )
A . 若,,,則 B.若,,,則
C.若,,,則 D.若,,,則
3、(2020廣東高考)某幾何體的三視圖如圖1所示,它的體積為( )
A. B.
C. D.
4、(2020廣東高考)如圖1 ~ 3,某幾何體的正視圖(主
2、視圖)是平行四邊形,側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形,則該幾何體的體積為
A. B. C. D.
圖1
5、(2020江門高三12月調(diào)研)如圖1,、分別是正方體中、上的動點(不含端點),則四邊形的俯視圖可能是
A. B. C. D.
6、(2020揭陽一模)一簡單組合體的三視圖如圖(1)所示,則該組合體的體積為
A. B. C. D.
二、解答題
7、(2020廣東高考)如圖1,在等腰直角三角形中
3、,,,分別是上的點,,為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.
(Ⅰ) 證明:平面; (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.
.
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E
圖1
圖2
8、(2020廣東高考)如圖5所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點在線段上,平面.
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.
9、圖5
(2020廣東高考)如圖5,在錐體中,是邊長為1的
菱形,且,,,
分別是的中點.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的余
4、弦值.
10、已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點,EF∥BC,AE = x,G是BC的中點.沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖).
(1)當x=2時,求證:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為,求的最大值;
(3)當取得最大值時,求二面角D-BF-C的余弦值.
11、
(2020廣州一模)
圖5
如圖5,在棱長為的正方體中,點是棱的
中點,點在棱上,且滿足.
(1)求證:;
(2)在棱上
5、確定一點, 使,,,四點共面,并求
此時的長;
(3)求平面與平面所成二面角的余弦值.
12、(2020揭陽一模)如圖(6),四棱錐S—ABCD的底面是正方形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,
過A作AE垂直SB交SB于E點,作AH垂直SD交SD于H點,平面
AEH交SC于K點,且AB=1,SA=2.
(1)設點P是SA上任一點,試求的最小值;
(2)求證:E、H在以AK為直徑的圓上;
(3)求平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值.
13、已知幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.
(Ⅰ)求此幾何體
6、的體積;
(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值;
(Ⅲ)探究在上是否存在點Q,使得,并說明理由.
14、(2020江門高三12月調(diào)研)如圖2,直三棱柱中,,,棱,、分別是、的中點.
⑴ 求證:平面;
⑵ 求直線與平面所成角的正弦值.
15.已知正方形ABCD的邊長為1,.將正方形ABCD沿對角線折起,使,得到三棱錐A—BCD,如圖所示.
(I)若點M是棱AB的中點,求證:OM∥平面ACD;
(II)求證:;
(III)求二面角的余弦值.
答案:
1、B 2、D
7、3、C 4、B 5、D
6、選D。由三視圖知,此組合體為一個長為4,寬為3,高為1的長方體、中心去除一個半徑為1的圓柱,故其體積為
7、(Ⅰ) 在圖1中,易得
C
D
O
B
E
H
連結(jié),在中,由余弦定理可得
由翻折不變性可知,
所以,所以,
理可證, 又,所以平面.
(Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié),
因為平面,所以,
所以為二面角的平面角.
結(jié)合圖1可知,為中點,故,從而
C
D
O
x
E
向量法圖
y
z
B
所以,所以二面角的平面角的余弦值為.
向量法:以點為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,
則
8、,,
所以,
設為平面的法向量,則
,即,解得,令,得
由(Ⅰ) 知,為平面的一個法向量,
所以,即二面角的平面角的余弦值為.
9、解析:(Ⅰ)因為平面,平面,所以.又因為平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而為矩形,所以為正方形,于是.
法1:以點為原點,、、為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系.則、、、,于是,.設平面的一個法向量為,則,從而,令,得.而平面的一個法向量為.所以二面角的余弦值為,于是二面角的正切值為3.
法2:設與交于點,連接.因為平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因為平面,平面,所以是直角
9、三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值為.
9、 (1)證明:取的中點,連接
∵,∴
∵在邊長為1的菱形中,
∴△是等邊三角形
∴,
∴平面 ∴
∵分別是的中點 ∴∥,∥
∴,,
∴平面
(2)解:由(1)知, ∴是二面角的平面角
易求得
∴∴二面角的余弦值為
x
y
z
10、(1)方法一:∵平面平面,
AE⊥EF,∴AE⊥平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標系E-xyz.
,又為BC的中點,BC=4,
.則A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0)
10、,D(0,2,2),E(0,0,0),(-2,2,2),(2,2,0),
(-2,2,2)(2,2,0)=0,∴.…4分
方法二:作DH⊥EF于H,連BH,GH, 由平面平面知:DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH.
H
為平行四邊形,且
,四邊形BGHE為正方形,∴EG⊥BH,BHDH=H,
故EG⊥平面DBH, 而BD平面DBH,∴ EG⊥BD.………4分
(2)∵AD∥面BFC,所以 =VA-BFC=
,即時有最大值為. ………8分
(3)設平面DBF的法向量為,∵AE=2, B(2,0,0),D(0,2,2),
H
_
E
M
F
D
11、
B
A
C
G
F(0,3,0),∴ (-2,2,2),
則 ,即,取,∴
,面BCF一個法向量為
則cos<>=,………13分
由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角,所以此二面角的余弦值為-.………14分
11、推理論證法:
(1)證明:連結(jié),,因為四邊形是正方形,所以.
