第七章立體幾何 考點21空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、幾何體的表面積與體積 兩年咼考真題演練 何體的體積是（） 正視圖磚視尿 R—2—H俯視圖 403 Dpcm 帕視圖 A.8cm3B.12cm3C.^cm3 2. （2015陜西）一個幾何體的三視圖如圖所示，貝S該幾何體的表 面積為（） A.3nB.4nC.2n+4D.3n+4 3. （2015新課標全國I） 《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之 一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（） A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛 4. （2015重慶）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積 A.g+2n 13n 正規(guī)圖左規(guī)圖 7n5n C.丁Dp 5. （2014新課標全國I ）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形, 粗實線 畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（） A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱 6. （2014陜西）已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正四棱柱的各 頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（） A.3^3nB.4nC.2n D. 7. （2015江蘇）現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積 與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，則新的底面半徑為. 8. （2015四川）在三棱柱ABC—A1B1C1中，/BAC=90°,其正 視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰 直角三角形，設(shè)點M,N,P分別是AB,BC,B1C1的中點，則三棱 錐P—A1MN的體積是. 考點21空間幾何體的結(jié)構(gòu)、 三視圖、幾何體的 表面積與體積 一年模擬試題精練 1. （2015北京朝陽區(qū)期末）一個四棱錐的三視圖如圖所示，貝S該 四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為（） A.1B.2C.3D.4 2. （2015成都市一診）若一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖是兩個全 等的正方形，則這個幾何體的俯視圖不可能是（） 3. （2015桂林市一調(diào)）已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（） KKzdKzdzdbxzdiE規(guī)附摘祝圖正覘圖舊視凰止視圖體視圖止祝圖#（視性0KNN備祝圖俯視圖儲祝圖晞視圖 4.（2015廈門市質(zhì)檢）如圖，在棱長為 1的正方體ABCD- AiBiCiDi中，E是棱BC上的一點，則三棱錐 Di-B1C1E的體積等于 () i A.3 C並 C.6 i D.6 H B.諳 第4題圖第5題圖 5. （20I5山西省三診）如圖是一個幾何體的三視圖，若該幾何體的表面積為9n,則正視圖中實數(shù)a的值等于（） A.iB.2C.3 6. (20i5廈門質(zhì)檢) 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體最長的棱的長度等于（） A.34B.41 C.52D.215 7. （2015衡水中學期中）三棱錐P—ABC的四個頂點均在同一球 面上，其中△ABC是正三角形，PA丄平面ABC,PA=2AB=6,則該球的體積為（） A.163nB.323nC.48nD.643n 8. （2015武漢市調(diào)考）若一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（） 119 A.12B.5C.QD.4 9. （2015眉山市一診）一個棱錐的三視圖如圖，則此棱錐的全面積是（） A.4+26B.4+6C.4+22D.4+2 考點22平行關(guān)系 兩年咼考真題演練 1. (2015新課標全國H) 如圖，長方體ABCD—AiBiCiDi中AB=16,BC=10,AAi=8, 點E,F分別在A1B1,D1C1上，A1E=D1F=4.