第2章 2.3 第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì) 一、選擇題 1．在等比數(shù)列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，則a8＋a9等于(　　) A．90　　　　　　　　 B．30 C．70 D．40 [答案]　D [解析]　∵q2＝＝2， ∴a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40. 2．等比數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù)，且3是a5和a6的等比中項(xiàng)，則a1·a2·…·a10＝(　　) A．39 B．310 C．311 D．312 [答案]　B [解析]　由已知，得a5a6＝9， ∴a1·a10＝a2·a9＝a3·a8＝a4·a7＝a5·a6＝9， ∴a1·a2·…·a10＝95＝310. 3．在等比數(shù)列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，則的值為(　　) A．9 B．1 C．2 D．3 [答案]　D [解析]　a3a5a7a9a11＝aq30＝243， ∴＝＝a1q6＝＝3. 4．已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 [答案]　C [解析]　∵a3a11＝a＝4a7，∵a7≠0， ∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}為等差數(shù)列， ∴b5＋b9＝2b7＝8. 5．在等比數(shù)列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，則等于(　　) A. B. C. D．6 [答案]　A [解析]　∵， 解得或. 又∵an>an＋1，∴a4＝3，a14＝2.∴＝＝. 6．(2020·湖北文)已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則＝(　　) A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 [答案]　C [解析]　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∵a1，a3,2a2成等差數(shù)列， ∴a3＝a1＋2a2， ∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0， ∴q＝1±，∵各項(xiàng)都是正數(shù)， ∴q>0，∴q＝1＋， ∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2. 二、填空題 7．等比數(shù)列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，則a4＋a5等于________． [答案]　27 [解析]　由題意，得a1＋a2＝1，a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝9， ∴q2＝9，又an>0，∴q＝3. 故a4＋a5＝(a3＋a4)q＝9×3＝27. 8．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－，則等于________． [答案]　－3 [解析]?。? ＝＝－3. 三、解答題 9．在等比數(shù)列{an}中，已知a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比為整數(shù)，求a10. [解析]　∵a4·a7＝a3·a8＝－512， ∴， 解得或. 又公比為整數(shù)， ∴a3＝－4，a8＝128，q＝－2. ∴a10＝a3·q7＝(－4)×(－2)7＝512. 10．等差數(shù)列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比數(shù)列．求數(shù)列{an}前20項(xiàng)的和S20. [解析]　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d. 由a3，a6，a10成等比數(shù)列得a3a10＝a， 即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2， 整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1. 當(dāng)d＝0時(shí)，S20＝20a4＝200， 當(dāng)d＝1時(shí)，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7， 于是，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330. 能力提升 一、選擇題 1．已知公差不為零的等差數(shù)列的第k、n、p項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，則等比數(shù)列的公比為(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d，則 q＝＝＝ ＝＝＝. 2．如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，那么(　　) A．?dāng)?shù)列{a}是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{2an}是等比數(shù)列 C．?dāng)?shù)列{lgan}是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{nan}是等比數(shù)列 [答案]　A [解析]　設(shè)bn＝a，則＝＝()2＝q2， ∴{bn}成等比數(shù)列；＝2an＋1－an≠常數(shù)； 當(dāng)an<0時(shí)，lgan無(wú)意義，設(shè)cn＝nan 則＝＝q≠常數(shù)． 二、填空題 3．在3和一個(gè)未知數(shù)間填上一個(gè)數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項(xiàng)減去6，則成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是__________． [答案]　3或27 [解析]　設(shè)此三數(shù)為3，a，b 則， 解得，或. ∴這個(gè)未知數(shù)為3或27. 4．一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒的大小為2 KB，它每3s自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的兩倍，則內(nèi)存為64 MB(1 MB＝210KB)的計(jì)算機(jī)開(kāi)機(jī)后經(jīng)過(guò)________s，內(nèi)存被占完． [答案]　45 [解析]　計(jì)算機(jī)病毒每次復(fù)制后的大小組成等比數(shù)列{an}，且a1＝2×2＝4，q＝2，則an＝4·2n－1，令4·2n－1＝64×210，得n＝15，即復(fù)制15次，共用45 s. 三、解答題 5．設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}為一個(gè)等比數(shù)列，且a2＝4，a4＝16，求lgan＋1＋lgan＋2＋…＋lga2n. [解析]　由a2＝4，a4＝16，得a1＝2，q＝2，∴an＝2n. ∴l(xiāng)gan＋1＋lgan＋2＋…＋lga2n＝ lg(an＋1·an＋2·…·a2n)＝lg2(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n ＝lg2＝(3n2＋n)lg2. 6．已知a1＝2，點(diǎn)(an，an＋1)在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，其中n＝1,2,3，…. (1)證明數(shù)列{lg(1＋an)}是等比數(shù)列； (2)求an的通項(xiàng)公式． [解析]　(1)由已知得an＋1＝a＋2an， ∴an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2 ∵a1＝2，∴an＋1＋1＝(an＋1)2>0， ∴l(xiāng)g(1＋an＋1)＝2lg(1＋an) 即＝2，且lg(1＋a1)＝lg3 ∴{lg(1＋an)}是首項(xiàng)為lg3，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)知，lg(1＋an)＝2n－1·lg3＝lg32n－1 ∴1＋an＝32n－1 ∴an＝32n－1－1. 7．容積為a L(a>1)的容器盛滿酒精后倒出1 L，然后加滿水，混合溶液后再倒出1 L，又用水加滿，如此繼續(xù)下去，問(wèn)第n次操作后溶液的濃度是多少？若a＝2，至少應(yīng)倒出幾次后才可以使酒精濃度低于10%. [解析]　開(kāi)始的濃度為1，操作一次后溶液的濃度是a1＝1－.設(shè)操作n次后溶液的濃度是an，則操作n＋1次后溶液的濃度是an＋1＝an(1－)．所以{an}構(gòu)成以a1＝1－為首項(xiàng)，q＝1－為公比的等比數(shù)列．所以an＝a1qn－1＝(1－)n，即第n次操作后溶液的濃度是(1－)n.當(dāng)a＝2時(shí)，由an＝()n<，得n≥4.因此，至少應(yīng)倒4次后才可以使酒精濃度低于10%.