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1、專題強化訓練1 1.如圖，某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心，AB為直徑)，現(xiàn)計劃對其進行改建．在AB的延長線上取點D，OD＝80 m，在半圓上選定一點C，改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成，其面積為S m2．設(shè)∠AOC＝x rad． (1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x)，并指出x的取值范圍； (2)試問∠AOC多大時，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值． A B O C D (1)因為扇形?AOC的半徑為?40 m，∠AOC＝x?rad， 所以?扇形AOC的面積S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π． …………… 2分

2、 在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x， 所以△COD 的面積S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．…… 5分 從而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． …………………7分 2. 如圖所示，某街道居委會擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個活動中心，其中米．活動中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形，上部分是以為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求，活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長不超過米，

3、其中該太陽光線與水平線的夾角滿足. （1）若設(shè)計米，米，問能否保證上述采光要求？ F A B E D G C ←南 居 民 樓 活 動 中 心 （2）在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計與的長度，可使得活動中心的截面面積最大？（注：計算中取3） 解：如圖所示，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系． （1）因為，，所以半圓的圓心為， 半徑．設(shè)太陽光線所在直線方程為， 即， 則由， 解得或（舍）. 故太陽光線所在直線方程為， 令，得米米. 所以此時能保證上述采光要求.

4、 （2）設(shè)米，米，則半圓的圓心為，半徑為． 方法一：設(shè)太陽光線所在直線方程為， 即，由， 解得或（舍）. 故太陽光線所在直線方程為， 令，得，由，得. 所以 . 當且僅當時取等號. 所以當米且米時，可使得活動中心的截面面積最大. 方法二：欲使活動中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長EG恰為米，則此時點為， 設(shè)過點G的上述太陽光線為，則所在直線方程為y－＝－(x－30)， 即． 由直線與半圓H相切，得． 而點H(r，h)在直線的下方，則3r＋4h－10

5、0＜0， 即，從而． 又. 當且僅當時取等號. 所以當米且米時，可使得活動中心的截面面積最大. 3.已知PQ是半徑為1的圓A的直徑，B，C為不同于P，Q的兩點，如圖所示， 記∠PAB=θ． （1）若BC=，求四邊形PBCQ的面積的最大值； （2）若BC=1，求?的最大值． 解：（1）∵，∴∠BAC=； 由∠PAB=θ得∠CAQ=； ∴S四邊形PBCQ=S△PAB+S△ABC+S△CAQ = = =； ∵，∴當時，S四邊形PBCQ取得最大值； （2）當BC=1時，∠BAC=，∠PAC=； ∴ = =﹣1 = = =； ∵；

6、∴時，取得最大值． L A B O M L L a b 4.如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的．位于該市的某大學與市中心的距離，且．現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站，在OB上設(shè)一站B，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過大學．其中，，． （1）求大學與站的距離； （2）求鐵路段的長． （1）在中，，且，， 由余弦定理得， ，即大學與站的距離為； （

7、2），且為銳角，， 在中，由正弦定理得，, 即，，， ， ，，， 又， ， 在中，， 由正弦定理得，， 即，，即鐵路段的長為． 5.如圖是某設(shè)計師設(shè)計的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，現(xiàn)設(shè)計師在支架OB上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為M，且M與OB長成正比，比例系數(shù)為k（k為正常數(shù)）：在△AOC區(qū)域（陰影區(qū)域）內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為N，且N與△AOC的面積成正比，比例系數(shù)為4k，設(shè)OA=x，OB=y．

8、 （1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍； （2）求N﹣M的最大值及相應(yīng)的x的值． 解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1， 由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1）2，解得y=， 由x＞0，y＞0，得1＜x＜2， ∵x＞y， ∴x＞， 得1＜x＜， ∴OA的取值范圍是（1，）． （2）M=kOB=ky，N=4k?S△AOC=3kx， 則N﹣M=k（3x﹣y）=k（3x﹣）， 設(shè)2﹣x=t，則t∈（，1）， 則N﹣M=k[3（2﹣t）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k， 當且僅當4t=，即t=，x=2﹣時