過點E,F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形. (1) 在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由); (2) 求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值. 2. (2015四川)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的 示意圖如圖所示. D C EA B F (1) 請將字母F,G,H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)； (2) 判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并證明你的結(jié)論. ⑶證明：直線DF丄平面BEG. 3. （2014北京） 如圖，在二棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB丄BC, AAi=AC=2,BC=1,E,F分別是AQi,BC的中點. (1) 求證：平面ABE丄平面B1BCC1; (2) 求證：GF//平面ABE; ⑶求三棱錐E—ABC的體積. 考點22平行關(guān)系 一年模擬試題精練 1. (2015宿遷市摸底)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD 是菱形，且 PB=PD. (1) 求證：BD丄PC; ⑵若平面PBC與平面PAD的交線為I，求證：BC//I. 2. (2015重慶一中檢測) 女口圖，已知DE丄平面ACD,DE//AB,AACD是正三角形，AD=DE=2AB=2,且F是CD的中點. (1) 求證：AF//平面BCE; (2) 求四棱錐C-ABED的全面積. 3. (2015桂林市一調(diào)) 如圖，四棱錐P-ABCD中，BC//AD,BC=1,AD=3,AC丄CD，且平面PCD丄平面ABCD. (1) 求證：AC丄PD. (2) 在線段FA上，是否存在點E,使BE//平面PCD?若存在，求IA的值，若不存在，請說明理由. 4. (2015鹽城模擬) 缶叢G B 如圖所示，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，點D,Di分別為AC,A1C1上的點. (1)當器等于何值時，BCJ/平面ABiDi? AD ⑵若平面BCiD//平面ABiDi，求DC的值. 考點23垂直關(guān)系 兩年咼考真題演練 1. (2015新課標全國I) 如圖，四邊形ABCD為菱形，G是AC與BD的交點，BE丄平面 ABCD. (1) 證明：平面AEC丄平面BED; \[6 (2) 若/ABC=120°,AE丄EC,三棱錐E-ACD的體積為三,求該三棱錐的側(cè)面積. 2. （2015江蘇） 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC丄BC,BC=CC1. 設(shè)AB1的中點為D,B1CQBC1=E. 求證：（1）DE//平面AAiCiC; （2）BCi丄ABi. 3.（2014重慶） 如圖，四棱錐P—ABCD中，底面是以0為中心的菱形，P0丄 n1 底面ABCD,AB=2,ZBAD=-3,M為BC上一點，且BM=q. (1)證明：BC丄平面POM; ⑵若MP丄AP,求四棱錐P—ABMO的體積. 積. 4.（2014福建） 如圖，三棱錐A—BCD中，AB丄平面BCD,CD丄BD. (1)求證：CD丄平面ABD; ⑵若AB=BD=CD=1,M為AD中點，求三棱錐A—MBC的體 考點23垂直關(guān)系 一年模擬試題精練 1. (2015唐山一中檢測)如圖所示，△ABC和厶BCE是邊長為2 的正三角形，且平面ABC丄平面B CE,AD丄平面ABC,AD=23. (1)證明：DE丄BC; ⑵求三棱錐D—ABE的體積. 2. (2015晉冀豫三省調(diào)研)如圖，菱形ABCD的邊長為6,/BAD=60°,ACABD=O.