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1、【專題八】數(shù)形結(jié)合的思想 【考情分析】 縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。 巧妙的運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。其思想思維與方法也是高考中重點考察的思維能力之一。 【知識交匯】 1、知識要點概述 數(shù)與形是數(shù)學中和兩個最古老的，也是最基本的對象，是數(shù)學中兩個最古老、最基本的問題，是數(shù)學大廈深處的兩塊基石，數(shù)學的所有問題都是圍繞數(shù)和形的

2、提煉、演變、發(fā)展而展開的：每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述.因此，在解決數(shù)學問題時，常常根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義，而形的問題借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙機智地結(jié)合越來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決，簡言之，就是把數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合起來加以考察.這種處理數(shù)學問題的方法，稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法. 數(shù)形結(jié)合，不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思維方法，因此，它在中學數(shù)學中占有重要的地位.在高考中，充分利用選擇

3、題、填空題型的特點(這兩類題型只須寫出結(jié)果而無需寫出解答過程)，為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便，能突出考查學生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識，解答題中對數(shù)形結(jié)合思想的考查則以由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化為主. 2、解題方法指導(dǎo) 1.轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑： ①通過坐標系的建立，引入數(shù)量化靜為動，以動求解. ②轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點，把問題轉(zhuǎn)化到另一個角度來考慮.如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點間的距離等. ③構(gòu)造，比如構(gòu)造一個幾何圖形，構(gòu)造一個函數(shù)，構(gòu)造一個圖表等. 2.運用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法： ①“由形化數(shù)”：就是借助所給的圖形，仔細觀

4、察研究，揭示出圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性. ②“由數(shù)化形”：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，揭示出數(shù)與式的本質(zhì)特征. ③“數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立，又統(tǒng)一的特性，觀察圖形的的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀及揭示隱含的數(shù)量關(guān)系. 【思想方法】 一、 利用數(shù)形結(jié)合解決集合問題 【例1】 評注：對于集合中各種概念、運算的理解，直接從自然語言和符號語言上理解，往往難以搞清其本質(zhì)；若借助簡單的韋恩圖表示兩集合間的關(guān)系，可使問題變得直觀、具體，易于認清集合的特征，便于準確、快速地

5、解決問題。這就是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，顯然準確地將集合問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系是關(guān)鍵。解題時常借助韋恩圖或用數(shù)軸、簡單函數(shù)的圖像等形來集合問題，往往可以把問題中的條件直觀化、形象化，從而使原題靈活、簡捷、準確地獲解。 2. 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用 【例2】已知函數(shù) （1） 試求b,c所滿足的關(guān)系式； （2） 若b=0，方程有唯一解，求a的取值范圍； （3） 若b=1，集合，試求集合A. 【解析】x O y （1）由，得 ∴b、c所滿足的關(guān)系式為． （2）由，，可得． 方程，即，可化為， 令，則由題意可得，在上有唯一解， 令，由，可得， 當時，由，可知是增函數(shù)； 當時，由

6、，可知是減函數(shù)．故當時，取極大值． 由函數(shù)的圖象可知，當或時，方程有且僅有一個正實數(shù)解． 故所求的取值范圍是或． （3）由，，可得．由且且且 當時， ；當時，； 當時（），；當時，且； 當時，∪． 評注：函數(shù)是貫穿高中數(shù)學知識的主要內(nèi)容，它的地位和作用非常重要，數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題時尤為重要。函數(shù)的圖像是表示函數(shù)關(guān)系的方式之一，它是從“形”的方面來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律，形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖像來解決代數(shù)問題，有利于培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)

7、化聯(lián)想能力、觀察能力，如利用某些函數(shù)表達式所具有的特征，與幾何中的距離、直線的斜率、線段 的長度（兩點間的距離）等聯(lián)系在一起，構(gòu)造幾何模型解決問題，培養(yǎng)學生思維的深刻性并提高創(chuàng)造性。 3. 數(shù)形結(jié)合在線性規(guī)劃中的應(yīng)用 【例3】學校有線網(wǎng)絡(luò)同時提供A、B兩套校本選修課程。A套選修課播40分鐘，課后研討20分鐘，可獲得學分5分；B套選修課播32分鐘，課后研討40分鐘，可獲學分4分。全學期20周，網(wǎng)絡(luò)每周開播兩次，每次均為獨立內(nèi)容。學校規(guī)定學生每學期收看選修課不超過1400分鐘，研討時間不得少于1000分鐘。兩套選修課怎樣合理選擇，才能獲得最好學分成績？ 【解析】設(shè)選擇A、B兩套課程分別為X

8、、Y次，z為學分，則 .目標函數(shù):.由方程組解得點A(15,25) , B(25,12.5) 由于目標函數(shù)的斜率與直線AB的斜率相等，因此在圖中陰影線段AB上的整數(shù)點A（15，25）、C（19，20）、D（23，15）都符合題意，使得學分最高為175分。 4. 數(shù)形結(jié)合在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 【例4】例4 若函數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍． 分析 這是一個利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問題．首先把函數(shù)的增、減性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的正、負來研究．求f（x）的導(dǎo)數(shù)，得f ′（x）= x2－ax + a－1．于是將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)x2－ax

