五、函數(shù)的性質(zhì)二 一．選擇題（共12小題） 1．已知奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），則a，b，c的大小關(guān)系為（　?。? A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 2．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）內(nèi)有解，則y=f（x）的圖象是（　?。? A． B． C． D． 3．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=ex+m（m為常數(shù)），則f（m）=（　?。? A．e﹣1 B．1﹣e C． D． 4．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（）且當(dāng)x∈[，1]時(shí)，f（x）=lnx，若當(dāng)x∈[]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax與x軸有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．[﹣，0] B．[﹣πl(wèi)nπ，0] C．[﹣，] D．[﹣，﹣] 5．定義新運(yùn)算⊕：當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b=a；當(dāng)a＜b時(shí)，a⊕b=b2，則函數(shù)f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（　?。? A．﹣1 B．1 C．6 D．12 6．設(shè)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x+2x+b（b為常數(shù)），則f（﹣1）=（　?。? A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 7．記max{x，y}=，若f（x），g（x）均是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，定義函數(shù)h（x）=max{f（x），g（x）}，則下列命題正確的是（　?。? A．若f（x），g（x）都是單調(diào)函數(shù)，則h（x）也是單調(diào)函數(shù) B．若f（x），g（x）都是奇函數(shù)，則h（x）也是奇函數(shù) C．若f（x），g（x）都是偶函數(shù)，則h（x）也是偶函數(shù) D．若f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則h（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) 8．已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則以下結(jié)論正確的是（　　） A．函數(shù)|f（x）|為偶函數(shù)，且在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增 B．函數(shù)|f（x）|為奇函數(shù)，且在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增 C．函數(shù)f（|x|）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增 D．函數(shù)f（|x|）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增 9．已知函數(shù)f（x）在（﹣∞，2]為增函數(shù)，且f（x+2）是R上的偶函數(shù)，若f（a）≤f（3），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥3 C．1≤a≤3 D．a(chǎn)≤1或a≥3 10．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，定義在R上的奇函數(shù)g（x）=f（x﹣1），則f（2020）+f（2020）的值為（　?。? A．﹣1 B．1 C．0 D．無法計(jì)算 11．若函數(shù)在區(qū)間[﹣k，k]（k＞0）上的值域?yàn)閇m，n]，則m+n等于（　?。? A．0 B．2 C．4 D．6 12．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意兩個(gè)正數(shù)x1，x2（x1＜x2）都有x2f（x1）＞x1f（x2），記a=f（2），b=f（1），c=﹣f（﹣3），則a，b，c之間的大小關(guān)系為（　　） A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞b 　 二．填空題（共4小題） 13．已知函數(shù)?（2x）的定義域?yàn)閇﹣1，1]，則函數(shù)y=?（log2x）的定義域?yàn)椤? ?。? 14．設(shè)函數(shù)，若f（x）在區(qū)間[m，4]上的值域?yàn)閇﹣1，2]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為　 　． 15．函數(shù)f（x）=loga（x+28）﹣3（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x0，函數(shù)g（x）=a+4的圖象恒過定點(diǎn)B，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為　 ?。? 16．函數(shù)f（x）=log（x2+3x﹣4）的單調(diào)遞增區(qū)間為　 　． 三．解答題（共2小題） 17．已知定義在區(qū)間（﹣1，1）上的函數(shù)為奇函數(shù)，且． （1）求實(shí)數(shù)a，b的值； （2）用定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數(shù)； （3）解關(guān)于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0． 18．已知函數(shù)是奇函數(shù)． （1）求a的值； （2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明； （3）求函數(shù)的值域． 　 　 答案： 五、　函數(shù)的性質(zhì)二 選擇題（共12小題） 1．【解答】解：奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)， ∴a=﹣f（）=f（log25），b=f（log24.1）， c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25， ∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故選：C． 2．【解答】解：A：與直線y=2的交點(diǎn)是（0，2），不符合題意，故不正確； B：與直線y=2的無交點(diǎn)，不符合題意，故不正確； C：與直線y=2的在區(qū)間（0，+∞）上有交點(diǎn)，不符合題意，故不正確； D：與直線y=2在（﹣∞，0）上有交點(diǎn)，故正確．故選D． 3．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則有f（0）=0， 又由當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=ex+m，則有f（0）=e0+m=1+m=0，解可得m=﹣1， 即當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=ex﹣1，f（m）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（e1﹣1）=1﹣e； 故選：B． 