將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐， 點M是棱BC的中點，DM=32. (1) 求證：平面ABC丄平面MDO. (2) 求三棱錐M—ABD的體積. 3. (2015山西省三診) B 如圖，已知菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相 垂直，AB=2AD=2CD=4,ZABE=60°,/BAD=ZCDA=90°,點H是線段EF的中點. (1) 求證：平面AHC丄平面BCE; (2) 求多面體ABCDEF的體積. 4. (2015北京西城區(qū)高三檢測) 如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A±底面ABCD,/BAD=90°,AD//BC,且AiA=AD=2BC=2,AB=1.點E在棱AB上，平面AiEC與棱CiDi相交于點F. (1) 求證：AiF//平面BiCE; (2) 求證：AC丄平面CDDiCi; (3) 寫出三棱錐B1－A1EF體積的取值范圍． 考點24立體幾何綜合問題 兩年咼考真題演練 1.（2015福建）若I,m是兩條不同的直線，m垂直于平面a,則 “1丄m”是“1//a的() A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 2.（2015安徽）已知m,n是兩條不同直線，a,B是兩個不同 平面，則下列命題正確的是（） A.若a,B垂直于同一平面，則a與B平行 B.若m,n平行于同一平面，則m與n平行 C.若a,B不平行，則在a內(nèi)不存在與B平行的直線 D.若m,n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 3. （2015新課標全國H）已知A,B是球O的球面上兩點，/AOB =90°,C為該球面上的動點，若三棱錐O—ABC體積的最大值為 36,則球O的表面積為（） A.36nB.64nC.144nD.256n 4. （2014遼寧）已知m,n表示兩條不同直線，a表示平面.下 列說法正確 的是（ ) A.若 m/a n/a,貝卩m/n B.若 m±a, n?a,貝卩m±n C.若 m±a, m±n,貝卩n/a D.若 m/a, m±n,貝卩n丄a 5.(20 ）15安徽）如 圖，三棱錐P-ABC中，PA丄平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2, /BAC=60°. (1)求三棱錐P-ABC的體積; ⑵證明：在線段PC上存在點M，使得AC丄BM，并求MM的值. 6. （2014四川） 在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形. (1) 若AC丄BC,證明：直線BC丄平面ACC1A1; (2) 設(shè)D,E分別是線段BC,CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE//平面A1MC?請證明你的結(jié)論. 考點24立體幾何綜合問題 一年模擬試題精練 1. （2015荊門市調(diào)研）若m,n是兩條不重合的空間直線，a是 平面，則下列命題中正確的是（） A.若m//n,n?a,貝Um//a B.若m/n,n/a,貝Um/a C.若m/n,n丄a,貝卩m±a D.若m±n,n丄a,貝卩m/a 2. （2015眉山市一診）下列說法錯誤的是（） A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi) B.過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直 C.如果共點的三條直線兩兩垂直，那么它們中每兩條直線確定的平面也兩兩垂直 D.如果兩條直線和一個平面所成的角相等，則這兩條直線一定平行 3. （2015深圳五校一聯(lián)）已知m,n是兩條不同直線，a,p,丫是三個不同平面，下列命題中正確的是（） A.若m/an/a,貝Um/n B.若mila,m//p，貝卩allp C.若a丄yp丄丫，貝卩alp D.若m丄a,n丄a,則mln 4. （2015汕頭市質(zhì)檢）設(shè)l,m是兩條不同直線，a,p是兩個不 同平面，貝S下列命題中正確的是（） A.若I//a,anp=m,貝卩l(xiāng)//m B.若lIIa,m±l，貝ym±a C.若IIa,mla,貝ylIIm D.