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高中數(shù)學(xué) 2、2-1-1-1第1課時(shí) 歸納推理同步檢測(cè) 新人教版選修2-2

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1、選修2-2 2.1.1 第1課時(shí) 歸納推理 一、選擇題 1.關(guān)于歸納推理,下列說法正確的是(  ) A.歸納推理是一般到一般的推理 B.歸納推理是一般到個(gè)別的推理 C.歸納推理的結(jié)論一定是正確的 D.歸納推理的結(jié)論是或然性的 [答案] D [解析] 歸納推理是由特殊到一般的推理,其結(jié)論的正確性不一定.故應(yīng)選D. 2.下列推理是歸納推理的是(  ) A.A,B為定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓 B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C.由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜出橢圓+

2、=1的面積S=πab D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 [答案] B [解析] 由歸納推理的定義知B是歸納推理,故應(yīng)選B. 3.?dāng)?shù)列{an}:2,5,11,20,x,47,…中的x等于(  ) A.28          B.32 C.33 D.27 [答案] B [解析] 因?yàn)?-2=3×1,11-5=6=3×2,20-11=9=3×3,猜測(cè)x-20=3×4,47-x=3×5,推知x=32.故應(yīng)選B. 4.在數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,則猜想an是(  ) A.2n-2- B.2n-2 C.2n-1+1 D.2n+1-4 [答案] B

3、[解析] ∵a1=0=21-2, ∴a2=2a1+2=2=22-2, a3=2a2+2=4+2=6=23-2, a4=2a3+2=12+2=14=24-2, …… 猜想an=2n-2. 故應(yīng)選B. 5.某人為了觀看2020年奧運(yùn)會(huì),從2020年起,每年5月10日到銀行存入a元定期儲(chǔ)蓄,若年利率為p且保持不變,并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期,到2020年將所有的存款及利息全部取回,則可取回的錢的總數(shù)(元)為(  ) A.a(chǎn)(1+p)7 B.a(chǎn)(1+p)8 C.[(1+p)7-(1+p)] D.[(1+p)8-(1+p)] [答案] D [解析] 到2020年5

4、月10日存款及利息為a(1+p). 到2020年5月10日存款及利息為 a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)] 到2020年5月10日存款及利息為 a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p) =a[(1+p)3+(1+p)2+(1+p)] …… 所以到2020年5月10日存款及利息為 a[(1+p)7+(1+p)6+…+(1+p)] =a =[(1+p)8-(1+p)]. 故應(yīng)選D. 6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通過計(jì)算a2,a3,a4,猜想an等于(  ) A. B. C. D.

5、 [答案] B [解析] 因?yàn)镾n=n2an,a1=1, 所以S2=4a2=a1+a2?a2==, S3=9a3=a1+a2+a3?a3===, S4=16a4=a1+a2+a3+a4 ?a4===. 所以猜想an=,故應(yīng)選B. 7.n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列下表: 根據(jù)規(guī)律,從2020到2020箭頭的方向依次為(  ) A.↓→ B.→↑ C.↑→ D.→↓ [答案] C [解析] 觀察特例的規(guī)律知:位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列,由234可知從2020到2020為↑→,故應(yīng)選C. 8.(2020·山東文,10)觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x

6、3,(cosx)′=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=(  ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) [答案] D [解析] 本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內(nèi)容,由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù), ∴g(-x)=-g(x),選D,體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生觀察能力,概括歸納推理的能力的考查. 9.根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123456×9+7等于(  ) 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 12345×9+6=1

7、11111 … A.1111110 B.1111111 C.1111112 D.1111113 [答案] B [解析] 根據(jù)規(guī)律應(yīng)為7個(gè)1,故應(yīng)選B. 10.把1、3、6、10、15、21、…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形(如下圖), 試求第七個(gè)三角形數(shù)是(  ) A.27 B.28 C.29 D.30 [答案] B [解析] 觀察歸納可知第n個(gè)三角形數(shù)共有點(diǎn)數(shù):1+2+3+4+…+n=個(gè),∴第七個(gè)三角形數(shù)為=28. 二、填空題 11.觀察下列由火柴桿拼成的一列圖形中,第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成: 通過觀察可以發(fā)現(xiàn):第

