函數(shù)模型及其應(yīng)用（一） 一、學(xué)習(xí)目標(biāo): 1．?dāng)?shù)學(xué)模型與建模，解決實際問題的一般步驟； 2．培養(yǎng)分析問題解決問題、應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。 二、知識梳理 總結(jié)解應(yīng)用題的策略： 解決應(yīng)用題的一般程序是 　 　① 審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系； 　 ?、?建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； 　 ?、?解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； ④ 還原：將用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論，還原為實際問題的意義． 一般思路可表示如下 熱身訓(xùn)練 1．A、B兩地相距150km，某汽車以50km/h的速度從A到B，到達(dá)B后在B地停留2個小時之后又從B地以60km/h的速度返回，該車離開A地的距離S（km）與時間t（小時）的函數(shù)關(guān)系為 . 2、某種商品進(jìn)貨單價為40元，按單價每個50元售出，能賣出50個。 如果零售價在50元的基礎(chǔ)上每上漲1元，其銷售量就減少一個，問零售價上漲到多少元時，這批貨物能取得最高利潤。 3．已知某皮鞋廠一天的生產(chǎn)成本C(元)與生產(chǎn)數(shù)量n(雙)之間的函數(shù)關(guān)系是C=4000+50n.若每雙皮鞋的售價為90元，且生產(chǎn)的皮鞋全部售出.。 （1）試寫出這一天的利潤P關(guān)于這一天的生產(chǎn)數(shù)量n的函數(shù)關(guān)系式； （2）每天至少生產(chǎn)多少雙皮鞋，才能不虧本？ 三、典例欣賞： 例1．某計算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號計算機(jī)的固定成本為200萬元,生產(chǎn)每臺計算機(jī)的可變成本為3000元,每臺計算機(jī)的售價為5000元.分別寫出總成本C(萬元)、單位成本P（萬元）、銷售收入R（萬元）以及利潤L（萬元）關(guān)于總產(chǎn)量（臺）的函數(shù)關(guān)系式．如果集團(tuán)公司不虧本，集團(tuán)公司應(yīng)該至少生產(chǎn)多少臺？ 例2．某科技公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一個產(chǎn)品增加投資100元，已知總收益滿足:，其中是產(chǎn)品的月產(chǎn)量，求每月生產(chǎn)多少個產(chǎn)品時該科技公司的利潤最大？最大利潤是多少？（注：總收益=總成本+利潤） 例3．某民營企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖甲，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比.其關(guān)系如圖乙(注：利潤與投資單位：萬元)． (Ⅰ)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資(萬元)的函數(shù)關(guān)系式； (Ⅱ)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元? 　　 針對訓(xùn)練 1．某公司將進(jìn)貨單價為8元一個的商品按10元一個銷售，每天可賣出100個，若銷售時商品的銷售價每個上漲一元，則銷售量就減少10個，那么利潤最大時，銷售價上漲了多少元？ 2．一個小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x（件）與售價P(元/件)之間的關(guān)系為P=160－2x，生產(chǎn)x件的成本R=500+30x元， （1）該廠的月產(chǎn)量多大時，月獲得的利潤不少于1300元？ （2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？ 3．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)的邊際函數(shù)定義為=.某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置,生產(chǎn)臺()的收入函數(shù)(單位:元),其成本函數(shù)為(單位:元),利潤是收入 與成本之差. (1) 求利潤函數(shù)及邊際利潤函數(shù); (2) 利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)是否具有相同的最大值? 4．有甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品所能獲得的最大效益依次為P和Q（萬元），.它們與投資x（萬元）的關(guān)系是P=，Q=，今投資3萬元資金生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，為獲取最大收益，對甲、乙兩種產(chǎn)品的資金投入分別就為多少？ 5．已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬元，設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入R(x)為萬元，且 （1）寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)品x千件的函數(shù)解析式； （2）年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？ 6．某工廠第一季度某產(chǎn)品月生產(chǎn)量分別為1萬件,1.2萬件,1.3萬件, 為了估測以后各月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量y（萬件）與月份數(shù)x的關(guān)系。已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，用二次函數(shù)或(其中為常數(shù))哪個更好？為什么？