專題限時(shí)集訓(xùn)(二十) [第20講　分類與整合和化歸與轉(zhuǎn)化思想] (時(shí)間：45分鐘) 1．已知sin－x＝，則cos－x＝(　　) A. B. C．－ D．－ 2．已知tanα＋＝3，則tanα的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 3．若偶函數(shù)f(x)在(－∞，－1]上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是(　　) A．f－<f(－1)<f(2) B．f(－1)<f－<f(2) C．f(2)<f(－1)<f－ D．f(2)<f－<f(－1) 4．Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則“Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 5．函數(shù)y＝2sinx＋cos－x圖象的一條對(duì)稱軸方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝π 6．設(shè)a>0，a≠1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差小于1，則a的取值范圍是(　　) A．(0，1)∪(1，＋∞) B．0，∪(2，＋∞) C.，1∪(2，＋∞) D．(1，＋∞) 7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，則該數(shù)列前2 012項(xiàng)和等于(　　) A．1 340 B．1 341 C．1 342 D．1 343 8．設(shè)0<a<1，函數(shù)f(x)＝loga(a2x－3ax＋3)，則使f(x)>0的x的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(loga2，0) D．(loga2，＋∞) 9．若cos＋α＝2sinα－，則sin(α－2π)sin(α－π)－sin＋αsin－α＝________． 10．設(shè)x、y滿足約束條件則的最大值為________． 11．如圖20－1，圓臺(tái)上底半徑為1，下底半徑為4，母線AB＝18，從AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，則繩子的最短長(zhǎng)度為________． 圖20－1 12．袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球． (1)試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請(qǐng)列出所有可能的結(jié)果； (2)若摸到紅球時(shí)得2分，摸到黑球時(shí)得1分，求3次摸球所得總分為5的概率． 13．某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a(3≤a≤5)元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x(9≤x≤11)元時(shí)，一年的銷售量為(12－x)2萬件． (1)求分公司一年的利潤(rùn)L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q(a)． 14．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋(0<a<1)，討論f(x)的單調(diào)性． 專題限時(shí)集訓(xùn)(二十) 【基礎(chǔ)演練】 1．C　[解析] cos＝cos＋－x＝－sin－x＝－. 2．A　[解析] 方法1：tanα＝tanα＋－＝＝＝. 方法2：由tanα＋＝3，得＝3，解得tanα＝. 3．D　[解析] 由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(2)＝f(－2)，因?yàn)椋?<－<－1且函數(shù)f(x)在(－∞，－1]上是增函數(shù)，所以f(－2)<f－<f(－1)，即f(2)<f－<f(－1)． 4．D　[解析] 若Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，則設(shè)為Sn＝an2＋bn＋c(a≠0)，則當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝Sn－Sn－1＝2an＋b－a，當(dāng)n＝1，S1＝a＋b＋c，只有當(dāng)c＝0時(shí)，數(shù)列才是等差數(shù)列；若數(shù)列為等差數(shù)列，則Sn＝na1＋＝d＋a1－n，當(dāng)d≠0為二次函數(shù)，當(dāng)d＝0時(shí)，為一次函數(shù)，所以“Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的既不充分也不必要條件，選D. 【提升訓(xùn)練】 5．B　[解析] 因y＝2sinx＋cos－x＝2sin2x＋＝1－cos2x＋＝1＋sin2x，易知直線x＝是其一條對(duì)稱軸，選B. 6．B　[解析] 當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值分別為loga2a＝loga2＋1，logaa＝1，它們的差為loga2，且0<loga2<1，即log2a>1，故a>2；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值分別為logaa＝1，loga2a＝loga2＋1，它們的差為－loga2<1，即loga2>－1，即log2a<－1，即a<. 7．C　[解析] 因?yàn)閍1＝1，a2＝1，所以根據(jù)an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，得a3＝|a2－a1|＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0，…，故數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列．