《遼寧省沈陽市2020學年高中數學暑假作業(yè) 集合、函數、基本初等函數 2 函數的基本概念》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《遼寧省沈陽市2020學年高中數學暑假作業(yè) 集合、函數、基本初等函數 2 函數的基本概念(9頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、二、函數的基本概念
一.選擇題(共12小題)
1.已知函數f(x)=,則f(x)的值域是( ?。?
A.[1,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞)
2.若函數y=f(x)的圖象如圖所示,則函數y=f(1﹣x)的圖象大致為( )
A. B. C. D.
3.為了得到函數的圖象,只需把函數y=log2x的圖象上所有的點( ?。?
A.向左平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度
B.向右平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度
C.向左平移1個單位長度,再向下平移2個單位長度
D.向右平移1個單位長度,再向下平移2個單位長度
4.已知函數
2、f(x)滿足:①對任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;②當x∈(1,2]時,f(x)=2﹣x.若f(a)=f(2020),則滿足條件的最小的正實數a的值為( ?。?
A.28 B.34 C.36 D.100
5.定義新運算⊕:當a≥b時,a⊕b=a;當a<b時,a⊕b=b2,則函數f(x)=(1⊕x)x﹣(2⊕x),x∈[﹣2,2]的最大值等于( ?。?
A.﹣1 B.1 C.6 D.12
6.設x取實數,則f(x)與g(x)表示同一個函數的是( ?。?
A. B.
C.f(x)=1,g(x)=(x﹣1)0 D.
7.已知函數,關于f(x)的性質,有以下四個推斷:
3、①f(x)的定義域是(﹣∞,+∞); ②f(x)的值域是;
③f(x)是奇函數; ④f(x)是區(qū)間(0,2)上的增函數.
其中推斷正確的個數是( ?。?
A.1 B.2 C.3 D.4
8.若函數f(x)=的值域為實數集R,則f(2)的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣) B.(﹣∞,﹣) C.[﹣,+∞) D.[﹣,﹣)
9.函數f(x)=的值域是( ?。?
A.[﹣,] B.[﹣,0] C.[0,] D.[0,1]
10.若函數f(x)=(a>0,且a≠1)的值域為(﹣∞,+∞),則實數a的取值范圍是( ?。?
A.(3,+∞)
4、B.(0,] C.(1,3) D.[,1)
11.已知f(c)=(c﹣a)(c﹣b),其中a+b=1﹣c且c≥0,a≥0,b≥0.則f(c)的取值范圍為( )
A.[﹣,1] B.[0,1] C.[0,] D.[﹣,1]
12.定義區(qū)間[x1,x2]的長度為x2﹣x1(x2>x1)單調遞增),函數(a∈R,a≠0)的定義域與值域都是[m,n](n>m),則區(qū)間[m,n]取最大長度時實數a的值( ?。?
A. B.﹣3 C.1 D.3
二.填空題(共4小題)
13.函數的定義域是 (用區(qū)間表示).
14.已知函數對定義域內的任意x的值都有﹣1≤f(x)≤4,則a的取值范圍為
5、 ?。?
15.已知函數f(x)=2x+1與函數y=g(x)的圖象關于直線x=2成軸對稱圖形,則函數y=g(x)的解析式為 ?。?
16.若函數(a,b,c∈R)的定義域和值域分別為集合A,B,且集合{(x,y)|x∈A,y∈B}表示的平面區(qū)域是邊長為1的正方形,則b+c的最大值為 .
三.解答題(共2小題)
17.已知函數f(x)=x2﹣4ax+2a+6(a∈R).
(1)若函數的值域為[0,+∞),求a的值;
(2)若函數值為非負數,求函數f(a)=2﹣a|a+3|的值域.
18.已知函數f(x)=是定義域為(﹣1,1)上的奇函數,且.
(1
6、)求f(x)的解析式;
(2)用定義證明:f(x)在(﹣1,1)上是增函數;
(3)若實數t滿足f(2t﹣1)+f(t﹣1)<0,求實數t的范圍.
