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1、(新課程)2020高中數(shù)學(xué) 第一章章末綜合檢測(cè)
(時(shí)間:120分鐘;滿分:160分)
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,把答案填在題中橫線上)
1.角α,β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),若α=30°,則β=________.
解析:畫(huà)出圖形可知β與-α的終邊相同,故β=-30°+k·360°(k∈Z).
答案:-30°+k·360°(k∈Z)
2.已知扇形的周長(zhǎng)是6 cm,面積是2 cm2則扇形的圓心角的弧度數(shù)是________.
解析:設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α,半徑為r,弧長(zhǎng)為l,則解得或∴α=4或α=1.
答案:1或4
3.已知sinθ=,cosθ=,其中<
2、θ<π,則tanθ的值為_(kāi)_______.
解析:∵sin2θ+cos2θ=1,∴()2+()2=1,解得m=0,或m=8.又<θ<π,∴sinθ>0.當(dāng)m=0時(shí),sinθ=-,不符合題意;當(dāng)m=8時(shí),sinθ=,cosθ=-.
∴tanθ=-.
答案:-
4.已知P(-,m)為角α的終邊上的一點(diǎn),且sinα=,則m的值為_(kāi)_______.
解析:r=|OP|=,∴sinα===,解得m=±.∵sinα=>0,∴m>0,∴m=.
答案:
5.已知tan(3π-α)=2,則的值為_(kāi)_______.
解析:∵tan(3π-α)=2,∴tanα=-2,∴原式====.
答案:
6
3、.已知cos31°=m,則sin239°tan149°的值為_(kāi)_______.
解析:∵cos31°=m,∴sin31°=,∵sin239°tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=(-cos31°)·(-tan31°)=.
答案:
7.函數(shù)f(x)=tanωx(ω>0)的圖象中相鄰兩支截直線y=所得的線段長(zhǎng)為,則f()的值是________.
解析:由題意知T=,所以ω=4,所以f(x)=tan4x,所以f()=tanπ=0.
答案:0
8.函數(shù)f(x)=()|cosx|在[-π,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______.
解析:只需求出y=|cos
4、x|在[-π,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間.
答案:[-,0]和[,π]
9.(2020年高考湖北卷改編)函數(shù)f(x)=sin(-),x∈R的最小正周期為_(kāi)_______.
解析:因?yàn)門(mén)=,ω=,所以T==4π.
答案:4π
10.(2020年高考重慶卷改編)下列函數(shù)中,周期為π,且在[,]上為減函數(shù)的是________(填序號(hào)).
①y=sin(2x+); ?、趛=cos(2x+);
③y=sin(x+); ④y=cos(x+).
解析:因?yàn)楹瘮?shù)的周期為π,所以排除③④,又因?yàn)閥=cos(2x+)=-sin2x在[,]上為增函數(shù),所以②不符合,只有函數(shù)y=sin(2x+)的周期
5、為π,且在[,]上為減函數(shù).
答案:①
11.(2020年高考四川卷改編)將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象的函數(shù)解析式為_(kāi)_______.
解析:y=sinxy=sin(x-)y=sin(x-).
答案:y=sin(x-)
12.設(shè)ω>0,函數(shù)y=sin(ωx+)+2的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合,則ω的最小值是________.
解析:由函數(shù)的圖象向右平移π個(gè)單位后與原圖象重合,得π是此函數(shù)周期的整數(shù)倍.又ω>0,∴·k=π(k∈Z),∴ω=k(k∈Z),∴ωmin=.
答案:
13.設(shè)
6、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的圖象的最大值是3,對(duì)稱(chēng)軸方程是x=,要使圖象的解析式為y=3sin(2x+),還應(yīng)給出一個(gè)條件是________.
解析:當(dāng)T=π時(shí),ω=2,y=3sin(2x+φ),當(dāng)x=時(shí),
y=3sin(2×+φ)=3,φ+=kπ+,k∈Z,則φ=kπ+,k∈Z.∵|φ|<π+,∴φ=π+.
答案:T=π
14.已知函數(shù)y=2sin(ωx+θ)為偶函數(shù)(0<θ<π),其圖象與直線y=2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2,若|x1-x2|的最小值為π,則ω=________,θ=________.
解析:由已知T=π,∴ω=2,θ=kπ+(k
7、∈Z).
答案:2
二、解答題(本大題共6小題,共90分,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
15.(本小題滿分14分)已知角x的終邊過(guò)點(diǎn)P(1,).
(1)求sin(π-x)-sin(+x)的值;
(2)寫(xiě)出角x的集合S.
解:(1)∵角x的終邊過(guò)點(diǎn)P(1,),∴可設(shè)x=1,y=,則r=2,∴sinx=,cosx=,∴sin(π-x)-sin(+x)=sinx-cosx=.
(2)由(1)知sinx=,∴x=2kπ+,
∴S={x|x=2kπ+,k∈Z}.
16.(本小題滿分14分)已知α是第三象限角,且f(α)=.
(1)化簡(jiǎn)f(α);
(2)若cos
8、(α-)=,求f(α)的值.
解:(1)f(α)==-cosα.
(2)∵cos(α-)=cos(-3·+α)=-sinα=,
∴sinα=-,cosα=- =-,
∴f(α)=.
17.(本小題滿分14分)已知f(x)=sin(2x+)+,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到?
解:(1)函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z) 得到kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所求單調(diào)增區(qū)間為[kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)變換如下:
y=
9、sin2xy=sin[2(x+)]
y=sin(2x+)+
18.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=1+sin(2x-),
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值;
(2)畫(huà)出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-,]上的圖象.
解:(1)函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)==π,當(dāng)sin(2x-)=1時(shí),f(x)取得最大值1+.
(2)由(1)知:
x
-
-
y
1
1-
1
1+
1
故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-,]上的圖象如圖所示.
19.(本小題滿分16分)(2020年杭州高一檢測(cè))函數(shù)f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|
10、<)的一段圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),如圖所示.
(1)求函數(shù)f1(x)的表達(dá)式;
(2)將函數(shù)y=f1(x)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=f2(x)的圖象,求y=f2(x)的最大值,并求出此時(shí)自變量x的取值.
解:(1)由圖知,T=π,于是ω==2.將y=Asin2x的圖象向左平移,得y=Asin(2x+φ) 的圖象,于是φ=2·=.將(0,1)代入y=Asin(2x+),得A=2.故f1(x)=2sin(2x+).
(2)依題意,f2(x)=2sin[2(x-)+]=-2cos(2x+),當(dāng)2x+=2kπ+π,即x=kπ+(k∈Z) 時(shí),ymax=2.此時(shí)x的取值為{x|x=kπ+
11、,k∈Z}.
20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,且ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示.
(1)求A,ω,φ的值;
(2)若方程f(x)=a在(0,)上有兩個(gè)不同的實(shí)根,試求a的取值范圍.
解:(1) 由圖象易知A=1,函數(shù)f(x)的周期為T(mén)=4×(-)=2π,∴ω=1,
∵π-=,
∴ 此函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,故φ=.
(2)由(1)知函數(shù)解析式為f(x)=sin(x+).
∴方程f(x)=a在(0,)上有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于y=f(x),x∈(0,π)與y=a有兩個(gè)交點(diǎn).
當(dāng)x=0時(shí),f(x)=,
∴ a∈(,1)時(shí),y=a與y=f(x)有兩個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)x=π時(shí),f(x)=0,
∴a∈(-1,0)時(shí),y=a與y=f(x)也有兩個(gè)交點(diǎn),
故所求a∈(,1)∪(-1,0).