選修4—5 不等式選講 隨堂演練鞏固 1.對(duì)于R,不等式|x+10|-|x-2|的解集為 . 【答案】 【解析】 令y=|x+10|-|x-2|= 則可畫(huà)出其函數(shù)圖象如圖所示: 由圖象可以觀察出使的x的范圍為. ∴|x+10|-|x-2|的解集為. 2.（2020江西高考，理15）對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,若|x-1||y-2|1,則|x-2y+1|的最大值為 . 【答案】 5 【解析】 |x-2y+1|=|x-1-2(y-2)-2||x-1|+2|y-2|+1+2+2=5. 3.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-4|+1. (1)畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖象; (2)若不等式的解集非空,求a的取值范圍. 【解】 (1)由于f(x)= 則函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示. (2)由函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)或a<-2時(shí),函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象有交點(diǎn),故不等式的解集非空時(shí),a的取值范圍為. 4.設(shè)a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),求證: . 【證明】 由a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),作差得 . 當(dāng)時(shí)從而 得; 當(dāng)a<b時(shí)從而 得. ∴. 5.若a>b>c,且a+b+c=0,證明:. 【證明】 c)>0. ∵a>b>c,a+b+c=0, ∴a-c>0,2a+c=a+(a+c)=a-b>0, 即知(a-c)(2a+c)>0. 故. 6.已知求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于. 【證法一】 假設(shè)三式同時(shí)大于 即有 三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b. 又. 同理. ∴(1-a)a(1-b與假設(shè)矛盾, ∴結(jié)論正確. 【證法二】 假設(shè)三式同時(shí)大于 ∵0<a<1,∴1-a>0, . 同理都大于. 三式相加,得矛盾. ∴原命題成立. 課后作業(yè)夯基 基礎(chǔ)鞏固 1.若不等式|x+1|+|x-2|對(duì)任意R恒成立,則a的取值范圍是 . 【答案】 【解析】 方法一:∵|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3, ∴使原不等式恒成立的a的取值范圍是. 方法二:|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上一點(diǎn)A(x)到B(-1)與C(2)的距離之和,而|BC|=3, ∴|AB|+|AC|.∴. 方法三:設(shè)f(x)=|x+1|+|x-2|= ∴f(x)的圖象如圖所示, ∴.∴. 2.不等式||的解集是 . 【答案】 【解析】 ∵||=||, 而恒成立, ∴原不等式等價(jià)于 即2x>-6,x>-3. ∴原不等式的解集為. 3.（2020天津高考，理13）已知集合A={R||x+3|+|x-4|9},B={R| },則集合  . 【答案】 {x|} 【解析】 解不等式|x+3|+|x-4|. (1)當(dāng)x<-3時(shí),|x+3|+|x-4|=-x-3+4-9, ∴即; (2)當(dāng)時(shí),|x+3|+|x-4|=x+3+4-9恒成立, ∴; (3)當(dāng)x>4時(shí),|x+3|+|x-4| ∴即. 綜上所述,A={R|}. ∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. ∴B={R|}. ∴{R|}{R|}={R|}. 4.如果關(guān)于x的不等式|x-3|-|x-4|<a的解集不是空集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . 【答案】 a>-1 【解析】 a>(|x-3|-|x-4|令y=|x-3|-|x-4|, 由幾何意義得故a>-1. 5.若不等式||>|a-2|+1對(duì)于一切非零實(shí)數(shù)x均成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . 【答案】 (1,3) 【解析】 ∵||∴|a-2|+1<2, 即|a-2|<1,解得1<a<3. 6.解不等式|3x-2|>4. 【解法一】 由|3x-2|>4,得3x-2<-4或3x-2>4, 即或x>2. 所以原不等式的解集為{x|或x>2}. 【解法二】 (數(shù)形結(jié)合法): 畫(huà)出函數(shù)y=|3x-2|= 的圖象,如下圖所示: |3x-2|=4,解得x=2或 ∴|3x-2|>4時(shí)或x>2. ∴原不等式的解集為{x|或x>2}. 7.解不等式:|x|+|2x+7|<5. 【解】 當(dāng)時(shí),-x-(2x+7)<5,x>-4,∴-4<; 當(dāng)時(shí),-x+2x+7<5,x<-2, ∴<x<-2;當(dāng)x>0時(shí),x+2x+7舍去. ∴原不等式的解集為(-4,-2). 8.若關(guān)于x的不等式x+|x-1|有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解】 設(shè)f(x)=x+|x-1|,則f(x)= 所以f(x)的最小值為1. 所以當(dāng)時(shí)有解, 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 9.解不等式x+|2x-1|<3. 【解】 原不等式可化為 或 解得或. 所以原不等式的解集是{x|}. 10.求證:. 【證明】 設(shè) 定義域?yàn)閧x|R且},f(x)分別在上是增函數(shù). 又|a+b||a|+|b|, ∴f(|a+b||a|+|b|), 即 . ∴原不等式成立. 11.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式的解集; (2)若不等式的解集為{x|},求a的值. 【解】 (1)當(dāng)a=1時(shí)可化為|x-1|. 由此可得或. 故不等式的解集為{x|或-1}. (2)由得|x-a|. 此不等式化為不等式組 或 即 或 因?yàn)閍>0,所以不等式組的解集為{x|}. 由題設(shè)可得故a=2. 12.已知且求證:若a,b,c成等差數(shù)列,則不可能成等差數(shù)列. 【證明】 假設(shè)成等差數(shù)列,則化簡(jiǎn)得b(a+c)=2ac. ① 因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b. ② 把②代入①,得由此得. 這與相矛盾,因此假設(shè)不成立,故原命題正確. 13.(2020安徽高考,理19)(1)設(shè)證明x+y+; (2)設(shè)證明loglogloglogloglog. 【證明】 (1)由于所以. 將上式中的右式減左式,得[y[xy(x+y)+1] y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1). 既然所以(xy-1)(x-1. 從而所要證明的不等式成立. (2)設(shè)loglog 由對(duì)數(shù)的換底公式得loglogloglog. 于是,所要證明的不等式即為 其中x=loglog. 故由(1)可知所要證明的不等式成立. 拓展延伸 14.已知函數(shù)f(x)=|x-a|, (1)若不等式的解集為{x|},求實(shí)數(shù)a的值; (2)在(1)的條件下,若對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解法一】 (1)由得|x-a|解得a+3. 又已知不等式的解集為{x|}, 所以 解得a=2. (2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|. 設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5),于是 g(x)=|x-2|+|x+3|= 所以當(dāng)x<-3時(shí),g(x)>5; 當(dāng)時(shí),g(x)=5; 當(dāng)x>2時(shí),g(x)>5. 綜上可得,g(x)的最小值為5. 從而,若 即對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立, 則m的取值范圍為. 【解法二】 (1)同解法一. (2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|.設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5). 由|x-2|+|x+3||(x-2)-(x+3)|=5(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)得,g(x)的最小值為5. 從而,若 即對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,則m的取值范圍為.