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第6練 夯基礎(chǔ)——熟練掌握基本初等函數(shù)
[題型分析高考展望] 基本初等函數(shù)的性質(zhì)、圖象及其應(yīng)用是高考每年必考內(nèi)容，一般為二至三個選擇題、填空題，難度為中檔.在二輪復(fù)習中，應(yīng)該對基本函數(shù)的性質(zhì)、圖象再復(fù)習，達到熟練掌握，靈活應(yīng)用.對常考題型進行題組強化訓練，圖象問題難度稍高，應(yīng)重點研究解題技巧及解決此類問題的總體策略.
?？碱}型精析
題型一 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0且a≠1)為單調(diào)函數(shù)；當a>1時在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，當0
0且a≠1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是( )
A.(0,1)∪(1，＋∞) B.(0,1)
C.(1，＋∞) D.
點評 (1)指數(shù)函數(shù)值比較大小，除考慮指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、值域外，還需考慮將其轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
(2)數(shù)形結(jié)合思想是解決函數(shù)綜合問題的主要手段，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的圖象關(guān)系，比較圖象得出相關(guān)變量的方程或不等關(guān)系，從而使問題解決.
變式訓練1 (1)(2015山東)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
(2)(2015江蘇)不等式2x2－x＜4的解集為________.
題型二 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
y＝logax(a>0且a≠1)基本性質(zhì)：過定點(1,0)；
a>1時在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，00；
a>1時，x∈(1，＋∞)，y>0，x∈(0,1)，y<0；
y＝logax，x∈(0，＋∞)，y∈R，是非奇非偶函數(shù).
例2 (2014福建)若函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則所給函數(shù)圖象正確的是( )
點評 對于含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題，在應(yīng)用單調(diào)性時，要注意對底數(shù)進行討論.解決對數(shù)函數(shù)問題時，首先要考慮其定義域，其次再利用性質(zhì)求解.
變式訓練2 (1)(2015四川)設(shè)a，b為正實數(shù)，則“a＞b＞1”是“l(fā)og2a＞log2b＞0”的( )
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
(2)(2015蘇北四市聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(－a)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是________________.
題型三 冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
例3 (2014重慶)已知函數(shù)f(x)＝ 且g(x)＝f(x)－mx－m在
(－1,1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
點評 在冪函數(shù)中，y＝x－1非常重要，在高考中經(jīng)?？疾椋獣嬈浜瘮?shù)作平移變換后的圖象，并對其對稱中心、單調(diào)性作深入研究.
變式訓練3 (1)(2015湖南)設(shè)x∈R，則“x>1”是“x3>1”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
(2)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有
3個不同的實根x1，x2，x3，則x＋x＋x等于( )
A.13 B.
C.5 D.
高考題型精練
1.(2015重慶)函數(shù)f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是( )
A.[－3,1] B.(－3,1)
C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
2.(2015課標全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝2x+a的圖象關(guān)于直線y＝－x對稱，且f(－2)＋f(－4)＝1，則a等于( )
A.－1 B.1
C.2 D.4
3.(2014山東)已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是( )
A.a>1，c>1 B.a>1,01 D.0b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
5.(2014安徽)設(shè)a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，則( )
A.b0，b>0( )
A.若2a＋2a＝2b＋3b，則a>b
B.若2a＋2a＝2b＋3b，則ab
D.若2a－2a＝2b－3b，則a0且a≠1)有兩個實根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與y＝2a有兩個交點.
①當01時，如圖(2)，而y＝2a>1不符合要求.
綜上，00，且a≠1)的圖象過(3,1)點，可解得a＝3.選項A中，y＝3－x＝()x，顯然圖象錯誤；選項B中，y＝x3，由冪函數(shù)圖象可知正確；選項C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；選項D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關(guān)于y軸對稱，顯然不符，故選B.]
變式訓練2 (1)A (2)(－1,0)∪(1，＋∞)
解析 (1)若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故選A.
(2)若a>0，則log2a>loga，即2log2a>0，所以a>1.若a<0，則log(－a)>log2(－a)，即
2log2(－a)<0，所以0<－a<1，解得－11或－11時，x3>1成立，反過來，當x3>1時，x>1也成立.因此“x>1”是“x3>1”的充要條件，故選C.
(2)作出f(x)的圖象，由圖知，只有當f(x)＝1時有3個不同的實根；∵關(guān)于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3個不同的實數(shù)解x1，x2，x3，∴必有f(x)＝1，從而x1＝1，x2＝2，x3＝0，故可得x＋x＋x＝5，故選C.
高考題型精練
1.D [需滿足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定義域為(－∞，－3)∪(1，
＋∞).]
2.C [設(shè)f(x)上任意一點為(x，y)，關(guān)于y＝－x的對稱點為(－y，－x)，將(－y，－x)代入
y＝2x+a，所以y＝a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1,2a＝4，a＝2.]
3.D [由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換知0b>c.]
5.B [∵a＝log37，∴12.
∵c＝0.83.1，∴00時有2x＋2x<2x＋3x恒成立，
而要使2a＋2a＝2b＋3b成立，則必須有a>b.]
7.C [令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖.
由 得
∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為
{x|－11時，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排除C；當01
解析 畫出函數(shù)y＝f(x)與y＝a－x的圖象，如圖所示，所以a>1.
12.①②③④⑤
解析 因為a*b＝ln(ea＋eb)，b*a＝ln(eb＋ea)，
所以a*b＝b*a，即①對；
因為(a*b)＋c＝ln(ea＋eb)＋c＝ln[(ea＋eb)ec]
＝ln(ea＋c＋eb＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，所以②對；
只需令②中的c為－c，即有結(jié)論(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)，所以③對；
因為(a*b)*c＝[ln(ea＋eb)]*c＝ln[eln(ea＋eb)＋ec]
＝ln(ea＋eb＋ec)，
a*(b*c)＝a*[ln(eb＋ec)]＝ln[ea＋eln(eb＋ec)]
＝ln(ea＋eb＋ec)，
所以(a*b)*c＝a*(b*c)，即④對；
設(shè)＝x，則x*x＝a*b，
所以ln(ex＋ex)＝ln(ea＋eb)，
所以2ex＝ea＋eb，
所以x＝ln ，即＝ln ≥ln ＝，故⑤對.
故正確的命題是①②③④⑤.
【高考前三個月復(fù)習數(shù)學理科函數(shù)與導數(shù)】專題3 第6練
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