《數(shù)學選考部分 坐標系與參數(shù)方程 1 坐標系 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數(shù)學選考部分 坐標系與參數(shù)方程 1 坐標系 文（56頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、系列4部分選修4-4坐標系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標系【教材基礎回顧】1.伸縮變換_其中點P(x,y)對應到點P(x,y).xx,(0),yy,0)（2.極坐標系與點的極坐標在如圖極坐標系中,點O是_,射線Ox是_,為_(通常取逆時針方向),為_(表示極點O與點M的距離),點M的極坐標是_.極點極軸極角極徑M(,)3.直角坐標與極坐標的互化設M是平面內的任意一點,它的直角坐標、極坐標分別為(x,y)和(,),則 2_,x _,y _,tan_. y(x 0)xcos sin x2+y2 【金榜狀元筆記】1.明辨兩個坐標伸縮變換關系式 點(x,y)在原曲線上,點(x,y)在變換后的曲線上,因此點(x,

2、y)的坐標滿足原來的曲線方程,點(x,y)的坐標滿足變換后的曲線方程.xx(0)yy(0) ，2.極坐標方程與直角坐標方程互化(1)公式代入:直角坐標方程化為極坐標方程公式x=cos 及y=sin 直接代入并化簡.(2)整體代換:極坐標方程化為直角坐標方程,變形構造形如cos ,sin ,2的形式,進行整體代換. 【教材母題變式】1.在同一平面直角坐標系中經過伸縮變換 后,曲線C變?yōu)榍€2x2+8y2=1,求曲線C的方程.【解析】把 代入曲線2x2+8y2=1,可得2(5x)2+8(3y)2=1,化為50 x2+72y2=1,即為曲線C的方程.x5xy3y，x5xy3y2.已知點M的直角坐標是

3、(-1, ),求點M的極坐標.【解析】因為點M的直角坐標是(-1, ),所以 所以= 所以點M的極坐標為 33 223132 tan301， ， ），23；2(2).3，3.在極坐標系中,求過點(1,0)并且與極軸垂直的直線方程.【解析】在直角坐標系中,過點(1,0)并且與極軸垂直的直線方程是x=1,其極坐標方程為cos =1.4.已知直線l的極坐標方程為2sin求點 到直線l的距離.【解析】直線l的極坐標方程為2sin 對應的直角坐標方程為:y-x=1,點A的極坐標為 它的直角坐標為(2,-2).點A到直線l的距離為: ()24，7A(2 2)4，()24，7A(2 2)4， ，2 2 15

4、 2.22 【母題變式溯源】題號題號知識點知識點源自教材源自教材1 1伸縮變換伸縮變換P8T5P8T52 2求點的極坐標求點的極坐標P12T5P12T53 3求直線的極坐標方求直線的極坐標方程程P15T2(2)P15T2(2)4 4極坐標方程的應用極坐標方程的應用P15T5P15T5考向一 伸縮變換【典例1】在平面直角坐標系中,求下列方程所對應的圖形經過伸縮變換 后的圖形.(1)5x+2y=0.(2)x2+y2=1.1xx21yy3，【解析】伸縮變換 (1)若5x+2y=0,則5(2x)+2(3y)=0,所以5x+2y=0經過伸縮變換后的方程為5x+3y=0,為一條直線.1xxx 2x21y

5、3yyy3則，(2)若x2+y2=1,則(2x)2+(3y)2=1,則x2+y2=1經過伸縮變換后的方程為4x2+9y2=1,為橢圓.【一題多變】經過伸縮變換 后,曲線C變?yōu)楸纠?2)中變換前的曲線,求曲線C的方程.【解析】把 代入方程x2+y2=1,得25x2+9y2=1,所以曲線C的方程為25x2+9y2=1.x5xy3y，x5xy3y【技法點撥】伸縮變換后方程的求法平面上的曲線y=f(x)在變換: 的作用下的變換方程的求法是將 代入y=f(x),得xx(0),yy(0) xx,yy 整理之后得到y(tǒng)=h(x),即為所求變換之后的方程.提醒:應用伸縮變換時,要分清變換前的點的坐標(x,y)與

6、變換后的坐標(x,y).yxf( )，【同源異考金榜原創(chuàng)】1.求曲線x2+y2=1經過: 變換后得到的新曲線的方程.x3x,y4y【解析】曲線x2+y2=1經過: 變換后,即將 代入圓的方程.可得 即所求新曲線方程為: x3x,y4yxx,3yy422xy1916 ，22xy1.9162.在同一坐標系中,求將曲線y= sin 3x變?yōu)榍€y=sin x的伸縮變換公式.【解析】將曲線y= sin 3x經過伸縮變換變?yōu)閥=sin x即y=sin x,設伸縮變換公式是1212xx(0,0)yy ，把伸縮變換關系式代入式得:y=sin x與的系數(shù)對應相等得到: 變換公式為: 23，x3xy2y.，考向

