正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ) 的圖象 教學(xué)目的： 1理解振幅、周期、頻率、初相的定義； 2理解振幅變換、相位變換和周期變換的規(guī)律; 3會用“五點法”畫出y=Asin(ωx+φ)的簡圖，明確A、ω和對函數(shù)圖象的影響作用； 4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。 5.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的能力，以及探究、創(chuàng)新的能力。 教學(xué)重點：熟練地對y＝sinx進行振幅、周期和相位變換。 教學(xué)難點：理解振幅變換、周期變換和相位變換的規(guī)律。 教學(xué)方法：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合作圖過程理解振幅和相位變化的規(guī)律。本節(jié)課采用作圖、觀察、歸納、啟發(fā)探究相結(jié)合的教學(xué)方法，運用現(xiàn)代化多媒體教學(xué)手段，進行教學(xué)活動，首先按照由特殊到一般的認知規(guī)律，由形及數(shù)，數(shù)形結(jié)合，通過設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納，形成規(guī)律，使學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行合作交流，在思考、探究和交流的過程中獲得對正弦函數(shù)圖象變換全面的體驗和理解 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動 設(shè)計意圖 復(fù)習(xí)引入 復(fù)習(xí)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) 教師提出問題，學(xué)生回答 為學(xué)生認識正弦型函數(shù)奠定基礎(chǔ) 概念形成及應(yīng)用舉例 通過觀察、考慮觀纜車，引出振幅、周期、頻率、初相的概念。 在函數(shù)中，點P旋轉(zhuǎn)一周所需要的時間，叫做點P的轉(zhuǎn)動周期。在1秒內(nèi)，點P轉(zhuǎn)動的周數(shù)，叫做轉(zhuǎn)動的頻率。與軸正方向的夾角叫做初相。 例1畫出函數(shù)y=2sinx xÎR；y=sinx xÎR的圖象（簡圖） 解：畫簡圖，我們用“五點法” ∵這兩個函數(shù)都是周期函數(shù)，且周期為2π ∴我們先畫它們在［0，2π］上的簡圖列表： x 0 p 2p sinx 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -2 0 sinx 0 0 - 0 作圖： 利用這類函數(shù)的周期性，我們把上面的簡圖向左、向右連續(xù)平移就可以得出y＝2sinx，x∈R，及y＝sinx，x∈R。的簡圖 (1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］ 圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍而得(橫坐標(biāo)不變) (2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］ 圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍而得(橫坐標(biāo)不變) 一般地，函數(shù)的值域是最大值是，最小值是，由此可知，的大小，反映曲線波動幅度的大小。因此也稱為振幅。 引導(dǎo),觀察,啟發(fā)：與y=sinx的圖象作比較，結(jié)論： 1．y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍得到的 2．它的值域[－A, A] ，最大值是A, 最小值是－A 3．若A<0 可先作y=－Asinx的圖象 ，再以x軸為對稱軸翻折 稱為振幅，這一變換稱為振幅變換 例2 畫出函數(shù) y＝sin(x＋)，x∈R，y＝sin(x－)，x∈R的簡圖 解：列表 x - x+ 0 2 sin(x+) 0 1 0 –1 0 描點畫圖： X x－ 0 2 sin(x–) 0 1 0 –1 0 引導(dǎo),觀察,啟發(fā)： (1)函數(shù)y＝sin(x＋)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線上所有的點向左平行移動個單位長度而得到 (2)函數(shù)y＝sin(x－)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線上所有點向右平行移動個單位長度而得到 一般地，函數(shù)y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當(dāng)＞0時)或向右(當(dāng)＜0時)平行移動｜｜個單位長度而得到(用平移法注意講清方向：“加左”“減右”) y＝sin(x＋)與y＝sinx的圖象只是在平面直角坐標(biāo)系中的相對位置不一樣，這一變換稱為相位變換 例3 畫出函數(shù)y=sin2x xÎR；y=sinx xÎR的圖象（簡圖） 解：函數(shù)y＝sin2x，x∈R的周期T＝＝π 我們先畫在［0，π］上的簡圖,在[0, p]上作圖,列表： 2x 0 p 2p x 0 p y=sin2x 0 1 0 -1 0 作圖： 函數(shù)y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π 我們畫［0，4π］上的簡圖，列表： 0 p 2p x 0 p 2p 3p 4p sin 0 1 0 -1 0 (1)函數(shù)y＝sin2x，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的 (2)函數(shù)y＝sin，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)而得到 引導(dǎo), 觀察啟發(fā): 與y=sinx的圖象作比較 1．