8、4個(gè)圖形中,火柴桿有________根;第n個(gè)圖形中,火柴桿有________根. [答案] 13,3n+1 [解析] 第一個(gè)圖形有4根,第2個(gè)圖形有7根,第3個(gè)圖形有10根,第4個(gè)圖形有13根……猜想第n個(gè)圖形有3n+1根. 12.從1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中,可得一般規(guī)律是__________________. [答案] n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 [解析] 第1式有1個(gè)數(shù),第2式有3個(gè)數(shù)相加,第3式有5個(gè)數(shù)相加,故猜想第n個(gè)式子有2n-1個(gè)數(shù)相加,且第n個(gè)式子的第一個(gè)加數(shù)為n,每數(shù)增加1,共有2n-1個(gè)數(shù)相加,故第n

9、個(gè)式子為: n+(n+1)+(n+2)+…+{n+[(2n-1)-1]} =(2n-1)2, 即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 13.觀察下圖中各正方形圖案,每條邊上有n(n≥2)個(gè)圓圈,每個(gè)圖案中圓圈的總數(shù)是S,按此規(guī)律推出S與n的關(guān)系式為________. [答案] S=4(n-1)(n≥2) [解析] 每條邊上有2個(gè)圓圈時(shí)共有S=4個(gè);每條邊上有3個(gè)圓圈時(shí),共有S=8個(gè);每條邊上有4個(gè)圓圈時(shí),共有S=12個(gè).可見每條邊上增加一個(gè)點(diǎn),則S增加4,∴S與n的關(guān)系為S=4(n-1)(n≥2). 14.(2020·浙江理,15)觀察下列等式:

10、C+C=23-2, C+C+C=27+23, C+C+C+C=211-25, C+C+C+C+C=215+27,     …… 由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論: 對(duì)于n∈N*,C+C+C+…+C=__________________. [答案] 24n-1+(-1)n22n-1 [解析] 本小題主要考查歸納推理的能力 等式右端第一項(xiàng)指數(shù)3,7,11,15,…構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)公式為an=4n-1,第二項(xiàng)指數(shù)1,3,5,7,…的通項(xiàng)公式bn=2n-1,兩項(xiàng)中間等號(hào)正、負(fù)相間出現(xiàn),∴右端=24n-1+(-1)n22n-1. 三、解答題 15.在△ABC中,不等式++≥成立, 在

11、四邊形ABCD中,不等式+++≥成立, 在五邊形ABCDE中,不等式++++≥成立,猜想在n邊形A1A2…An中,有怎樣的不等式成立? [解析] 根據(jù)已知特殊的數(shù)值:、、,…,總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律:(n≥3). ∴在n邊形A1A2…An中:++…+≥(n≥3). 16.下圖中(1)、(2)、(3)、(4)為四個(gè)平面圖.?dāng)?shù)一數(shù)每個(gè)平面圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)?多少條邊?它們圍成了多少個(gè)區(qū)域?并將結(jié)果填入下表中. 平面區(qū)域 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù) (1) (2) (3) (4) (1)觀察上表,推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)

12、域數(shù)之間有什么關(guān)系? (2)現(xiàn)已知某個(gè)平面圖有999個(gè)頂點(diǎn),且圍成了999個(gè)區(qū)域,試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)平面圖有多少條邊? [解析] 各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)如下表: 平面區(qū)域 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù) 關(guān)系 (1) 3 3 2 3+2-3=2 (2) 8 12 6 8+6-12=2 (3) 6 9 5 6+5-9=2 (4) 10 15 7 10+7-15=2 結(jié)論 V E F V+F-E=2 推廣 999 E 999 E=999+999-2 =1996 其頂點(diǎn)數(shù)V,邊數(shù)E,平面區(qū)域數(shù)F滿足關(guān)系式V+F-E=2

13、. 故可猜想此平面圖可能有1996條邊. 17.在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升,注入濃度為p%的溶液a升,攪勻后再倒出溶液a升,這叫一次操作,設(shè)第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為bn(每次注入的溶液濃度都是p%),計(jì)算b1、b2、b3,并歸納出bn的計(jì)算公式. [解析] b1==, b2==. b3= =, ∴歸納得bn=. 18.設(shè)f(n)=n2+n+41,n∈N+,計(jì)算f(1),f(2),f(3),…,f(10)的值,同時(shí)作出歸納推理,并用n=40驗(yàn)證猜想是否正確. [解析] f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151. 由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都為質(zhì)數(shù). 即:當(dāng)n取任何非負(fù)整數(shù)時(shí)f(n)=n2+n+41的值為質(zhì)數(shù). 但是當(dāng)n=40時(shí),f(40)=402+40+41=1681為合數(shù). 所以,上面由歸納推理得到的猜想不正確.

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