若I丄a,IIIB,貝ya丄B 5. （2015黃岡中學檢測）設(shè)a、B是兩個不同的平面，I、m為兩條不同的直線，命題p：若平面aIB，I?a，m?B，則11m；命題q：IIIa,m±I,m?B,則B丄a則下列命題為真命題的是（） A.p或qB.p且q C.綈p或qD.p且綈q 6. （2015山西省三診）已知a,b,c是三條不同的直線，命題“a IIb且a丄c?b±c”是真命題，如果把a,b,c中的兩個或三個換成平面，在所得的命題中，真命題有（） A.1個B.2個C.3個D.4個 7. （2015山東省實驗中學三診）對于不重合的兩個平面a與B,給定下列條件：①存在平面Y使得a、B都垂直于Y②存在平面Y使得a、B都平行于Y③a內(nèi)有不共線的三點到B的距離相等；④存在異面直線I、m,使得IIaIIIB,mIa,mIB，其中，可以判定a與B平行的條件有（） A.1個B.2個C.3個D.4個 8. （2015青島模擬） 如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E,F 分別是棱BC,CC1的中點，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，若A1PI平面 AEF,則線段AiP長度的取值范圍是() A.1,中B." C.多.2D.[2,,3] 9. (2015眉山市一診) 如圖，圓0為三棱錐P—ABC的底面ABC的外接圓，AC是圓0的直徑，PA丄BC,點M是線段PA的中點. (1) 求證：BC丄PB; (2) 設(shè)FAXAC,FA=AC=2,AB=1,求三棱錐P—MBC的體積； (3) 在厶ABC內(nèi)是否存在點N,使得MN//平面PBC?請證明你的結(jié)論. 參考答案 第七章立體幾何 考點21空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、幾何體的表面積與體積 【兩年高考真題演練】 1. C[由三視圖可知該幾何體是由棱長為2cm的正方體與底面 為邊長為2cm正方形、高為2cm的四棱錐組成，V=V正方體+V四棱錐 832 =8cm3+3cm3=-3cm3.故選C.] 2. D[由三視圖可知原幾何體為半圓柱，底面半徑為1,高為2,則表面積為： 121 S=2X二兀x12+2*2兀x1X2+2X2 =兀+2兀+4=4+3兀.] 16112 3. B[由題意知：米堆的底面半徑為"3（尺），體積V=3X4兀R-h 320 手（立方尺）.所以堆放的米大約為 320 P 9X1.62 22（斛）.] 4. B[該幾何體由一個圓柱和一個從軸截面截開的“半圓錐”組成，其體積為V=nX12X2+1X1兀X12X1=2兀+玄=普兀.] 2366 5. B[由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形，兩個四邊形，分析可知該幾何體為三棱柱，故選B.] 6. D[正四棱柱的外接球的球心為上下底面的中心連線的中點，所以球的半徑r=^y^2^+乎了=1,球的體積V=號r3=葺.故選D.] L1cc1 7. 7[設(shè)新的底面半徑為r，由題意得3兀r2-4+兀r2-8=3兀 X52x4+兀X22x8,解得r=7.] 8£[ BMA 由題意知還原后的幾何體是一個直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1的直三棱柱， vVP—A1MN=VA—PMN, 又TAA1//平面PMN,「.VA1—PMN=VA-PMN, 111111 二Va—pmn=3X2X1X2X2=24，故VP—A[MN=刃.] 【一年模擬試題精練】 1. D[滿足條件的四棱錐的底面為矩形，且一條側(cè)棱與底面垂 直，如圖所示，易知該四棱錐四個側(cè)面均為直角三角形.] 2. C[由題意知，俯視圖的長度和寬度相等，故C不可能.] 3. C[ 選項A,B,D中的俯視圖，正方形內(nèi)的線應該為另一條對角線，當四棱錐的直觀圖為右圖時，它的三視圖是C.] 1111 4.D[VD1—B1GE=3SAB1C1E?D1C1=3X寸1X1X1=石.] 5. C[由三視圖知該幾何體是由一個圓錐和一個圓柱組成，由 條件得：2na+3n=9n,解得a=3.] 6. C［該多面體的直觀圖為底面為直角二角形，一條棱垂直于底邊的三棱錐，其直觀圖如圖所示，故該多面體最長的棱為CD= AD2+AC2=5,2.］ 7. B［設(shè)0為球的球心，OiABC外接圓的圓心，連接OOi 得OO1=^PA=3,AO1=2x今X3=3,故R=OOi+AOi=23. 