函數(shù)y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變） 2．若ω<0則可用誘導(dǎo)公式將符號“提出”再作圖 ω決定了函數(shù)的周期，這一變換稱為周期變換 例4 畫出函數(shù)y＝3sin(2x＋)，x∈R的簡圖 解：(五點法)由T＝，得T＝π 列表： x – 2x+ 0 π 2π 3sin(2x+ 0 3 0 –3 0 描點畫圖： 左移個單位 這種曲線也可由圖象變換得到：即： y＝sinx y＝sin(x＋) 縱坐標(biāo)不變 橫坐標(biāo)變?yōu)楸? y＝sin(2x＋) 縱坐標(biāo)變?yōu)?倍 橫坐標(biāo)不變 一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的圖象，可以看作用下面的方法得到： 先把正弦曲線上所有的點向左(當(dāng)＞0時)或向右(當(dāng)＜0時)平行移動｜｜個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω＞1時)或伸長(當(dāng)0＜ω＜1時)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得各點的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A＞1時)或縮短(當(dāng)0＜A＜1時)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變) 另外，注意一些物理量的概念: A ：稱為振幅；T＝：稱為周期；f＝：稱為頻率； ωx＋：稱為相位x＝0時的相位，稱為初相 評述：由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換) 先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換 先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0),再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0)平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象 課堂練習(xí)： 1若將某函數(shù)的圖象向右平移以后所得到的圖象的函數(shù)式是y＝sin(x＋)，則原來的函數(shù)表達式為( ) Ay＝sin(x＋) By＝sin(x＋) Cy＝sin(x－) Dy＝sin(x＋)－ 答案：A 2函數(shù)y＝3sin(2x＋)的圖象，可由y＝sinx的圖象經(jīng)過下述哪種變換而得到 ( ) 答案：B A向右平移個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)擴大到原來的3倍 B向左平移個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)擴大到原來的3倍 C向右平移個單位，橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的倍 D向左平移個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的倍 3.已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋)，在同一周期內(nèi)，當(dāng)x＝時函數(shù)取得最大值2，當(dāng)x＝時函數(shù)取得最小值－2，則該函數(shù)的解析式為( ) Ay＝2sin(3x－) By＝2sin(3x＋) Cy＝2sin(＋) Dy＝2sin(－) 解析：由題設(shè)可知，所求函數(shù)的圖象如圖所示，點(，2)和點(，－2)都是圖象上的點，且由“五點法”作圖可知，這兩點分別是“第二點”和“第四點”，所以應(yīng)有： 解得 答案：B 由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數(shù)式： 一般來說，在這類由圖象求函數(shù)式的問題中，如對所求函數(shù)式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正負，角的范圍等)，那么所求的函數(shù)式應(yīng)有無數(shù)多個不同的形式(這是由于所求函數(shù)是周期函數(shù)所致)，因此這類問題多以選擇題的形式出現(xiàn)，我們解這類題的方法往往因題而異，但逆用“五點法”作圖的思想?yún)s滲透在各不同解法之中 小結(jié) 平移法過程： 1.教師演示觀纜車旋轉(zhuǎn)過程，指導(dǎo)學(xué)生認識和感受。 2.教師提問：通過分析，對觀纜車的旋轉(zhuǎn)有什么影響？ 3.學(xué)生回答。 4.教師引導(dǎo)歸納。 