第八課時 平面向量的坐標運算（二） 教學(xué)目標： 掌握已知平面向量的和、差，實數(shù)與向量的積的坐標表示方法并能熟練運用. 教學(xué)重點： 平面向量的坐標運算. 教學(xué)難點： 平面向量的坐標運算. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 平面向量的坐標運算法則. Ⅱ.講授新課 ［例1］已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，那么與是否共線?線段AB與線段AC是否共線? 解：∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， ＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，又2×6－3×4＝0， ∴∥，∴與共線. 又直線AB與直線AC顯然有公共點A， ∴A、B、C三點共線，即線段AB與線段AC共線. 綜上，與共線，線段AB與線段AC也共線. ［例2］已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求頂點D的坐標. 對此題，課本是利用向量相等(即＝)來求解的，較為簡便.另外，此題若利用同學(xué)們剛學(xué)過且也較為熟悉的向量加法或減法都是可以順利求解的，為開拓同學(xué)們的解題思路，下面就介紹這下面六種解法. 解法一：(利用向量加法) 先依題意在坐標系內(nèi)作出ABCD(如圖)，設(shè)頂點D的坐標為(x，y)，并連結(jié)OA、OD，則＝＋. ∵＝，∴＝＋ ∴(x，y)＝(－2，1)＋(3－(－1)，4－3) ＝(－2，1)＋(4，1)＝(2，2) ∴頂點D的坐標為(2，2). 解法二：(利用向量減法) 先依題意在坐標系內(nèi)作出ABCD(如圖)，設(shè)頂點D的坐標為(x，y)，并連結(jié)OA、OD，則＝－ ∵＝，∴＝－， ∴(x，y)＝(3－(－1)，4－3)－(0－(－2)，0－1) ＝(4，1)－(2，－1)＝(2，2) ∴頂點D的坐標為(2，2). 解法三：(利用中點的向量表達式) 如圖，在ABCD中，AC的中點M即是BD的中點. ∵＝ (＋)＝ (＋)， ＋＝＋， ＝＋－ ＝(－2，1)＋(3，4)－(－1，3)＝(2，2). ∴頂點D的坐標為(2，2). 解法四：(利用中點坐標公式) 如圖，在ABCD中，AC的中點即為BD的中點，設(shè)點D的坐標為(x，y)，則 . 解得x＝2，y＝2. ∴頂點D的坐標為(2，2). 解法五：(利用平面內(nèi)兩點間的距離公式) 如圖，設(shè)點D的坐標為(x，y). 在ABCD中，｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜， 有 解得，. 經(jīng)檢驗是方程組的解. ∴頂點D的坐標為(2，2). 解法六：(利用平行四邊形對邊的向量相等) 如上圖，設(shè)頂點D的坐標為(x，y)， 在ABCD中， ＝， ＝(x＋2，y－1)， ＝(4，1)，(x＋2，y－1)＝(4，1)， 即， 解得x＝2，y＝2， ∴頂點D的坐標為(2，2). ［例3］在△OAB中，＝a，＝b，設(shè)點M分所成的比為2∶1，點N分所成的比為3∶1，而OM和BN交于點P，試用a和b表示OP. 解：＝＋＝＋ ＝＋ (－)＝＋ ＝a＋b ∵與共線，設(shè)＝a＋b ① 又∵與共線，設(shè)＝s， ∴＝＋＝＋s＝＋s(－) ＝(1－s) ＋s＝ (1－s) ＋s ＝ (1－s)a＋sb ② 由①②知 ∴t＝，＝a＋b ［例4］向量b＝(－3，1)，c＝(2，1)，若向量a與c共線，求｜b＋a｜的最小值. 解：設(shè)a＝λc＝(2λ，λ)， 則b＋a＝(－3＋2λ，1＋λ)， ∴｜b＋a｜＝＝ ＝≥ ∴｜b＋a｜的最小值為，此時a＝c. ［例5］已知b的方向與a＝(－3，4)的方向相同，且｜b｜＝15，求b. 解：設(shè)a的單位向量為e， 則e＝＝(－，); ∵b與a方向相同 ∴b＝｜b｜·e＝15·(－，)＝(－9，12) ∴b＝(－9，12). Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P76練習(xí)1，2，3 Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量的坐標表示，熟練平面向量的坐標運算，并能進行簡單的應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P77習(xí)題 5，6，7，8 平面向量的坐標運算 1．已知a＝（－1，3），b＝（x，1），且a∥b，則x等于 （ ） A.3 B. C.－3 D.－ 2．已知A（x，2），B（5，y－2)，若＝（4，6），則x、y的值為 （ ） A.x＝－1，y＝0 B.x＝1，y＝10 C.x＝1，y＝－10 D.x＝－1，y＝－10 3．已知M（3，－2），N（－5，－1），＝，則P點的坐標為 （ ） A.（－8，1） B.（－1，－） C.（1，） D.（8，－1） 4．若a－b＝（1，2），a＋b＝(4，－10），則a等于 （ ） A.（－2，－2） B.（2，2） C.（－2，2） D.（2，－2） 5．若向量a＝（－1，x)，b＝(－x，2）共線且方向相同，則x＝ . 6．已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k）若A、B、C三點共線，則k＝ . 7．已知|a|＝2，b＝(－1，），且a∥b，則a＝ . 8．已知作用于坐標原點的三個力F1（3，4），F(xiàn)2（2，－5），F(xiàn)3（3，1），求作用于原點的合力F1＋F2＋F3的坐標. 9．設(shè)A、B、C、D四點坐標分別為（－1，0），（0，2），（2，），（，），求證：ABCD為梯形. 10．已知A（2，3），B（－1，5），滿足＝，＝3，＝－，求C、D、E三點坐標. 平面向量的坐標運算答案 1．D 2．B 3．B 4．D 5． 6．11或－2 7．（－，3）或（，－3） 8．解：由F1＋F2＋F3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0） 9．證明：∵＝（1，2），＝（，1）＝ ∴∥，且||＝2|| ∴四邊形ABCD為梯形. 10．解：由A（2，3），B（－1，5）得＝（－3，2） ∴＝＝（－1，） ∴C（1，） ＝3＝（－9，6） ∴D（－7，9） 又∵＝－＝（，－） ∴E（，）