9、，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k． 　 6.在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知==． （1）求C； （2）如圖，設(shè)半徑為R的圓O過A，B，C三點，點P位于劣弧上，∠PAB=θ，求四邊形APCB面積S（θ）的解析式及最大值． 【考點】在實際問題中建立三角函數(shù)模型；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用． 【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理可得sin2A=sin2B，再由角的范圍可得A+B=，從而求得C； （2）把三角形ABC的三邊用R表示，再由S（θ）=S△ABC+S△APC，代入三角形面積公式化簡，然后由θ∈（）求得四邊形APCB面積S（θ）的最大值． 【解答

10、】解：（1）由=，得=，∴sin2A=sin2B， ∵2A，2B∈（0，2π），∴2A=2B，或2A+2B=π， 即A=B或A+B=， ∵，∴A=B舍去，從而C=； （2）由條件得：c=2R，a=R，b=R，∠BAC=，∠CAP=θ﹣，θ∈（）， S（θ）=S△ABC+S△APC= == ==，θ∈（）， ∵∈（）， ∴當時，． 7.一個玩具盤由一個直徑為2米的半圓O和一個矩形ABCD構(gòu)成，AB=1米，如圖所示，小球從A點出發(fā)以大小為5v的速度沿半圓O軌道滾到某點E處，經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi)，落點記為F，設(shè)∠AOE=θ弧度，小球從A

11、到F所需時間為T． （1）試將T表示為θ的函數(shù)T（θ），并寫出定義域； （2）求時間T最短時θ的值． 解：（1）過點O作OG⊥BC于G，則OG=1， OF==，EF=1+，AE=θ， ∴T（θ）=+=++，θ∈[，]； （2）由（1）可知T′（θ）=﹣==﹣， 記cosθ0=，由θ0∈[，]可知： 當θ∈（，θ0）時T′（θ）＜0，即T（θ）在區(qū)間（，θ0）上單調(diào)遞減， 當θ∈（θ0，）時T′（θ）＞0，即T（θ）在區(qū)間（θ0，）上單調(diào)遞增， ∴當θ=時時間T最短． 8.如圖，O為總信號源點，A，B，C是三個居民區(qū)，已知A，B都在O的正東方向上，OA = 10 ，

12、OB = 20 ，C在O的北偏西45° 方向上，CO =． （1）求居民區(qū)A與C的距離； （2）現(xiàn)要經(jīng)過點O鋪設(shè)一條總光纜直線EF（E在直線OA的上方），并從A，B，C分別鋪設(shè)三條最短分光纜連接到總光纜EF．假設(shè)鋪設(shè)每條分光纜的費用與其長度的平方成正比，比例系數(shù)為m（m為常數(shù)）．設(shè)∠AOE = θ（0≤θ <），鋪設(shè)三條分光纜的總費用為w（元）． ① 求w關(guān)于θ的函數(shù)表達式； ② 求w的最小值及此時的值． 11.如圖，摩天輪的半徑為，點距地面的高度為，摩天輪作逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點的起始位置在最低點處. （1）試

13、確定在時刻（）時點距離地面的高度； （2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點距離地面超過？ （1）以為原點建系，在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為， ∴以為始邊，為終邊的角為， 故點縱坐標為， ∴距地面高度為； （2）令即， ∴，∴， ∴，. 答：一圈內(nèi)有2分鐘超過. 12.如圖，有一塊矩形空地，，，現(xiàn)規(guī)劃在該空地四邊形建一個商業(yè)區(qū)，其中頂點為商業(yè)區(qū)四個入口，且入口在邊上（不包含頂點），入口分別在邊上，，，矩形內(nèi)其余區(qū)域均為綠化區(qū)。 （1）設(shè)，以點為坐標原點，直線為軸，建立直角坐標系，如圖所示。 ①求直線的方程 ②求的取值范圍。 （2）設(shè)商業(yè)區(qū)域的面積為，綠化區(qū)域的面積

14、為，問入口如何選址，即為何值時，可使得該商業(yè)區(qū)域的環(huán)境舒適度指數(shù)最大？ 13.圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形是矩形，弧是半圓，凹槽的橫截面的周長為．若凹槽的強度等于橫截面的面積與邊的乘積，設(shè)，． （1）寫出關(guān)于函數(shù)表達式，并指出的取值范圍； （2）求當取何值時，凹槽的強度最大． 【解】（Ⅰ）易知半圓的半徑為，故半圓的弧長為． 所以， 得……………………………………………………………………………………2分 依題意知： 得 所以，（）．………………………………………………………6分 （Ⅱ）依題意，設(shè)凹槽