答案:
二、函數的概念
選擇題(共12小題)
1.【解答】解:由f(x)=,知
當x≤1時,x2≥0;當x>1時,x+﹣3≥2﹣3=4﹣3=1,當且僅當x=,即x=2時取“=”,取并集得:f(x)的值域是[0,+∞).故選:B.
2.【解答】解:因為從函數y=f(x)到函數y=f(1﹣x)的平移變換規(guī)律是:先關于y軸對稱得到y(tǒng)=f(﹣x),再整體向右平移1個單位即可得到.
即圖象變換
7、規(guī)律是:①→②.
故選:A.
3.【解答】解:∵函數=log2(x+1)﹣log24=log2(x+1)﹣2,
故其圖象可由函數y=log2x的圖象向左平移1個單位長度,再向下平移2個長度單位得到,故選C.
4.【解答】解:取x∈(2m,2m+1),則∈(1,2];f()=2﹣,從而f(x)=2f()=…=2mf()=2m+1﹣x,其中,m=0,1,2,…,
f(2020)=210f()=211﹣2020=28=f(a),
設a∈(2m,2m+1)則f(a)=2m+1﹣a=28,∴a=2m+1﹣28∈(2m,2m+1),
即m≥5,a≥36,∴滿足條件的最小的正實數a是36.故
8、選:C.
5.【解答】解:由題意知當﹣2≤x≤1時,f(x)=x﹣2,當1<x≤2時,f(x)=x3﹣2,又∵f(x)=x﹣2,f(x)=x3﹣2在定義域上都為增函數,∴f(x)的最大值為f(2)=23﹣2=6.故選C.
6.【解答】解:對于A,f(x)=x2(x∈R),與g(x)==|x|(x∈R)的對應關系不同,所以不是同一函數;對于B,f(x)==1(x>0),與g(x)==1(x>0)的定義域相同,對應關系也相同,所以是同一函數;
對于C,f(x)=1(x∈R),與g(x)=(x﹣1)0=1(x≠1)的定義域不同,所以不是同一函數;對于D,f(x)==x﹣3(x≠﹣3),與g(x
9、)=x﹣3(x∈R)的定義域不同,所以不是同一函數.故選:B.
7.【解答】解:①∵函數,∴f(x)的定義域是(﹣∞,+∞),故①正確; ②f(x)=,x>0時:f(x)≤,
x<0時:f(x)≥﹣,故f(x)的值域是,故②正確;
③f(﹣x)=﹣f(x),f(x)是奇函數,故③正確;
④由f′(x)=,令f′(x)>0,解得:﹣1<x<1,
令f′(x)<0,解得:x>1或x<﹣1,∴f(x)在區(qū)間(0,2)上先增后減,
故④錯誤;故選:C.
8.【解答】解:由f(x)=作出函數圖象如圖,
由圖象可知,0<a<1且,即.
又f(2)=,
∴f(2)∈[﹣,
10、﹣).故選:D.
9.【解答】解:由得,則﹣1≤x≤1,即函數的定義域為[﹣1,1],設x=sinα,則函數f(x)等價為y==,
設P(sinα,|cosα|),則點P在單位圓x2+y2=1的上半部分,
則的幾何意義是圓上點到點A(2,1)的斜率,
由圖象知AB的斜率最小,此時k=0,
AC的斜率最大,此時k==1,故0≤k≤1,
故函數f(x)的值域是[0,1],故選:D
10.【解答】解:①若a>3,x<0時,0<f(x)<1,x≥0時,f(x)≥4a,此時不滿足f(x)的值域為(﹣∞,+∞);
②若a=3,顯然不成立;③若1<a<3,x<0時,0<f(x)<1,x
11、≥0時,f(x)≤4a,不滿足值域(﹣∞,+∞);
④若0<a<1,x<0時,f(x)>1,x≥0時,f(x)≤4a;
要使f(x)的值域為(﹣∞,+∞),則:4a≥1;
∴;∴實數a的取值范圍是.故選D
11.【解答】解:f(c)=(c﹣a)(c﹣b)=c2﹣(a+b)c+ab
≥c2﹣c(a+b)=c2﹣c(1﹣c)=,
當c=,a=0,b=時,f(c)=,∴f(c)的最小值為﹣;
又f(c)=c2﹣(1﹣c)c+ab
==
=,由0≤c=1﹣a﹣b≤1,得當c=1時,f(c)有最大值為1.