因此該球的體積為4nR3=323n.］ 8. D［由題意可知，該幾何體為一直六棱柱，二底面六邊形的面積可以看成一個矩形與兩個等腰直角三角形的面積和，即S=1X2 1 +1X 2X1X2=4, ???V=Sh=4.] 9. A[其直觀圖為三棱錐，如圖所示AE丄面BCD,BE=ED= 1, EC=AE=2,AD=DC=AB=BC=5,AC=22，故其全面積為 SaABD+S^BCD+S^ABC+SADC=4+2習6J考點22平仃關(guān)系 【兩年高考真題演練】 1. 解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖: MH (2)作EM丄AB,垂足為M, 則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因為EHGF為正方形， 所以EH=EF=BC=10. 于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6. 因為長方體被平面a分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為7(7也正確). 2. (1) 解點F,G,H的位置如圖所示. (2)證明平面BEG//平面ACH，證明如下: 因為ABCD—EFGH為正方體，所以BC//FG,BC=FG,又FG//EH,FG=EH,所以BC//EH,BC=EH,于是BCHE為平行四邊形，所以BE//CH, 又CH?平面ACH,BE?平面ACH, 所以BE//平面ACH, 同理BG//平面ACH, 又BEABG=B, 所以平面BEG//平面ACH.⑶證明連接FH, 因為ABCD—EFGH為正方體,所以DH丄平面EFGH,因為EG?平面EFGH,所以DH丄EG, 又EG丄FH,EGAFH=O,所以EG丄平面BFHD,又DF?平面BFHD,所以DF丄EG,同理DF丄BG,又EGABG=G,所以DF丄平面BEG. 3. (1)證明在三棱柱ABC—A1B1C1中，BBi丄底面ABC. 所以BB」AB. 又因為AB丄BC,且BCABB1=B,BC,BB1?面B1BCC1,所以AB丄平面BiBCCi. 又AB?面ABE, 所以平面ABE丄平面B1BCC1. ⑵證明取AB中點G，連接EG,FG. 因為E,F分別是A1C1,BC的中點，所以FG//AC,且FG=|aC. 因為AC//A1C1，且AC=A1C1, 所以FG//EC1，且FG=EC1. 所以四邊形FGECi為平行四邊形.所以CiF//EG. 又因為EG?平面ABE，C1F?平面ABE, 所以GF//平面ABE. ⑶解因為AAi=AC=2,BC=1,AB丄BC, 所以AB=-AC2—BC2=3. 所以三棱錐E—ABC的體積 iii\[3 V=3Sabc，AA1=3X2^3X1x2=亍 【一年模擬試題精練】 1. 證明（1） 連接AC,交BD于點0,連接PO.因為四邊形ABCD為菱形， 所以BD丄AC 又因為PB=PD,0為BD的中點， 所以BD丄P0, 又因為ACAP0=O, 所以BD丄平面APC, 又因為PC?平面APC,所以BD丄PC. ⑵因為四邊形ABCD為菱形，所以BC//AD,因為AD?平面FAD,BC?平面FAD. 所以BC/平面FAD, 又因為BC?平面PBC,平面PBCA平面FAD=I.所以BC/I. 2. (1)證明取CE中點P,連接FP,BP, 1 TF為CD的中點，二FP綉2DE, 1 又AB綉2DE,「.AB綉FP, ???ABPF為平行四邊形，二AF//BP, 又???AF?平面BCE,BP?平面BCE,「.AF//平面BCE. ⑵解SabeD=3,Saacd=3,SaCDE=2,SaABC=1,SaBCE=6, S全=6+3+6. 3. (1)證明???平面PCD丄平面ABCD，平面PCDA平面ABCD=CD,AC丄CD,AC?平面ABCD,「.AC丄平面PCD, vPD?平面PCD，二AC丄PD. (2)解線段PA上，存在點E,使BE/平面PCD,vAD=3,?在厶PAD中，存在EF//AD(E,F分別在AP,PD上)，且使 EF=1,又vBC/AD, ? BC/EF，且BC=EF, ?四邊形BCFE是平行四邊形， ? BE/CF,BE?平面PCD,CF?平面PCD, ? BE/平面PCD, vEF=1,AD=3, ?EF=PE=1 …AD=PA=3. 4. 解(1)連接AiB,AiBAABi=E,連接DiE,若BCJ/面ABQi,則BCJD1E,vAE=B1E, A1D1=DiCi，故D；C；=1. ⑵?