15、的強度為，橫截面的面積為，則有 ，，………………………………………………9分 因為， 所以，當時，，當時，， 所以當，凹槽的強度最大．……………………………………………………………13分 答：所以當，凹槽的強度最大．………………………………………………………14分[] 14.如圖，OM，ON是兩條海岸線，Q為大海中一個小島，A為海岸線OM上的一個碼頭．已知，，Q到海岸線OM，ON的距離分別為3 km， km．現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個碼頭B，使得水上旅游線路AB（直線）經(jīng)過小島Q． （1）求水上旅游線路AB的長； （2）若小島正北方向距離小島6 km處的海中有一個圓形強水

16、波P，水波生成t h時的半徑為（其中，R）．強水波開始生成時，一游輪以 km/h的速度自碼頭A開往碼頭B，問強水波是否會波及游輪的航行，并說明理由． 解：（1）以點O為坐標原點，直線OM為軸，建立直角坐標系如圖所示． 則由題設(shè)得：，直線ON的方程為 ． 由，解得，所以．2分 故直線AQ的方程為， 由得 即，故， …………………………………… 5分 答：水上旅游線的長為km． ………………………………………6分 （2）設(shè)試驗產(chǎn)生的強水波圓P，由題意可得P（3，9）， 生成小時時，游輪在線段AB上的點C處， 則，所以

17、． 若強水波不會波及游輪的航行即 即， ………………………………………10分 當時恒成立， 當. ，， 當且僅當時等號成立， 所以當時恒成立，即強水波不會波及游輪的航行．……14分 答：在時，強水波不會波及游輪的航行． …………………15分 15.如圖所示，某市準備在一個湖泊的一側(cè)修建一條直路OC；另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段OD是以O(shè)為頂點，x軸為對稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]時的圖象，圖象的最高點為B（5，），DF⊥OC，垂足為F． （I）求函數(shù)y=Asin（

18、ωx+φ）的解析式； （II）若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂園PMFE，問點P落在曲線OD上何處時，水上樂園的面積最大？ 解：（Ⅰ）對于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）由圖象可知，A=，ω==， 將（5，），代入y=sin（x+φ）得：， |φ|＜，所以φ=，所以函數(shù)的解析式為y=sin（x）． （Ⅱ）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4） 從而得曲線OD的方程為y2=4x，（0≤x≤4）． 設(shè)點P（）（0≤t≤4），則矩形PMFE的面積為S=，0≤t≤4． 因為S′=4﹣，由S′=0得t=，且t∈時S′＞0，S遞增， t∈時S′＜0，S遞減， 所以當t=，S最

19、大，此時點P的坐標． 16.某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品，經(jīng)銷時間共60個月，市場調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個產(chǎn)品期間第x個月的利潤（單位：萬元），為了獲得更多的利潤，企業(yè)將每月獲得的利潤投入到次月的經(jīng)營中，記第x個月的當月利潤率，例如：． （1）求g（10）； （2）求第x個月的當月利潤率g（x）； （3）該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪個月的當月利潤率最大，并求該月的當月利潤率． 解：（1）由題意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1 g（x）===． （2）當1≤x≤20時，f（1）=f（2）═f（x﹣1）=f（x）=1 ∴g（x）====． 當21≤x≤

20、60時， g（x）= = = = = ∴當?shù)趚個月的當月利潤率 ； （3）當1≤x≤20時，是減函數(shù)， 此時g（x）的最大值為 當21≤x≤60時， 當且僅當時，即x=40時， ，又∵， ∴當x=40時， 17.如圖，太湖一個角形湖灣（ 常數(shù)為銳角）. 擬用長 度為（為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇： 方案一 如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)，其中； 方案二 如圖2，圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)，其中； （1）求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積； （2）求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積； （3）為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大，應(yīng)選擇何種方案？并說明理由. （1）設(shè)，則，即，所以 . （2）設(shè).由余弦定理，得,所以,所以,當且僅當時，“=”成立.所以 ,即. 答:為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大.應(yīng)選擇方案一.