∴f(c)的取值范圍為[].故選:A.
12.【解答】解:由題意得,函數f
12、(x)的定義域是{x|x≠0},
∵[m,n]是其定義域的子集,∴[m,n]?(﹣∞,0)或(0,+∞).
∵f(x)=在[m,n]上是增函數,
∴由條件得,則m,n是方程f(x)=x的同號相異的實數根,
即m,n是方程(ax)2﹣(a2+a)x+1=0同號相異的實數根.
∴mn=,m+n==,
則△=(a2+a)2﹣4a2>0,解得a>1或a<﹣3.
∴n﹣m===
=,
∴n﹣m的最大值為,此時,解得a=3,
即在區(qū)間[m,n]的最大長度為時,a的值是3.
故選D..
二.填空題(共4小題)
13.【解答】解:要使原函數有意義,則,解得:x>1,且x≠3.
∴函
13、數的定義域是(1,3)∪(3,+∞).
故答案為:(1,3)∪(3,+∞).
14.【解答】解:根據題意得:
恒成立,所以恒成立
所以解得﹣4≤a≤4故答案為[﹣4,4].
15.【解答】解:設g(x)的圖象上的任一點P(x,y),且P關于直線x=2的對稱點P′(x′,y′),則,解得 ,
∵點P′在函數y=2x 的圖象上,∴y=2(4﹣x)+1=﹣2x+9,
即C′所對應的函數解析式為y=﹣2x+9,故答案為:y=﹣2x+9
16.【解答】解:由題可知,a<0,b2﹣4ac>0,則,,
因為{(x,y)|x∈A,y∈B}表示的平面區(qū)域是邊長為1的正方形,所以,
可得a=
14、﹣4,b2+16c=16,,所以,當b=8時有最大值5.故答案為5.
三.解答題(共2小題)
17【解答】解:(1)∵函數的值域為[0,+∞),
即二次函數f(x)=x2﹣4ax+2a+6圖象不在x軸下方,
∴△=0,即16a2﹣4(2a+6)=0,∴2a2﹣a﹣3=0,
解得a=﹣1或a=;(2)由(1)知,對一切x∈R函數值均為非負數,
∴△≤0,即﹣1≤a≤;∴a+3>0;
∵f(a)=2﹣a|a+3|=﹣a2﹣3a+2=﹣2+,其中 ;
∴二次函數f(a)在上單調遞減.
∴f≤f(a)≤f(﹣1),即﹣≤f(a)≤4,∴f(a)的值域為.
18.【解答】解:(1
15、)函數f(x)=是定義域為(﹣1,1)上的奇函數,
∴f(0)=0,∴b=0;…(3分)又f(1)=,∴a=1;…(5分)
∴…(5分)
(2)設﹣1<x1<x2<1,則x2﹣x1>0,
于是f(x2)﹣f(x1)=﹣=,
又因為﹣1<x1<x2<1,則1﹣x1x2>0,,,
∴f(x2)﹣f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
∴函數f(x)在(﹣1,1)上是增函數;
(3)f(2t﹣1)+f(t﹣1)<0,∴f(2t﹣1)<﹣f(t﹣1); …(6分)
又由已知函數f(x)是(﹣1,1)上的奇函數,∴f(﹣t)=﹣f(t)…(8分)
∴f(2t﹣1)<f(1﹣t)…(3分)
由(2)可知:f(x)是(﹣1,1)上的增函數,…(10分)
∴2t﹣1<1﹣t,t<,又由﹣1<2t﹣1<1和﹣1<1﹣t<1得0<t<
綜上得:0<t<…(13分)