4．【解答】解：設(shè)x∈[1，π]， 則∈[，1]，因?yàn)閒（x）=f（）且當(dāng)x∈[，1]時(shí)， f（x）=lnx，所以f（x）=f（）=ln=﹣lnx， 則f（x）=， 在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖象如圖： 因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）﹣ax與x軸有交點(diǎn)， 所以直線y=ax與函數(shù)f（x）的圖象有交點(diǎn)， 由圖得，直線y=ax與y=f（x）的圖象相交于點(diǎn)（，﹣lnπ）， 即有﹣lnπ=，解得a=﹣πl(wèi)nπ． 由圖象可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[﹣πl(wèi)nπ，0]故選：B． 　 5．【解答】解：由題意知 當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，f（x）=x﹣2，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）=x3﹣2， 又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定義域上都為增函數(shù)，∴f（x）的最大值為f（2）=23﹣2=6．故選C． 6．【解答】解：因?yàn)閒（x）為定義在R上的奇函數(shù)， 所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x+2x﹣1， 又因?yàn)閒（x）為定義在R上的奇函數(shù)，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故選D． 7．【解答】解：對于A，如f（x）=x，g（x）=﹣2x都是R上的單調(diào)函數(shù)， 而h（x）=不是定義域R上的單調(diào)函數(shù)，命題A錯(cuò)誤； 對于B，如f（x）=x，g（x）=﹣2x都是R上的奇函數(shù)， 而h（x）=不是定義域R上的奇函數(shù)，命題B錯(cuò)誤； 對于C，當(dāng)f（x）、g（x）都是定義域R上的偶函數(shù)時(shí)， h（x）=man{f（x），g（x）}也是定義域R上的偶函數(shù)，命題C正確； 對于D，如f（x）=sinx是定義域R上的奇函數(shù)，g（x）=x2+2是定義域R上的偶函數(shù)，而h（x）=g（x）=x2+2是定義域R上的偶函數(shù)，命題D錯(cuò)誤． 故選：C． 8．【解答】解：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增， 不妨令f（x）=x，則|f（x）|=|x|，f（|x|）=|x|； ∴函數(shù)|f（x）|為偶函數(shù)，且在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，∴命題A、B錯(cuò)誤； 函數(shù)f（|x|）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴命題C錯(cuò)誤、D正確． 故選：D．　 9【解答】解：∵f（x+2）是R上的偶函數(shù)，∴f（x+2）=f（﹣x+2） ∴f（x）圖象的對稱軸為x=2， ∵f（x）在（﹣∞，2]上是增函數(shù)，∴f（x）在（2，+∞）上是減函數(shù)， ∵f（a）≤f（3），且f（3）=f（1），∴a≤1或a≥3，故選D．　 10．【解答】解：∵f（﹣x﹣1）=g（﹣x）=﹣g（x）=﹣f（x﹣1），又f（x）為偶函數(shù)∴f（x+1）=f[﹣（x+1）]=f（﹣x﹣1），于是f（x+1）=﹣f（x﹣1） ∴f（x+1）+f（x﹣1）=0．∴f（2020）+f（2020）=f（2020﹣1）+f（2020+1）=0故選C 11．【解答】解：∵， ∴f（﹣x）=3+=3﹣， ∴f（x）+f（﹣x）=6．① 又f（x）在區(qū)間[﹣k，k]（k＞0）上的值域?yàn)閇m，n]， 即無論k取什么樣的正實(shí)數(shù)都應(yīng)有最大值與最小值的和是一個(gè)確定的值， 故可令k=1，由于函數(shù)在區(qū)間[﹣k，k]（k＞0）上是一個(gè)增函數(shù)，故m+n=f（k）+f（﹣k） 由①知，m+n=f（k）+f（﹣k）=6．故選：D．　 12．【解答】解：函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)， 且對任意兩個(gè)正數(shù)x1，x2（x1＜x2），都有x2f（x1）＞x1f（x2）， ∴＞； 設(shè)g（x）=，g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)； 又a=f（2）=，b=f（1）=，c=﹣f（﹣3）=f（3）=， ∴g（1）＞g（2）＞g（3），即b＞a＞c．故選：B． 二．填空題（共4小題） 13．【解答】解：∵函數(shù)?（2x）的定義域?yàn)閇﹣1，1]， ∴﹣1≤x≤1，∴．∴在函數(shù)y=?（log2x）中，， ∴．故答案為：[]． 14．【解答】解：函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，結(jié)合圖象易得 當(dāng)m∈[﹣8，﹣1]時(shí)，f（x）∈[﹣1，2]．故答案為：[﹣8，﹣1]． 　 15．【解答】解：∵y=logax恒過定點(diǎn)（1，0），則函數(shù)f（x）=loga（x+28）﹣3（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（﹣27，﹣3）， ∴x0=﹣27，又y=ax恒過定點(diǎn)（0，1），則函數(shù)g（x）=a+4=ax+27+4的圖象恒過定點(diǎn)B（﹣27，5）．故答案為：（﹣27，5）．　 16． 【解答】解：令t=x2+3x﹣4＞0，求得x＜﹣4，或x＞1，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＜﹣4，或x＞1}，且f（x）=logt，故本題即求函數(shù)t在定義域內(nèi)的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t在定義域內(nèi)的減區(qū)間為 （﹣∞，﹣4），故答案為：（﹣∞，﹣4）．　 三． 解答題（共2小題） 17．【解答】解：（1）∵為奇函數(shù)，且 ∴，解得：a=1，b=0．∴ （2）證明：在區(qū)間（﹣1，1）上任取x1，x2，令﹣1＜x1＜x2＜1，= ∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，（1+x12）＞0，（1+x22）＞0 ∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）故函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數(shù)．（3）∵f（t﹣1）+f（t）＜0∴f（t）＜﹣f（t﹣1）=f（1﹣t） ∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是增函數(shù) ∴∴故關(guān)于t的不等式的解集為． 18．【解答】解：（1）f（x）的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，∴f（0）=0， ∴a=1（2）由（1）知，所以f（x）為增函數(shù) 證明：任取x1＜x2∈Rf（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=∵x1＜x2∈R∴ ∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）為R上的增函數(shù)． （3）令則而2x＞0∴ ∴﹣1＜y＜1所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ī?，1）