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其中表示一個振動量時，A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常稱為這個振動的振幅；往復(fù)一次所需的時間，稱為這個振動的周期；單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)，稱為振動的頻率；稱為相位；時的相位φ稱為初相。 5.學(xué)生在黑板上利用“五點法”畫圖。 教師提問：y=2sinx xÎR和y=sinx xÎR的圖象與的圖象間的關(guān)系怎樣？ 學(xué)生回答：(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］ 圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍而得(橫坐標(biāo)不變) (2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］ 圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍而得(橫坐標(biāo)不變) 教師提問：一般地 y=Asinx的圖象與y＝sinx的圖象間具有怎樣的關(guān)系呢？ 學(xué)生回答：y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍得到的 學(xué)生在黑板上利用“五點法”畫圖。 教師提問：y＝sin(x＋)，和y＝sin(x－)的圖象與的圖象間的關(guān)系怎樣？ 學(xué)生回答：(1)函數(shù)y＝sin(x＋)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線上所有的點向左平行移動個單位長度而得到 (2)函數(shù)y＝sin(x－)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線上所有點向右平行移動個單位長度而得到 教師提問：一般地 y＝sin(x＋)的圖象與y＝sinx的圖象間具有怎樣的關(guān)系呢？ 學(xué)生回答：一般地，函數(shù)y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當(dāng)＞0時)或向右(當(dāng)＜0時)平行移動｜｜個單位長度而得到(用平移法注意講清方向：“加左”“減右”) 學(xué)生在黑板上利用“五點法”畫圖。 教師提問：y=sin2x和y=sinx的圖象與的圖象間的關(guān)系怎樣？ 學(xué)生回答：(1)函數(shù)y＝sin2x，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的 (2)函數(shù)y＝sin，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)而得到 教師提問：一般地 y=sinωx的圖象與y＝sinx的圖象間具有怎樣的關(guān)系呢？ 學(xué)生回答：函數(shù)y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變） 學(xué)生在黑板上利用“五點法”畫圖。 教師提問：y＝3sin(2x＋)，的圖象與的圖象間的關(guān)系怎樣？ 學(xué)生回答：由y＝sinx左移個單位，得到y(tǒng)＝sin(x＋)的圖象，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)楸?，得到y(tǒng)＝sin(2x＋)的圖象，縱坐標(biāo)變?yōu)?倍，橫坐標(biāo)不變，得到的圖象。 教師提問：一般地y＝Asin(ωx＋)的圖象與y＝sinx的圖象間具有怎樣的關(guān)系呢？ 學(xué)生討論并回答 學(xué)生自己完成。 1.要求學(xué)生通過實例，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引出數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)來源于實踐又指導(dǎo)實踐的辨證唯物主義觀點及勇于探索的創(chuàng)新精神。 2.通過作圖，使學(xué)生加強對“五點”法的理解。 3.觀察圖象間的關(guān)系，通過對比，探求有關(guān)性質(zhì)以及圖象間的變換。4. 鼓勵學(xué)生大膽猜想，使學(xué)生將直觀問題抽象化，揭示本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。 5.培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的解決問題方法，以及歸納概括的能力。 鞏固本節(jié)課所學(xué)習(xí)內(nèi)容 布置作業(yè) 作業(yè)：P .49.練習(xí)A1.2.3.4.P50.練習(xí)B.1.2.3.4.5 復(fù)習(xí)回顧 小結(jié) 平移法過程： 作y=sinx（長度為2p的某閉區(qū)間） 得y=sin(x+φ) 得y=sinωx 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ) 得y=Asin(ωx+φ)的圖象，先在一個周期閉區(qū)間上再擴充到R上 沿x軸平 移|φ|個單位 橫坐標(biāo) 伸長或縮短 橫坐標(biāo)伸 長或縮短 沿x軸平 移||個單位 縱坐標(biāo)伸 長或縮短 縱坐標(biāo)伸 長或縮短