【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第21練
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第21練 關(guān)于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型 [題型分析高考展望] 平面向量數(shù)量積的運算是平面向量的一種重要運算,應(yīng)用十分廣泛,對向量本身,通過數(shù)量積運算可以解決位置關(guān)系的判定、夾角、模等問題,另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關(guān)問題,因此是高考必考內(nèi)容,題型有選擇題、填空題,也在解答題中出現(xiàn),常與其他知識結(jié)合,進(jìn)行綜合考查. ??碱}型精析 題型一 平面向量數(shù)量積的基本運算 例1 (1)(2014天津)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120,點E,F(xiàn)分別在邊BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若=1,則λ的值為________. (2)已知圓O的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為切點,那么的最小值為( ) A.-4+ B.-3+ C.-4+2 D.-3+2 點評 (1)平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式:一是依據(jù)長度和夾角,二是利用坐標(biāo)運算,具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a,b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a,b的乘積寫法不同,不應(yīng)該漏掉其中的“”. (2)向量的數(shù)量積運算需要注意的問題:ab=0時得不到a=0或b=0,根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2=a2,但|ab|≤|a||b|. 變式訓(xùn)練1 (2015湖北)已知向量⊥,||=3,則=________. 題型二 利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 例2 (1)(2015重慶)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為( ) A. B. C. D.π (2)(2015石家莊模擬)已知向量a,b滿足|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=-2x3+3|a|x2+6abx+5在R上單調(diào)遞減,則向量a,b夾角的取值范圍是( ) A. B. C. D. 點評 求向量的夾角時要注意:(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角. 變式訓(xùn)練2 若兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|a|,則向量b與a+b的夾角為( ) A. B. C. D. 題型三 利用數(shù)量積求向量的模 例3 (1)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a與b的夾角為120,則|2a+b|等于( ) A.2 B.4 C.2 D.6 (2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則|+3|的最小值為________. 點評 (1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模,如向量a=(x,y),求向量a的模只需利用公式|a|=即可求解. (2)向量不放在坐標(biāo)系中研究,求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式,關(guān)鍵是會把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化:|a|=. 變式訓(xùn)練3 (2015浙江)已知e1,e2是空間單位向量,e1e2=,若空間向量b滿足be1=2,be2=,且對于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),則x0=__________,y0=________,|b|=________. 高考題型精練 1.(2015山東)已知菱形ABCD 的邊長為a,∠ABC=60,則 等于( ) A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2 2.(2014浙江)記max{x,y}=min{x,y}=設(shè)a,b為平面向量,則( ) A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 3.(2015湖南)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC.若點P的坐標(biāo)為(2,0),則|++|的最大值為( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.如圖,在等腰直角△ABO中,OA=OB=1,C為AB上靠近點A的四等分點,過C作AB的垂線l,P為垂線上任一點,設(shè)=a,=b,=p,則p(b-a)等于( ) A.- B. C.- D. 5.在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,則||的取值范圍是( ) A.(0,] B.(,] C.(,] D.(,] 6.如圖所示,△ABC中,∠ACB=90且AC=BC=4,點M滿足=3,則等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2014安徽)設(shè)a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個a和2個b排列而成.若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為( ) A. B. C. D.0 8.(2014江蘇)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,=2,則的值是________. 9.設(shè)非零向量a,b的夾角為θ,記f(a,b)=acos θ-bsin θ.若e1,e2均為單位向量,且e1e2=,則向量f(e1,e2)與f(e2,-e1)的夾角為________. 10.(2015湖南衡陽八中第六次月考)已知點O是銳角△ABC的外心,AB=8,AC=12,A=.若=x+y,則6x+9y=________. 11.已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1). (1)當(dāng)a∥b時,求cos2x-sin 2x的值; (2)設(shè)函數(shù)f(x)=2(a+b)b,已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=,b=2,sin B=,求f(x)+4cos(2A+)(x∈[0,])的取值范圍. 12.(2015黃岡模擬)在△ABC中,AC=10,過頂點C作AB的垂線,垂足為D,AD=5,且滿足=. (1)求|-|; (2)存在實數(shù)t≥1,使得向量x=+t,y=t+,令k=xy,求k的最小值. 答案精析 第21練 關(guān)于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型 ??碱}型精析 例1 (1)2 (2)D 解析 (1)如圖, =(+)(+)=(+)(+) =+++ =22cos 120+22+22+22cos 120=-2++-=-, 又∵=1,∴-=1,∴λ=2. (2)方法一 設(shè)||=||=x,∠APB=θ, 則tan =, 從而cos θ==. =||||cos θ =x2= = =x2+1+-3≥2-3, 當(dāng)且僅當(dāng)x2+1=, 即x2=-1時取等號, 故的最小值為2-3. 方法二 設(shè)∠APB=θ,0<θ<π, 則||=||=. =||||cos θ =()2cos θ =(1-2sin2) =. 令x=sin2,0- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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