課時作業(yè)(二十七)　平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 一、選擇題 1．已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為(　　) A.　　 B． C.　　 D． 答案：A 解析：＝(3，－4)，||＝5. 與同方向的單位向量為＝，故應(yīng)A. 2．如圖，平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含邊界)．設(shè)＝m＋n，且點P落在第Ⅲ部分，則實數(shù)m，n滿足(　　) A．m>0，n>0　　 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0 答案：B 解析：由題意及平面向量基本定理，得 在＝m＋n中，m>0，n<0. 故應(yīng)選B. 3．在平面直角坐標(biāo)系中，點O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得向量，則點Q的坐標(biāo)是(　　) A．(－7，－)　　　　　　 B．(－7，) C．(－4，－2) D．(－4，2) 答案：A 解析：∵點O(0,0)，P(6,8)， ∴＝(6,8)， 設(shè)＝(10cos θ，10sin θ)， 則cos θ＝，sin θ＝， ∵向量繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得向量， 設(shè)Q(x，y)，則 x＝10cos＝10 ＝－7， y＝10sin＝10 ＝－， ∴Q點的坐標(biāo)為(－7，－)． 故應(yīng)選A. 4．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，則tan α等于(　　) A．2 B． C．－2 D．－ 答案：A 解析：∵a∥b，則a＝λb， ∴2cos α－sin α＝0，即tan α＝2. 故應(yīng)選A. 5．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c為(　　) A．(1，－1) B．(－1,1) C．(－4,6) D．(4，－6) 答案：D 解析：設(shè)向量c＝(x，y)， ∵向量4a,3b－2a，c首尾相接能構(gòu)成三角形， ∴4a＋3b－2a＋c＝0， 即 解得x＝4，y＝－6， 即c＝(4，－6)． 故應(yīng)選D. 6．已知非零向量e1，e2，a，b滿足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.給出以下結(jié)論： ①若e1與e2不共線，a與b共線，則k＝－2； ②若e1與e2不共線，a與b共線，則k＝2； ③存在實數(shù)k，使得a與b不共線，e1與e2共線； ④不存在實數(shù)k，使得a與b不共線，e1與e2共線． 其中正確結(jié)論的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：若a與b共線，即a＝λb，即2e1－e2＝λke1＋λe2，而e1與e2不共線， ∴解得k＝－2.故①正確，②不正確． 若a與b不共線，若e1與e2共線，則e2＝λe1，有 ∵e1，e2，a，b為非零向量，∴λ≠2且λ≠－k， ∴a＝b，即a＝b，這時a與b共線， ∴不存在實數(shù)k滿足題意，故③不正確，④正確． 綜上，正確的結(jié)論為①④. 故應(yīng)選B. 二、填空題 7．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值為________． 答案： 解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)， 依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0， 即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 8．(2020·徐州模擬)在△ABC中，若點D是邊AB上靠近點B的三等分點，若＝a，＝b，則等于________． 答案：a＋b 解析：∵D是邊AB上靠近點B的三等分點， ∴＝， ＝＋，且＝－＝b－a， ∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b. 9．(2020·大慶模擬)已知A(－3,0)，B(0，)，O為坐標(biāo)原點，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，則實數(shù)λ的值為________． 答案：1 解析：由題意知，＝(－3,0)，＝(0，)，則＝(－3λ，)， 由∠AOC＝30°知以x軸的非負(fù)半軸為始邊，OC為終邊的一個角為150°， ∴tan 150°＝，即－＝－，∴λ＝1. 10．給出以下四個命題： ①四邊形ABCD是菱形的充要條件是＝，且||＝||； ②點G是△ABC的重心，則＋＋＝0； ③若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，則四邊形ABCD是等腰梯形； ④若||＝8，||＝5，則3≤||≤13. 其中所有正確命題的序號為________． 答案：①③④ 解析：對于①，當(dāng)＝時，則四邊形ABCD為平行四邊形，又||＝||，故該平行四邊形為菱形，反之，當(dāng)四邊形ABCD為菱形時，則＝，且||＝||，故正確；對于②，若G為△ABC的重心，則＋＋＝0，故不正確；對于③，由條件知＝－，所以∥且||>||，又||＝||，故四邊形ABCD為等腰梯形，正確；對于④，當(dāng)，共線同向時，||＝3，當(dāng)，共線反向時，||＝8＋5＝13，當(dāng)，不共線時3<||<13，故正確． 綜上，正確命題為①③④. 三、解答題 11．平面內(nèi)給定三個向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝(3,1)，回答下列問題： (1)求4a＋2b－c； (2)若(a＋kb)∥(2a－c)，求實數(shù)k. 解：(1)4a＋2b－c＝4(2,1)＋2(－1,2)－(3,1)＝(8,4)＋(－2,4)－(3,1)＝(3,7)． (2)∵(a＋kb)∥(2a－c)， 又a＋kb＝(2－k,1＋2k)，2a－c＝(1,1)， ∴2－k－(1＋2k)＝0， ∴k＝. 12．已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，＝t1＋t2， (1)求點P在第二象限的充要條件； (2)證明：當(dāng)t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，P三點共線； (3)試求當(dāng)t1，t2滿足什么條件時，O，A，B，P能組成一個平行四邊形． 解：(1)＝t1(1,2)＋t2(3,3)＝(t1＋3t2,2t1＋3t2)，P在第二象限的充要條件是有解． ∴－t2＜t1＜－3t2且t2＜0. (2)證明：當(dāng)t1＝1時，有－＝t2， ∴＝t2，∴不論t2為何實數(shù)，A，B，P三點共線． (3)由＝(t1＋3t2,2t1＋3t2)，得點P(t1＋3t2,2t1＋3t2)， ∴O，A，B，P能組成一個平行四邊形有三種情況． 當(dāng)＝，有解得 當(dāng)＝，有解得 當(dāng)＝，有解得 13．(2020·瀏陽模擬)如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動點，且P，G，Q三點共線． (1)設(shè)＝λ，將用λ，，表示； (2)設(shè)＝x，＝y(tǒng)，證明：＋是定值． 解：(1)＝＋＝＋λ ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. (2)證明：一方面，由(1)，得 ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 另一方面，∵G是△OAB的重心， ∴＝＝×(＋) ＝＋.② 而，不共線， ∴由①②，得 解得∴＋＝3(定值)．