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1、學(xué)而思高中完整講義：直線.板塊五.直線中的對(duì)稱問(wèn)題.學(xué)生版 1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做橢圓． 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ①，焦點(diǎn)是，，且． ②，焦點(diǎn)是，，且． 3．橢圓的幾何性質(zhì)（用標(biāo)準(zhǔn)方程研究）： ⑴范圍：，； ⑵對(duì)稱性：以軸、軸為對(duì)稱軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心又叫做橢圓的中心； ⑶橢圓的頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，如圖中的； ⑷長(zhǎng)軸與短軸：焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段稱為橢圓的長(zhǎng)軸，如圖中線段的；另一對(duì)頂點(diǎn)間的線段叫做橢圓的

2、短軸，如圖中的線段． ⑸橢圓的離心率：，焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比，，越趨近于，橢圓越扁； 反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓． 4．直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō)，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為： 設(shè)直線：，圓錐曲線：，由 消去（或消去）得：． 若，，相交；相離；相切． 若，得到一個(gè)一次方程：①為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；②為拋物線，則與拋物線的對(duì)稱軸平行． 因此直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共

3、點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦． 求弦長(zhǎng)的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求； 另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則弦長(zhǎng)公式為． 兩根差公式： 如果滿足一元二次方程：， 則（）． 6．直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用解題思路有： ①?gòu)姆匠痰挠^點(diǎn)出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)進(jìn)行討論，這是用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)．要重視通過(guò)設(shè)而不求與弦長(zhǎng)公式簡(jiǎn)化計(jì)算，并同時(shí)注意在適當(dāng)時(shí)利用圖形的平面幾何性質(zhì)． ②以向量為工具，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)

4、算解決與中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、角度相關(guān)的問(wèn)題． 典例分析 【例1】 已知拋物線的方程為，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【例2】 點(diǎn)在直線上，若存在過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（ ） A．直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” B．直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” C．直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” D．直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)” 【例3】 如圖拋物線：和圓：，其中，直線經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，依次交，于四點(diǎn)，則的值為

5、 （ ） A． B． C． D． 【例4】 斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)，則 _ 【例5】 拋物線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是_____________． 【例6】 若直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則______． 【例7】 已知拋物線的一條弦，，，所在的直線與軸交于點(diǎn)，則 ． 【例8】 過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_______條 【例9】 對(duì)于拋物線：，我們稱滿足的點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋

6、物線的位置關(guān)系是_______ 【例10】 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是_______． 【例11】 若曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則、分別應(yīng)滿足的條件是 ． 【例12】 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為，則_______． 【例13】 已知拋物線（為常數(shù)，）上不同兩點(diǎn)、的橫坐標(biāo)恰好是關(guān)于的方程（為常數(shù)）的兩個(gè)根，則直線的方程為_(kāi)________________． 【例14】 拋物線截直線所得弦長(zhǎng)的中點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______，弦長(zhǎng)為_(kāi)_____．

7、 【例15】 已知拋物線，過(guò)定點(diǎn)作一弦，則_______． 【例16】 已知拋物線過(guò)點(diǎn)， ⑴求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程； ⑵直線：與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)及的值． 【例17】 ⑴設(shè)拋物線被直線截得的弦長(zhǎng)為，求值． ⑵以⑴中的弦為底邊，以軸上的點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)． 【例18】 已知點(diǎn)到定點(diǎn)（）與它到定直線的距離相等， ⑴求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； ⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的軌跡交于、兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與的斜率都存在時(shí)，求證直線、的斜率之和為． 【例19】 在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)

8、于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值． 【例20】 過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)作直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)為定直線：上的任意一點(diǎn)，試證明：三條直線、、的斜率成等差數(shù)列． 【例21】 已知拋物線．過(guò)動(dòng)點(diǎn)且斜率為的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)、．若，求的取值范圍． 【例22】 已知曲線為頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口向右的拋物線，又點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為， ⑴求拋物線的方程； ⑵證明：過(guò)點(diǎn)的任意一條直線與拋物線恒有公共點(diǎn)； ⑶若⑵中的直線分別與拋物線交于上下兩點(diǎn)，，，，，，，，又點(diǎn)，，，的縱坐標(biāo)依次成公差不為的等差數(shù)列，試分析與的大小關(guān)系． 【例23

9、】 已知拋物線和圓，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于、，交圓于（自下而上依次為），且，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【例24】 已知一條曲線在軸右邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差是1． ⑴求曲線的方程； ⑵是否存在正數(shù)，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，的任一直線，都有?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【例25】 已知，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足， ⑴當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡； ⑵過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，若在軸上存在一點(diǎn)，使得是等邊三角形，求的值． 【例26】 已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的拋物線，自

10、點(diǎn)引直線交曲線于、兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)記為．設(shè)． ⑴求曲線的方程； ⑵證明：； ⑶若，求的取值范圍． 【例27】 已知拋物線，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)交拋物線于兩點(diǎn)． ⑴證明：直線的斜率互為相反數(shù)； ⑵求面積的最小值； ⑶當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且．根據(jù)⑴⑵推測(cè)并回答下列問(wèn)題（不必說(shuō)明理由）： ①直線的斜率是否互為相反數(shù)？ ②面積的最小值是多少？ 【例28】 過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，自、向直線作垂線，垂足分別為、． ⑴當(dāng)時(shí)，求證：⊥； ⑵記、、的面積分別為、、，是否存在，使得對(duì)任意的，都有成立．若存在，求出的值；若不存在，

11、說(shuō)明理由． 【例29】 已知曲線是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡．是過(guò)點(diǎn)的直線，是上（不在上）的動(dòng)點(diǎn)；、在上，，軸（如圖）． ⑴求曲線的方程； ⑵求出直線的方程，使得為常數(shù)． 【例30】 已知拋物線：，點(diǎn)在軸的正半軸上，過(guò)的直線與相交、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)． ⑴若，的斜率為1，求以為直徑的圓的方程； ⑵若存在直線使得，，成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【例31】 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為． ⑴證明：點(diǎn)在直線上； ⑵設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程 ． 【例32】 已知拋物線及定點(diǎn)，是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線的另

12、一交點(diǎn)分別為． 求證：當(dāng)點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要存在且與是不同兩點(diǎn)），直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo) 【例33】 在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)． ⑴如果直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求的值； ⑵如果證明直線必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)． 【例34】 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是線段與軸的交點(diǎn)， ，． ⑴求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； ⑵記的軌跡的方程為，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的曲線的弦、，設(shè)、的中點(diǎn)分別為，． 求證：直線必過(guò)定點(diǎn)． 【例35】 已知：為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、、、滿足，，，，． ⑴當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程； ⑵若是軌跡上不同與的另一點(diǎn)，且存在非零實(shí)數(shù)，使得， 求證：．