又2 012＝670×3＋2，所以該數(shù)列前2 012項(xiàng)和等于670×2＋2＝1 342.故選C. 8．C　[解析] 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得不等式0<a2x－3ax＋3<1，換元后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解．令t＝ax，即0<t2－3t＋3<1，因?yàn)閠2－3t＋3>0恒成立，只要解不等式t2－3t＋3<1即可，即解不等式t2－3t＋2<0，解得1<t<2，故1<ax<2，取以a為底的對(duì)數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得loga2<x<0.正確選項(xiàng)C. 9．－　[解析] 已知條件即sinα＝2cosα，求解目標(biāo)即cos2α－sin2α.已知條件轉(zhuǎn)化為tanα＝2，求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化為＝，把已知代入得求解結(jié)果是－. 10．5　[解析] 約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，表示平面上一定點(diǎn)－1，與可行域內(nèi)任一點(diǎn)連線斜率的2倍．由圖易得當(dāng)該點(diǎn)為(0，4)時(shí)，得的最大值為5. 11．21　[解析] 沿母線AB把圓臺(tái)側(cè)面展開為扇環(huán)AMBB′M′A′，化為平面上的距離求解．設(shè)截得圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)度為l，則＝，解得l＝24，圓錐展開后扇形的中心角為＝，此時(shí)在三角形ASM′(S為圓錐的頂點(diǎn))中，AS＝24，SM′＝15，根據(jù)余弦定理得AM′＝＝＝21. 12．解：(1)當(dāng)三次取球都是紅球時(shí)，有一種結(jié)果，即(紅，紅，紅)； 當(dāng)三次取球有兩個(gè)紅球時(shí)，有三種結(jié)果，即(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)； 當(dāng)三次取球有一個(gè)紅球時(shí)，有三種結(jié)果，即(紅，黑，黑)，(黑，紅，黑)，(黑，黑，紅)； 當(dāng)三次取球沒有紅球時(shí)，有一種結(jié)果，即(黑，黑，黑)． 一共有8種不同的結(jié)果． (2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A，則事件A包含的基本事件為：(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑、紅、紅)，事件A包含的基本事件數(shù)為3，由(1)可知，基本事件總數(shù)為8，所以事件A的概率P(A)＝. 13．解：(1)分公司一年的利潤(rùn)L(萬元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為 L＝(x－a－3)(12－x)2(9≤x≤11)． (2)L′(x)＝(12－x)(18＋2a－3x)． 令L′(x)＝0得x＝6＋a或x＝12(舍)． ①當(dāng)3≤a<時(shí)，6＋a<9，此時(shí)L(x)在[9，11]上單調(diào)遞減， L(x)max＝L(9)＝54－9a. ②當(dāng)≤a≤5時(shí)，9≤6＋a<11，此時(shí)L(x)max＝L＝4. 所以，當(dāng)3≤a<時(shí)，每件售價(jià)為9元，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)＝54－9a；當(dāng)≤a≤5時(shí)，每件售價(jià)為6＋a元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)＝4. 14．證明：f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)． 由f′(x)＝0， 即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1. (1)若0<a<，則x2>x1.當(dāng)0<x<1或者x>－1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)1<x<－1時(shí)，f′(x)>0.故此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1)，－1，＋∞，單調(diào)遞增區(qū)間是1，－1. (2)若a＝時(shí)，x1＝x2，此時(shí)f′(x)≤0恒成立，且僅在x＝處f′(x)＝0，故此時(shí)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． (3)若<a<1，則0<x2<x1.當(dāng)0<x<－1或者x>1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)－1<x<1時(shí)，f′(x)>0.故此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0，－1，(1，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是－1，1. 綜上所述：當(dāng)0<a<時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1)，－1，＋∞，單調(diào)遞增區(qū)間是1，－1； 當(dāng)a＝時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，＋∞)； 當(dāng)<a<1，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0，－1，(1，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是－1，1.