面BCiD//面ABiDi，面AiBCiQ面ABiDi=DiE, BCi/EDi, 又tAiE=EB,「.AiDi=DiCi, ?.?面BCiD//面ABiDi,ADiC?面ACCiAi,DCi?面ACCiA, ad ???ADi//DCi，二AD=DiCi，故AD=DC,因此DC=i考點23 垂直關(guān)系 【兩年高考真題演練】 i.⑴證明因為四邊形ABCD為菱形，所以AC丄BD. 因為BE丄平面ABCD，所以AC丄BE. 故AC丄平面BED. 又AC?平面AEC,所以平面AEC丄平面BED. ⑵解設(shè)AB=x,在菱形ABCD中，由/ABC=i20°,可得 V3x AG=GC="^x,GB=GD=q. x. =承 因為AE丄EC,所以在Rt△AEC中，可得EG= 由BE丄平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE ii 由已知得，三棱錐E-ACD的體積Ve-acd=3XqAC-GD?BE _63_厘 24x=3. 故x=2. 從而可得AE=EC=ED=6. 所以△EAC的面積為'△EAD的面積與厶ECD的面積均為5. 故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+25. 2. 證明(1)由題意知，E為BiC的中點， 又D為ABi的中點，因此DE//AC. 又因為DE?平面AA1C1C,AC?平面AAiCiC, 所以DE//平面AAiCiC. (2)因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以CCi丄平面ABC. 因為AC?平面ABC，所以AC丄CCi. 又因為AC丄BC,CCi?平面BCCiBi,BC?平面BCGBi,BCACC1=C, 所以AC丄平面BCCiBi. 又因為BCi?平面BCCiBi, 所以BCi丄AC. 因為BC=CCi, 所以矩形BCCiBi是正方形， 因此BCi丄BiC. 因為AC,BiC?平面BiAC,ACABiC=C, 所以BCi丄平面BiAC. 又因為ABi?平面BiAC, 所以BCi丄ABi. 3. (i)證明如圖，因為四邊形ABCD為菱形，0為菱形中心，連 冗 接0B,貝UAO丄OB.因/BAD=-3，故OB=ABsin/OAB n =2sin~6=i, in 又因BM=2,且/OBM=亍，在△OBM中, OM2=OB2+BM2—2OBBMcos/OBM =i2+野—2xix2xcos n3 3=4. 所以O(shè)B2=OM2+BM2，故OM丄BM. 又PO丄底面ABCD,所以PO丄BC.從而BC與平面POM內(nèi)兩條相交直線OM,PO都垂直, 所以BC丄平面POM. ⑵解由⑴可得，OA=ABcos/OAB=2xcos育=3. 設(shè)PO=a,由PO丄底面ABCD知，△POA為直角三角形，故 PA2=PO2+OA2=a2+3. 由厶POM也是直角三角形, 故PM2=PO2+OM2=a2+3 連接人皿，在厶ABM中，AM2=AB2+BM2—2ABBM?cos/ABM =22+(1)2—2x2x2xcos2n=% 由已知MP丄人卩，故厶APM為直角三角形, 則PA2+PM2=AM2, 即a2+3+a2+321 4 得a^23，a= "2^舍去), 即po導. 111 此時S四邊形ABMO=SaAOB+SaOMB=二°AO°OB+二°BM°OM= 3X1+|x》曽. 所以四棱錐P—ABMO的體積 1o“15^3V35 =16. Vp-ABMO=3?S四邊形ABMO°PO=3^82— 4.法一(1)證明vAB丄平面BCD,CD?平面BCD, ???AB丄CD. 又vCD丄BD,ABABD=B,AB?平面ABD,BD?平面ABD,?CD丄平面ABD. (2)解由AB丄平面BCD,得AB丄BD, 1 -AB=BD=1,?S vM是AD的中點， .1_1 …SaABM=2$ABD=4. 由(1)知，CD丄平面ABD, ???三棱錐C—ABM的高h=CD=1,因此三棱錐A—MBC的體積 __1VA-MBC_VC-ABM_gS^ABM 丄 12. -h_ 法二(1)同法一. (2)解由AB丄平面BCD知，平面ABD丄平面BCD,又平面ABD門平面BCD_BD, 如圖，過點M作MN丄BD交BD于點N, 11 貝卩MN丄平面BCD,且MN_2AB_二， 又CD丄BD,BD_CD_1, …Sabcd_2” ?三棱錐A—MBC的體積 Va-MBC_Va-BCD—VM-BCD 111_3AB?SxBCD—gMN?SBCD_代 【一年模擬試題精練】 1.(1)證明 取BC的中點為F，連接AF,EF,BD, ???