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1、課題:空間的角
教學目標:掌握直線與平面所成角、二面角的計算方法,掌握三垂線定理及其逆定理,并能熟練解決有關問題,進一步掌握異面直線所成角的求解方法,熟練解決有關問題.
教學重點:直線與平面所成的角,二面角的求解.
(一) 主要知識及主要方法:
三垂線定理(課本):在平面內的一條直線,如果和
這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.
三垂線的逆定理(課本):在平面內的一條直線,如果和
這個平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線的射影垂直.
空間角的計算步驟 一作、二證、三算.
異面直線所成角:范圍:;計算方法:
①平移法:一
2、般情況下應用平行四邊形的對邊、梯形的平行對邊、三角形的中位線進行平移.②向量法:設、分別為異面直線、的方向向量,
則兩異面直線所成的角;③補體法;
④證明兩條異面直線垂直,即所成角為.
直線與平面所成的角:①定義:(課本)平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角;一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角.②范圍 ;③最小角定理:斜線和平面所成的角,是這條斜線和這個平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角.⑤斜線與平面所成角的計算:直接法:關鍵是作垂線,找射影 可利用面面垂直的性質; 平移法:通過三角形的中位線或平
3、行四邊形的對邊平移,計算其平行線與平面所成的角.也可平移平面通過等體積法求出斜線任一點到平面的距離,計算這點與斜足之間的線段長,則.
應用結論:如右圖所示,,為垂足,為斜足,
,與平面所成的角為,,
,則.
向量法:設是斜線的方向向量,是平面
的法向量,則斜線與平面所成的角.
二面角:①定義:平面內的一條直線把平面分為兩部分,
其中的每一部分叫做半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面
所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,
每個半平面叫做二面角的面.二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內分別作垂
4、直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角,叫做這個二面角的平面角.規(guī)定:二面角的兩個半平面重合時,二面角為,當兩個半平面合成一個平面時,二面角為,因此,二面角的大小范圍為.②確定二面角的方法:定義法;三垂線定理及其逆定理法;垂面法;射影面積法:,此方法常用于無棱二面角大小的計算;無棱二面角也可以先根據線面性質恢復二面角的棱,然后再用方法、計算大??;向量法:法一、在內,在內,其方向如左圖,則二面角 的平面角
;其方向如右圖,
則二面角的平面角
(同等異補)
法二、設,是二面角的兩個半平面
的法向量,其方向一個指向內側,另一個指向
外側(同等異補),則二面角的平面角
5、(二)典例分析:
問題1.(全國Ⅰ)四棱錐中,底面為平行四邊形,
側面底面.已知,
,,.
證明:;
求直線與平面所成角的大?。?
(本小題要求用多種方法解答,包括向量法).
問題2. (屆高三湖北、荊州、宜昌月模擬)
邊長為的正方體中,是棱
上任一點,().
若時,求證:面面;
試確定值,使直線與平面所成的角
的正切值為
6、.
問題3.(四川)如圖,是直角梯形,,∥,
,,又,,
,直線與直線所成的角為.
求證:平面⊥平面;
求二面角的大小;
求三棱錐的體積.
(要求第小題用多種方法解答,包括向量法).
問題4.(陜西)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中,
,,平面.,,,
求證:平面(此小題這里略去不做);求二面角的大?。?
(要求第小題用多種方法解答,包括向量法)
7、.
(三)課后作業(yè):
如圖所示,在棱長為的正方體中,
是底面的中心,,分別是,的
中點.那么異面直線和所成角的余弦值等于
(浙江文)在三棱錐中,,
點、分別是、的中點,底面.
求證:平面;
求直線與平面所成角的大小
如圖,的邊長為,,,
都垂直于平面,且,
,
8、點為的中點,求直線
與平面所成的角.
(四)走向高考:
(浙江)在如圖所示的幾何體中,平面,平面,,且,是的中點.
求證:;
求與平面所成的角.
(北京)如圖,在中,,斜邊.
可以通過以直線為軸旋轉得到,
且二面角是直二面角.動點的斜邊上.
求證:平面平面;
當為的中點時,求異面直線與所成角的大?。?
求與平面所成角的最大值.
v
A
B
C
D
(福建)如圖,正三棱柱的所有棱長都為,為中點.
求證:平面(此小題這里略去不做);
求二面角的大小;
求點到平面的距離.