在正方體中,平面,平面,所以. 因為,,平面,
所以平面. 因為平面,所以.
(2)解:取的中點,連結(jié),則.
在平面中,過點作,則.
連結(jié),則,,,四點共面.
因為,,
所以.故
12、當時,,,,四點共面.
(3)延長,,設,連結(jié),
則是平面與平面的交線.
過點作,垂足為,連結(jié),
因為,,所以平面.
因為平面,所以.
所以為平面與平面所成二面角的平面角.
因為,即,所以.
在△中,,,
所以
.即.
因為,
所以.
所以.所以.
故平面與平面所成二面角的余弦值為.
空間向量法:
(1)證明:以點為坐標原點,,,所在的直線
分別為軸,軸,軸,建立如圖的空間直角坐標系,
則,,,
,,
所以,.
因為,所以.所以.
(2)解:設,因為平面平面,
13、平面平面,平面平面,所以.(
所以存在實數(shù),使得.
因為,,所以.
所以,.所以.
故當時,,,,四點共面.
(3)解:由(1)知,.
設是平面的法向量,則即
取,則,.所以是平面的一個法向量.
而是平面的一個法向量,
設平面與平面所成的二面角為,則.
故平面與平面所成二面角的余弦值為.
12、(1)將側(cè)面SAB繞側(cè)棱SA旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面SAD在同一平面內(nèi),如右圖示,
則當B、P、H三點共線時,取最小值,這時,的
最小值即線段BH的長,設,則,
在中,∵,∴,--------------------2分
在三角形BAH中,有余弦定理得:
∴.--------
14、----------------------------------------------------4分
(2)證明:∵SA⊥底面ABCD,∴SA⊥BC,又AB⊥BC,
∴BC⊥平面SAB,又平面SAB,∴EA⊥BC,又∵AE⊥SB,∴AE⊥平面SBC ,
又平面SBC,∴EA⊥EK, 同理 AH⊥KH,∴E、H在以AK為直徑的圓上
(3)方法一:如圖,以A為原點,分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸,建立空間直角坐標系如右圖示,------------------------------------------------------------------------
15、----10分
則S(0,0,2),C(1,1,0),由(1)可得AE⊥SC,AH⊥SC,∴SC⊥平面AEKH,
為平面AEKH的一個法向量,-------------------11分
為平面ABCDF的一個法向量,-------------------12分
設平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的平面角為,
則----------------13分
∴平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值---14分
【方法二: 由可知,故,
又∵面AEKH,
面AEKH, ∴面AEKH. ------------------------10分
設平面AEKH平面A
16、BCD=l,∵面AEKH,
∴-------------------------------------------------------------11分
∵BD⊥AC,∴⊥AC,
又BD⊥SA,∴BD⊥平面SAC,又平面SAC,
∴BD⊥AK, ∴⊥AK,
∴為平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的一個平面角,--------------13分
∴平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為.------------------------14分】
13.解:(Ⅰ)由該幾何體的三視圖可知垂直于底面,且,,
,,此幾何體的體積為;
17、
解法一:(Ⅱ)過點作交于,連接,則或其補角即為異面直線與所成角,在中,,,
;即異面直線與所成角的余弦值為。
(Ⅲ)在上存在點Q,使得;取中點,過點作于點,則點為所求點;連接、,在和中,
,∽,,
,,,
,,,
以為圓心,為直徑的圓與相切,切點為,連接、,可得;
,,,,
,; 14分
解法二:(Ⅰ)同上。
(Ⅱ)以為原點,以、、所在直線為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,得,,,又異面直線與所成角為銳角,異面直線與所成角的余弦值為。
(Ⅲ)設存在滿足題設的點,其坐標為,
則,,,
, ①;
點在上,存在使得,
即,
18、化簡得, ②,
②代入①得,得,;
滿足題設的點存在,其坐標為。
14、證明與求解:⑴,底面,
……1分,,……2分,因為,,,所以平面……3分,……4分,因為,所以平面……5分
⑵(方法一)以C為原點,CA、CB、CC1在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系……6分,
則、、……7分,
、……8分,
、、……9分,
設平面的一個法向為,則……10分,
即,取……11分,
所以……12分,……13分。
(方法二),,……6分,所以,,……7分,由⑴知,,所以平面……8分。
延長到,延長到,使,連接、……9分,在中,,,……10分,
……11分,
是平面的
19、法向量,由所作知,從而,所以……13分。
其他方法,例如將直三棱柱補成長方體,可參照給分。
15、解:(I) 在正方形ABCD中,是對角線的交點,
O為BD的中點, M為AB的中點, OM∥AD.
又AD平面ACD,OM平面ACD, OM∥平面ACD.
(II)證明:在中,,,
,.
又 是正方形ABCD的對角線,,
又.
(III)由(II)知,則OC,OA,OD兩兩互相垂直,如圖,以O為原點,建立空間直角坐標系.則,
是平面的一個法向量.,,
設平面的法向量,則,.
即,
所以且令則,,解得. -----12分
從而,二面角的余弦值為.-------13分