△BCE為正三角形，二EF丄BC, 又平面ABC丄平面BCE,且交線為BC,「.EF丄平面ABC，又 AD丄平面ABC,「.AD//EF，二D,A,F,E共面， 又易知在正三角形ABC中，AF丄BC,AFAEF=F, ???BC丄平面DAFE，又DE?平面DAFE, 故DE丄BC. (2)解由(1)知EF/AD，所以有Vd—ABE=VE―DAB=VF―DAB=Vd- VD-ABE 1. 所以Saabf ABF?AD 1,即 2. (1)證明T/BAD=60°,菱形的邊長為6,?OM=OD=3, vDM=32,二/DOM=90°,OD丄OM，又丁折疊前四邊形ABCD是菱形，?OD丄AC. vOMAAC=0,二OD丄平面ABC. vOD?平面MDO，?平面ABC丄平面MDO. (2)解vVm-abd=Vd-abm，由(1)知OD丄平面ABC, ?OD=3為三棱錐D—ABM的高. 11yj39J3 Saabm=2BAXBMxsin120°=2X6X3X-^=~^~, V=1S\ABMXOD=923. 3. ⑴證明在菱形ABEF中，因為/ABE=60°，所以△AEF是等邊三角形，又H是線段EF的中點，所以AH丄EF?AH丄AB, 因為平面ABEF丄平面ABCD，所以AH丄平面ABCD，所以AH丄BC, 在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=4,ZBAD=ZCDA=90°，得到：AC=BC=22, 從而AC2+BC2=AB2，所以AC丄CB; 所以CB丄平面AHC，又BC?平面BCE，所以平面AHC丄平面BCE. (2)解多面體ABCDFE可拆分成一個四棱錐C-ABEF和一個三棱錐D—AFC，由題可知AD丄平面ABEF,且CD//平面ABEF，二點C到平面ABEF的距離d=AD=2. 二Vc-ABEF=3?ad?S^BEF=3X2X2S^abe=3X2X2X2X AB?BE?sin60 又VD-AFC=VF-ADC, VEF/平面ABCD,A點F到平面ACD的距離d=AH=23,S △ADC=2aD?DC=2x2X2=2, …VD—AFC 1 =3XAH SxADC 4/3 3, a多面體ABCDFE的體積為呼+竽=2033 4. (1)證明 因為ABCD—AiBiCiDi是棱柱， 所以平面ABCD//平面AiBiCiDi. 又因為平面ABCD門平面AiECF=EC, 平面AiBiCiDi門平面AiECF=AiF, 所以AiF//CE. 又AiF?平面BiCE,CE?平面BiCE, 所以AiF//平面BiCE. (2)證明在四邊形ABCD中， 因為/BAD=90°,AD//BC,且AD=2BC,AD=2,AB=i,所以AC2=i2+i2=2,CD2=i2+i2=2. 所以AC2+CD2=AD2, 所以/ACD=90°,即卩AC丄CD. 因為AiA±平面ABCD,AC?平面ABCD, 所以A#丄AC. 因為在四棱柱ABCD—AiBiCiDi中，A///CiC, 所以CiC丄AC. 又因為CD,CiC?平面CDDiCi,CDACiC=C, 所以AC丄平面CDDiCi. j2〕 ⑶解三棱錐Bi—AiEF的體積的取值范圍是3,3.考點24立 體幾何綜合問題 【兩年高考真題演練】 1. B[m垂直于平面a,當I?a時，也滿足I丄m,但直線I與平面a不平行，.??充分性不成立，反之，I//a,—定有I丄m,必要性成立.故選B.] 2. D[對于A,a,B垂直于同一平面，a,B關(guān)系不確定， A錯；對于B,m,n平行于同一平面，m,n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故B錯；對于C,a,B不平行，但a內(nèi)能找出平行于B的直線，如a中平行于a,B交線的直線平行于B,故C錯；對于D,若假設(shè)m,n垂直于同一平面，則m//n,其逆否命題即為D選項，故D正確.] 3. C[如圖， C 要使三棱錐0—ABC即C—OAB的體積最大，當且僅當點C到平面OAB的距離，即三棱錐C—OAB底面OAB上的高最大，其最大 1111 值為球0的半徑R,則V?！狝BC最大=Vc-OAB最大=3XqSOABXR=3X2X (1)解由題設(shè)AB=1,AC=2,ZBAC=60°,可得Saabc=2?ABACsin60°^^. 由PA丄平面ABC，可知PA是三棱錐P-ABC的高，又FA=1. 所以三棱錐P-ABC的體積V=1?S^abc?PA=f. (2)證明在平面ABC內(nèi)，過點B作BN丄AC,垂足為N,在平面FAC內(nèi)，過點N作MN//FA交PC于點M，連接BM.