9、+ a－1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為負，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)為正的充要條件，而這個問題則完全是二次函數(shù)的問題，解決時必須借助圖形． 解 對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，得 f ′（x）= x2－ax + a－1，由此得出方程x2－ax + a－1 = 0的兩個根為x = 1和x = a－1，然后再借助圖形進行研究． 顯然，函數(shù)f ′（x）= x2－ax + a－1是開口向上，與x軸至少有一個交點的拋物線． （1）當a－1≤1時，函數(shù)f ′（x）與x軸的另一個交點橫坐標a－1在1的左側(cè)，在區(qū)間（1，4）內(nèi)f ′（x）＞0，如圖所示，那么f（x）在（1，4）內(nèi)為增函數(shù)，不合題意． （2）當1＜a－1＜4

10、時，函數(shù)f ′（x）與x軸的另一個交點的橫坐標a－1在1與4之間，在區(qū)間（1，4）內(nèi)f ′（x）＜0不恒成立，如圖所示，那么f（x）在（1，4）內(nèi)不為減函數(shù)，不合題意． a-1 O x y 1 2 3 4 a-1 O x y 1 6 4 a-1 O x y 1 6 4 a-1 O x y 1 6 4 （3）當4≤a－1≤6時，函數(shù)f ′（x）與x軸的另一個交點的橫坐標a－1在區(qū)間 [ 4，6 ] 上，在區(qū)間（1，4）內(nèi)f ′（x）＜0；在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)f ′（x）＞0，如圖所示．那么f（x）在（1，4）內(nèi)為

11、減函數(shù)，在（6，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．此時5≤a≤7，滿足題意． （4）當a－1＞6時，函數(shù)f ′（x）與x軸的另一個交點在6的右側(cè)，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)f ′（x）＞0不恒成立，如圖所示，那么f（x）在（6，+∞）內(nèi)為增函數(shù)不成立，不合題意． 綜上，知5≤a≤7為所求． 評注 對函數(shù)單調(diào)性的研究，轉(zhuǎn)化為對導(dǎo)函數(shù)正負的研究，實際上就是研究函數(shù)值正負的分布．這種研究過程往往沒有現(xiàn)成的定理可以使用，而必須由圖象的直觀性得出結(jié)論．在解答書寫的過程中，一般不必畫出函數(shù)圖象，但結(jié)論的得出又必須依賴于函數(shù)圖象，這是在解答題中考查數(shù)形結(jié)合思想的一種形式． 5. 數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應(yīng)用 【例5】

12、已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求證： . 證明:在平面直角坐標系中，點A（cosα,sinα）與點B（cosβ, sinβ）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點如圖. 從而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2 =2–2cos(α–β) 又∵單位圓的圓心到直線l的距離 由平面幾何知識知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即 ∴. 評注：善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題. 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時要注意

13、以下兩點：其一數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價性，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟知的數(shù)學問題，轉(zhuǎn)化前后的問題必須是等價的；其二，利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性，像判斷公共點個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化成圖形后要保證“數(shù)”的精確性，才能得出正確結(jié)論。有些問題所對應(yīng)的圖形不唯一，要根據(jù)不同的情況畫出相應(yīng)的圖形后，再進 行討論求解。 總之，要讓學生真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須有雄厚的基礎(chǔ)知識和熟練的基本技巧，如果教師只講解幾個典型習題并把學生講懂了，就認為學生領(lǐng)會了數(shù)形結(jié)合這一思想方法，是偏面的。教師要有做好長期滲透的思想，平時要求學生認真上好每一堂課，學好新教材的系統(tǒng)知識，掌握各種函數(shù)的圖像特點，理解各種幾何圖形的性質(zhì)

14、。教師講題時，要引導(dǎo)學生根據(jù)問題的具體情況，多角度的觀察和理解問題，揭示問題的本質(zhì)聯(lián)系，利用“數(shù)”的準確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計算，從而來解決問題。教學中要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，通過多渠道來溝通知識間的聯(lián)系，激發(fā)學生學習興趣，并及時總結(jié)數(shù)形結(jié)合在解題中運用的規(guī)律性，來訓練學生的思維能力，提高理解和運用的水平。只有這樣，不斷提高、深化數(shù)形結(jié)合運用的能力。 【專題演練】 1．曲線y=1+ (–2≤x≤2)與直線y=r(x–2)+4有兩個交點時，實數(shù)r的取值范圍 . 2. 討論方程的實數(shù)解的個數(shù). 3.若直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為4．求直線的表達

15、式． 4. 如果，求的取值范圍. 【參考答案】 1. 解析：方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x–2)+4為過（2，4）的直線. 答案：（］ 2. 解:作出函數(shù)的圖象,如右圖所示,函數(shù)為水平直線,由圖形可知: 當時,解的個數(shù)是; 當或時,解的個數(shù)是; 當時,解的個數(shù)是; 當時, 解的個數(shù)為3; 圖2 3. 解：結(jié)合圖2，由題意可得：． 解得：．故所求表達式是． 4. 　解：由于表示以（4，3）為圓心，3為半徑的圓面，如圖3所示，，由于Ｏ到圓心（4，3）的距離為，當ｚ所對應(yīng)的點在上述圓面變動時，，故.