7、二 極坐標與直角坐標的互化【典例2】在極坐標系下,已知圓O:=cos +sin 和直線l: 2sin().42(1)求圓O和直線l的直角坐標方程.(2)當(0,)時,求直線l與圓O公共點的一個極坐標.【解析】(1)圓O:=cos +sin ,即2=cos +sin ,圓O的直角坐標方程為:x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0,直線l: 即sin -cos =1,2sin()42，則直線l的直角坐標方程為:y-x=1,即x-y+1=0.(2)由 故直線l與圓O公共點的一個極坐標為 22x 0 xyx y 0y 1x y 1 0 ，得，(1, ).2【誤區(qū)警示】1.極坐標方程與直角坐標方程

8、的互化易錯用互化公式.2.在極坐標系下,點的極坐標不唯一性易忽視.如極坐標(,)(,+2k)(kZ),(-, +2k)(kZ)表示同一點的坐標.【技法點撥】1.極坐標方程與直角坐標方程的互化(1)直角坐標方程化為極坐標方程:將公式x=cos 及y=sin 直接代入直角坐標方程并化簡即可.(2)極坐標方程化為直角坐標方程:通過變形,構造出形如cos ,sin ,2的形式,再應用公式進行代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形技巧.2.極角的確定由tan 確定角時,應根據(jù)點P所在象限取最小正角.(1)當x0時,角才能由tan = 按上述方法確定.(2)當x=0時,tan 沒

9、有意義,這時可分三種情況處理:當x=0,y=0時,可取任何值;當x=0,y0時,可取= 當x=0,y0),M的極坐標為(0,)(00),由題設知|OP|=,|OM|=0,由|OM|OP|=16得C2的極坐標方程=4cos (0),因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設點B的極坐標為(B,)(B0),由題設知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面積S= Bsin AOB=4cos 當= 時,S取得最大值2+ 所以OAB面積的最大值為2+ 1|OA|2|sin ()|332|sin (2)| 23.32 123.3.【技法點撥】判斷位置關系和求最值問題的方法(1)已

10、知極坐標方程討論位置關系時,可以先化為直角坐標方程,化陌生為熟悉再進行解答.(2)已知極坐標方程解答最值問題時,通?？赊D化為三角函數(shù)模型求最值問題,比直角坐標系中求最值的運算量小.提醒:在曲線的方程進行互化時,一定要注意變量的范圍,注意轉化的等價性. 【同源異考金榜原創(chuàng)】命題點1位置關系問題1.在極坐標系中,判斷直線4cos (- )+1=0與圓=2sin 的公共點的個數(shù).6【解析】直線方程可化為2sin + cos +1=0,即 x+2y+1=0,圓為x2+(y-1)2=1,因為圓心到直線的距離d= 1,所以有兩個交點.2 32 334命題點2弦長問題2.在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(

11、x- )2+(y+1)2=9,以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求圓C的極坐標方程.(2)直線OP:= (R)與圓C交于點M,N,求線段MN的長.36【解題指南】(1)利用直角坐標方程化極坐標方程的方法,求圓C的極坐標方程.(2)利用|MN|=|1-2|,求線段MN的長.【解析】(1)(x- )2+(y+1)2=9可化為x2+y2-2 x+2y-5=0,故其極坐標方程為2-2 cos +2sin -5=0.333(2)將= 代入2-2 cos +2sin -5=0,得2-2-5=0,所以1+2=2,12=-5,所以|MN|=|1-2|= 634 202 6.命題點3最值問題3

12、.在極坐標系中,點A在圓C:2-2cos -4sin +4=0上,點P的坐標為(1,0),求|AP|的最小值【解析】圓C:x2+y2-2x-4y+4=0(x-1)2+(y-2)2=1,所以|AP|min=|PC|-r=2-1=1.4.在極坐標系中,已知點 點P是曲線sin 2=4cos 上任意一點,設點P到直線cos +1=0的距離為d,求|PA|+d的最小值A(1)2，【解析】點 化為直角坐標為(0,1).曲線sin 2=4cos ,即2sin 2=4cos ,可得直角坐標方程:y2=4x.焦點F(1,0).直線cos +1=0化為直角坐標方程:x+1=0.由拋物線的定義可得:d=|PF|.

13、A(1)2，所以|PA|+d=|PA|+|PF|AF|= 則|PA|+d的最小值為 22112.2.核心素養(yǎng)系列（六十）數(shù)學建模極坐標方程中的核心素養(yǎng)建立有關曲線的極坐標方程,研究解析幾何中位置關系、交點坐標、弦長和最值問題.【典例】(2015全國卷)在直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C1,C2的極坐標方程.(2)若直線C3的極坐標方程為= (R),設C2與C3的交點為M,N,求C2MN的面積.4【解析】(1)因為x=cos ,y=sin ,所以C1的極坐標方程為cos =-2,C2的極坐標方程為2-2cos -4sin +4=0.(2)將= 代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3 +4=0,解得1=2 ,2= .故1-2= ,即|MN|= .由于C2的半徑為1,所以C2MN的面積為 .42222212