由PA丄平面ABC知FA丄AC，所以MN丄AC.由于BNAMN=N,故AC丄平面MBN，又BM?平面MBN，所以AC丄BM. 13 在Rt△BAN中，AN=ABcos/BAC=2,從而NC=AC—AN=2, PMAN1 由mn//叭得mc=AN=3 6. (1)證明因為四邊形ABBA和ACC1A1都是矩形， 所以AA1丄AB,AA1丄AC. 因為AB,AC為平面ABC內(nèi)兩條相交直線， 所以A"丄平面ABC. 因為直線BC?平面ABC,所以AA1丄BC. 又由已知，AC丄BC,AA1,AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條相交直線, 所以BC丄平面ACC1A1. ⑵解取線段AB的中點M，連接AiM,MC,AiC,ACi,設(shè)O為AiC,ACi的交點. 由已知可知，O為ACi的中點. 連接MD,OE,貝SMD,OE分別為△ABC,^ACG的中位線， i 所以，MD綉2AC, OE綉2aC,因止匕MD綉OE. 連接OM,從而四邊形MDEO為平行四邊形， 貝卩DE//MO. 因為直線DE?平面AiMC,MO?平面AiMC, 所以直線DE//平面AiMC. 即線段AB上存在一點M（線段AB的中點）, 使直線DE//平面AiMC. 【一年模擬試題精練】 1. C[選項A、B、D均存在m?a的情形，排除A、B、D,故選C.] 2. D[對于D，一個等腰三角形的底放在桌面上，兩個腰與桌面所成的角相等，但兩腰所在直線平行.] 3. D[對于選項A:若m//a,n//a,貝Um,n平行、相交、異面都有可能；對于選項B:若m//am//B，則a,B可能平行、可能相交；對于選項C:若a丄Y,B丄Y,貝ya,B可能平行、可能相交；所以選項A、B、C都不正確.] 4. D[對于A:l與m可能異面，排除A;對于B:m與a可能平行或相交，排除B;對于C:l與m可能相交或異面，排除C;故選D.] 5. C[命題p：l和m可能平行也可能異面，故p為假命題；命題q：a和B可能平行也可能相交，故q為假命題，因此p或q為假，p且q為假，綈p或q為真，p且綈q為假.] 6. C[根據(jù)題意，可構(gòu)成四個命題：①面a//面B,且面a丄面Y，則面B丄面y；②直線a//面伏且a丄面y則面B丄面Y③面a//面B,且面a丄直線C,則面B丄直線C；④面a//直線b,且面a丄面y則直線b丄面y可知①②③為真命題，④中直線b與平面Y位置關(guān)系不確定，為假命題.] 7. B[對于①：正方體的一個角的三個平面就是反例，故①錯 誤； 對于②：平面平行判定定理的推論，故②正確； 對于③：可能兩平面相交，三點分別在兩側(cè)，故③錯誤； 對于④：過P上任一點P可做m的平行線m；則I與m相交，滿足平面平行的判定定理，故④正確.] 8. B[取BiCi的中點M,BBi的中點N,連接AiM,AiN,MN,可以證明平面AiMN//平面AEF,所以點P位于線段MN上，因為AiM=AiN^^i+(2J=孝MN=寸甘+甘=¥，所以當點P位于M,N處時，AiP最大，當P位于MN的中點0時，AiP最小，此時人丄0=寸-=皆，所以AiO<AiP<AiM,即3^2<AiP^25，所以線段AiP長度的取值范圍是譽，于，選B.] 9. (1)證明 M f: 如圖，因為，AC是圓O的直徑，所以BC丄AB, 因為，BC丄FA,又RA、AB?平面FAB,且FAQAB=A,所以，BC丄平面FAB,又PB?平面FAB, 所以，BC丄PB, ⑵解如圖，在RtAABC中，AC=2,AB=1, 所以，BC=3,因此，SaABC=， 因為FA丄BC,FA丄AC, 所以FA丄平面ABC, 所以，Vp-MBC=Vp-ABC—Vm-ABC=3^2—3X1=專" ⑶解如圖，取AB的中點D，連接OD、MD、OM, 則N為線段OD（除端點O、D外）上任意一點即可，理由如下: 因為，M、O、D分別是FA、AC、AB的中點，所以，MD//PB,MO//PC, 因為，MD?平面PBC,PB?平面PBC, 所以，MD//平面PBC, 同理可得，MO//平面PBC, 因為，MD、MO?平面MDO,MDQMO=M, 所以，平面MDO//平面PBC, 因為，MN?平面MDO. 故，MN//平面PBC. 1 R12XR=gR3=36,所以R=6,得S球。=4nR2=4nX62=144n，選 C.] 4. B[對于選項A，若m//a,n//a,貝Sm與n可能相交、平行或異面，A錯誤；顯然選項B正確；對于選項C,若m丄a,m±n,則n?a或n//a,C錯誤；對于選項D，若m//a,m±n,則n//a或n?a或n與a相交.D錯誤.故選B.] 5.