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2020高考數(shù)學(xué)熱點集中營 熱點22 選修平面幾何問題 選修1 新課標

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1、 【兩年真題重溫】 (Ⅰ) 證明:,,,四點共圓; (Ⅱ) 若∠,且,,求,,, 所在圓的半徑. 【解析】本題考查了四點共圓的判定與圓的性質(zhì). (Ⅰ)連結(jié),根據(jù)題意在和中,, 即. 又,從而∽. 因此.所以,,,四點共圓. (Ⅱ),時,方程的兩根為, . 故,. . 【2020新課標全國理,22】【2020新課標全國文,22】 如圖,已經(jīng)圓上的弧,過C點的圓切線與BA的延長線交于E點,證明: (Ⅰ); (Ⅱ). 解:命題意圖:本題主要考查幾何選講中圓、三角形相似等知識,考查分析問題、解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題. (I)因為,所以. 又因為與圓相切于點,故

2、, 所以. (II)因為, 所以∽,故, 即. 【最新考綱解讀】 1.復(fù)習(xí)相似三角形的定義與性質(zhì),了解平行截割定理,證明直角三角形射影定理. 2.證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理. 3.證明相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理. 4.了解平行投影的含義,通過圓柱與平面的位置關(guān)系,體會平行投影;證明平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓). 定理 在空間中,取直線l為軸,直線l′與l相交于O點,其夾角為α,l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點,l′為母線的圓錐面,任取平面π,若它與軸l交角為β(π與l平行,記β=0),則: (1)β>α,平面

3、π與圓錐面的交線為橢圓; (2)β=α,平面π與圓錐面的交線為拋物線; (3)β<α,平面π與圓錐面的交線為雙曲線. 6.利用Dandelin雙球(這兩個球位于圓錐的內(nèi)部,一個位于平面π的上方,一個位于平面π的下方,并且與平面π及圓錐面均相切)證明上述定理(1)情況. 【回歸課本整合】 一、相似三角形 1.相似三角形 ①性質(zhì)定理1 相似三角形對應(yīng)邊上的高、中線和它們周長的比都等于相似比. ②性質(zhì)定理2 相似三角形面積的比等于相似比的平方. 相似三角形對應(yīng)角的平分線的比,外接圓直徑的比、周長的比,內(nèi)切圓直徑的比、周長的比都等于相似比. 2.圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于它所對

4、的弧的度數(shù). 3.圓周角定理 6.圓內(nèi)接四邊形 (1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理 ①對角互補.②外角等于它的內(nèi)對角 (2)圓內(nèi)接四邊形判定定理 如果一個四邊形的一組對角互補,那么這個四邊形內(nèi)接于圓. 推論 如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角,那么這個四邊形四個頂點共圓. 【方法技巧提煉】 3.同一法:先作出一個滿足命題結(jié)論的圖形,然后證明圖形符合命題已知條件,確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同,從而證明命題成立. 4.證明多點共圓,當兩點在一條線段同側(cè)時,可證它們對此線段張角相等,也可以證明它們與某一定點距離相等;如兩點在一條線段異側(cè),則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互

5、補. 例1 如圖,已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H,∠B=60°,F(xiàn)在AC上,且AE=AF. (1)證明B、D、H、E四點共圓; (2)證明CE平分∠DEF. 【證明】 (1)在△ABC中,因為∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°. 因為AD,CE是角平分線, 所以∠HAC+∠HCA=60°. 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°, 所以∠EBD+∠EHD=180°,所以B、D、H、E四點共圓. (2) 例2 如圖所示,⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點,過點A作⊙O1的切線交⊙O2于點C,過點B作兩圓的割線,分別交⊙O1、⊙O2

6、于點D、E,DE與AC相交于點P. (1)求證:AD∥EC; (2)若AD是⊙O2的切線,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的長. 【解】 (1)證明:連接AB(圖略), ∵AC是⊙O1的切線,∴∠BAC=∠D. 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E. ∴AD∥EC. (2)∵PA是⊙O1的切線,PD是⊙O1的割線, ∴PA2=PB·PD,∴62=PB·(PB+9),∴PB=3. 在⊙O2中由相交弦定理,得PA·PC=BP·PE, ∴PE=4. ∵AD是⊙O2的切線,DE是⊙O2的割線, ∴AD2=DB·DE=9×(9+3+4), ∴AD=12. 【考場經(jīng)驗分享】

7、 【新題預(yù)測演練】 1.【2020年河北省普通高考模擬考試】 選修4—1:幾何證明選講 如圖,AB是的直徑,弦BD、CA的延長線相交于點E,F(xiàn)為BA延長線上一點,且,求證: (Ⅰ); (Ⅱ). 【解析】: (Ⅰ)證明:連接,在中 ………..2分 又∽ ………..4分 則 ………..5分 (Ⅱ)在中,

8、 又 四點共圓; ………..7分 ………..9分 又是⊙的直徑,則, ………..10分 2.【2020年邯鄲市高三第一次模擬考試】 選修4—1:幾何證明選講 3.【河南省2020年普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試】 選修4—1:幾何證明選講 如圖,已知中,AB=BC,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,過D作,垂足為E,連結(jié)OE。若,分別求AB,OE的長。 解: 所以.

9、 ……10分 …10分 7.【2020年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測】 選修4—1:幾何證明選講 如圖,銳角△ABC的內(nèi)心為I,過點A作直線BI的垂線,垂足為H,點E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點. (Ⅰ)求證:四點A,I,H,E共圓; (Ⅱ)若∠C=,求∠IEH的度數(shù). 【命題分析】本題考查四點共圓問題和角的求解,考查學(xué)生利用平面幾何的知識解決問題的能力。 證明:(Ⅰ)由圓I與邊AC相切于點E, 得IE⊥AE; …………2分 結(jié)合IH⊥AH,得 所以,四點A,I,H,E共圓. ………

10、…5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知四點A,I,H,E共圓,得,;…………7分 在中, 結(jié)合IH⊥AH,得; 所以. 由得 …………10分 (Ⅱ)在中,,…………6分 由①得∽, ∴,……………8分 ∴, 所以.……………10分 11.[河北冀州中學(xué)2020屆高三一??荚嘳 選修4-1:幾何證明選講 如圖,已知⊙O和⊙M相交于A、B兩點,AD為⊙M的直徑,直線BD交⊙O于點C,點G為弧的中點,連結(jié)AG分別交⊙O、BD于點E、F,連結(jié)CE. (Ⅰ)求證:為⊙O的直徑。 (Ⅱ)求證:。; · · A B C D G E F O M 解:(Ⅰ)連結(jié) ∵

11、為⊙M的直徑 ∴ 在⊙中, ∴為⊙O的直徑。 ………………4分 (Ⅱ) ∵ ∴ ∵點G為弧的中點 ∴ 在⊙中, ∴∽ ∴ ………………10分 13.[河南省焦作市2020屆高三第一次質(zhì)量檢測] 選修4-1:幾何證明選講 在中,AB=AC,過點A的直線與其外接圓交 于點P,交BC延長線于點D。 (1)求證: ; (2)若AC=3,求的值。 解:(1), ~, 又 (5分) (2) ~, (10分) 解:(1)AC為圓O的切線,∴.又知,DC是的平分線, ∴

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