福建省泉州市唯思教育高三數學復習 函數練習 新人教A版10．關于的方程有負根，則a的取值范圍是 。 11．已知函數f (x)=log2(x+1)，若－1<a<b<c，且abc≠0，則、、的大小關系是　　　。 12．若方程有解，則實數的取值范圍是　　　　?。? 13．已知奇函數的定義域為，且對任意正實數，恒有，則一定有（ D ） A． B． C． D． 14．若f(n)為n2＋1(n∈N*)的各位數字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，則f(14)＝17；記f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，則f2020(8)＝ （ A ） A．11 B．8 C．6 D．5 15．在計算機的算法語言中有一種函數叫做取整函數（也稱高斯函數），它表示的整數部分，即[]是不超過的最大整數．例如：．設函數，則函數的值域為 （ ） A． B． C． D． 16、已知：函數． （I）證明：與的交點必在在直線y＝x上． （II）是否存在一對反函數圖象的交點不一定在直線y＝x上，若存在，請舉例說明；若不存，請說明理由． （III）研究（I）和（II），能否得出一般性的結論，并進行證明． 17．已知，且三次方程有三個實根． （1）類比一元二次方程根與系數的關系，寫出此方程根與系數的關系； （2）若均大于零，試證明：都大于零； （3）若，在處取得極值且，試求此方程三個根兩兩不等時的取值范圍． 18．已知函數f(x)定義域為[0，1]，且同時滿足 （1）對于任意x∈[0，1]，且同時滿足； （2）f(1)＝4； （3）若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，則有 f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－3． （Ⅰ）試求f(0)的值； （Ⅱ）試求函數f(x)的最大值； （Ⅲ）設數列{an}的前n項和為Sn，滿足a1＝1，Sn＝(an－3)，n∈N*． 求證：f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)< log3． 19．已知函數． (1)若，證明： (2)若證明： (3)對于任意的問以的值為邊長的三條線段是否可構成三角形?并說明理由． 二、函 數 1、 2、21 3、C 4、非奇非偶 5、 6、 7、 8、 9、 10、（-3,1） 11、 12、 13，D 14、A 15、B 16、分析：問題（I）易于解答，而問題（II）解答必須認真思考的性質，從性質的差異去尋求特例．問題（III）的證明著眼于函數單調性的差異解答． 解答：（I）與其反函數的交點坐標為（－1，－1），∴與的交點必在在直線y＝x上． （II）與其反函數的交點坐標為（），（－1，0），（0，－1），∴原函數圖象與其反函數圖象的交點不一定在直線y＝x上． （III）研究（I）和（II）能得出：如果函數是增函數，并且的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點一定在直線上； 如果函數是減函數，并且的圖象與其反函數的圖象有交點， 則交點不一定在直線y＝x上． 證明：設點（a，b）是的圖象與其反函數圖象的任一交點，由于原函數與反函數圖象關于直線y＝x對稱，則點（b，a）也是的圖象與其反函數圖象的交點，且有 若a＝b時，交點顯然在直線上． 若a<b，且是增函數時，有，從而有b<a，矛盾；若b<a且是增函數時，有，從而有a<b，矛盾． 若a<b，且是減函數，有，從而a<b成立，此時交點不在直線y＝x上；同理，b<a且是減函數時，交點也不在直線y＝x上． 綜上所述，如果函數是增函數，并且的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點一定在直線上； 如果函數是減函數，并且的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點不一定在直線y＝x上． 說明：試題緊扣江蘇新考綱，突顯解決問題的探索性和研究性．試題難度較大． 17． 分析：（1）聯想二次方程根與系數關系，寫出三次方程的根與系數．（2）利用（1）的結論進行證明；（3）三次函數的問題往往都轉化為二次方程來研究． 解：（1）由已知，得，比較兩邊系數，得． （2）由，得三數中或全為正數或一正二負． 若為一正二負，不妨設由，得，則． 又＝，這與矛盾，所以全為正數． （3）令，要有三個不等的實數根，則函數有一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0． 由已知，得有兩個不等的實根， ，，由（1）（3），得． 又，，將代入（1）（3），得． ，則，且在處取得極大值，在處取得極小值， 故要有三個不等的實數根，則必須得． 18． 分析：（Ⅰ）令x＝y＝0賦值法和不等號的性質求f(0)的值；（Ⅱ）證明函數f(x)在[0，1]上的單調性求f(x)的最大值；（Ⅲ）先根據條件求數列{an}的通項公式，利用條件f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－3放大f()，再利用求和的方法將f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)放大，證明不等式成立． 解答：（Ⅰ）令x1＝x2＝0，則有f(0)≥2f(0)－3，即f(0)≤3． 又對任意x∈[0，1]，總有f(x)≥3，所以f(0)＝3． （Ⅱ）任取x1，x2∈[0，1]，x1<x2， f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]≥f(x1)＋f(x2－x1)－3． 因為0<x2－x1≤1， ∴f(x2－x1)≥3． ∴f(x2)≥f(x1)＋3－3＝f(x1)． ∴當x∈[0，1]時，f(x)≤f(1)＝4，所以函數f(x) 的最大值為4． （Ⅲ）當n>1時，an＝Sn―Sn－1＝(an－3) ―（an－1―3），∴＝． ∴數列{an}是以a1＝1為首項，公比為的等比數列． an＝1×()n－1＝， f(1)＝f[3n－1·]＝f[＋(3n－1－1)×] ≥f()＋f[(3n－1－1)]－3≥…… 4≥3n－1f()－3n＋3． ∴f()≤＝3＋，即f(an)≤3＋． ∴f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)≤(3＋)＋(3＋)＋…＋(3＋) ＝3n＋＝3n＋－<3n＋＝3（n＋）． 又log3＝log333·32n－2＝(2n＋1)＝3(n＋)， ∴原不等式成立．． 19． 解：(1)． ， 同理， 故得 (2) 由(1)知， ，由以上個式子相加得 (3)設以的值為邊長的線段可以構成三角形，事實上因為，所以 顯然當時，，即在上是增函數， 在處取得最小值，在處取得最大值． 不妨設，則， 而 因此以的值為邊長的三條線段可以構成三角形．