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1、2019-2020年高二數(shù)學(xué)《數(shù)列的極限》教案滬教版
、教學(xué)內(nèi)容分析
極限概念是微積分中最重要和最基本的概念之一,因?yàn)槲⒎e分中其它重要的基本概念(如導(dǎo)數(shù)、微分、積分等)都是用極限概念來(lái)表述的,而且它們的運(yùn)算和性質(zhì)也要用極限的運(yùn)算和性質(zhì)來(lái)推導(dǎo),同時(shí)數(shù)列極限的掌握也有利于函數(shù)極限的學(xué)習(xí),所以,極限概念的掌握至關(guān)重要.
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)
1.理解數(shù)列極限的概念,能初步根據(jù)數(shù)列極限的定義確定一些簡(jiǎn)單數(shù)列的極限.
2.觀(guān)察運(yùn)動(dòng)和變化的過(guò)程,初步認(rèn)識(shí)有限與無(wú)限、近似與精確、量變與質(zhì)變的辯證
關(guān)系,提高的數(shù)學(xué)概括能力、抽象思維能力和審美能力.
3.利用劉徽的割圓術(shù)說(shuō)明極限,滲透愛(ài)國(guó)主義教育,增
2、強(qiáng)民族自豪感和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的
興趣.
三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
重點(diǎn):數(shù)列極限的概念以及簡(jiǎn)單數(shù)列的極限的求解.難點(diǎn):數(shù)列極限的定義的理解.
四、教學(xué)用具準(zhǔn)備
電腦課件和實(shí)物展示臺(tái),通過(guò)電腦的動(dòng)畫(huà)演示來(lái)激發(fā)興趣、引發(fā)
思考、化解難點(diǎn),即對(duì)極限定義的理解,使學(xué)生初步的完成由有限到無(wú)限的過(guò)渡,運(yùn)用實(shí)物展示臺(tái)來(lái)呈現(xiàn)學(xué)生的作業(yè),指出學(xué)生課堂練習(xí)中的優(yōu)點(diǎn)和不足之處,及時(shí)反饋.
五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)
實(shí)例引入
運(yùn)用與深化(例題解析、鞏固練習(xí))
課堂小結(jié)并布置作業(yè)
六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
一、情景引入
1、創(chuàng)設(shè)情境,引出課題
1.觀(guān)察
教師:在古代有人曾寫(xiě)道:
“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭.
3、”哪位同學(xué)能解釋一下此話(huà)
意思?
學(xué)生:一根一尺長(zhǎng)的木棒,
第一天取它的一半,第二天取第一天剩下的一半,……,如此繼
續(xù)下去,永遠(yuǎn)也無(wú)法取完思考
教師:如果把每天取得的木棒長(zhǎng)度排列起來(lái),會(huì)得到一組怎樣的數(shù)?
111
學(xué)生:2'4'8'……
3.討論
1
'2n'
教師;隨著的增大,數(shù)列的項(xiàng)會(huì)怎樣變化?
學(xué)生:慢慢靠近0.
教師:這就是我們今天要學(xué)習(xí)的數(shù)列的極限引出課題
二、學(xué)習(xí)新課
2、觀(guān)察歸納,形成概念
(1)直觀(guān)認(rèn)識(shí)教師:請(qǐng)同學(xué)們考察下列幾個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)(a)
① “項(xiàng)”隨的增大而減?、诘即笥?
③當(dāng)無(wú)限增大時(shí),相應(yīng)的項(xiàng)可以“無(wú)限趨近
4、于”常數(shù)0
(b)
① “項(xiàng)”的正負(fù)交錯(cuò)地排列,并且隨的增大其絕對(duì)值減小
② 當(dāng)無(wú)限增大時(shí),相應(yīng)的項(xiàng)可以“無(wú)限趨近于”常數(shù)0
c)
①“項(xiàng)”隨的增大而增大②但都小于1
③ 當(dāng)無(wú)限增大時(shí),相應(yīng)的項(xiàng)可以“無(wú)限趨近于”常數(shù)1
教師:用電腦動(dòng)畫(huà)演示數(shù)列的不同的趨近方式:
(a)從右趨近(c)從左趨近(b)從左右
兩方趨近,使學(xué)生明白不同的趨近方式教師:上面的莊子講的話(huà)體現(xiàn)了極限的思想,其實(shí)我們的先輩還會(huì)用極限的思想解決問(wèn)題,我國(guó)魏晉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家劉徽于公元前263年創(chuàng)立的“割圓術(shù)”借助圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng),得到圓的周長(zhǎng)就是極限思想的一次很好的應(yīng)用.劉徽把他的操作方法概括這樣幾個(gè)字:
5、“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至不可割,則與圓和體,而無(wú)所失矣.”
概念辨析
教師:歸納數(shù)列極限的描述性定義
學(xué)生:一般地,如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí),數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限的趨近于某一個(gè)常數(shù)那么就說(shuō)數(shù)列以
為極限.
教師:是不是每個(gè)數(shù)列都有極限呢?
學(xué)生1:(思考片刻)不是.如學(xué)生2:教師:請(qǐng)大家再看一下,下面的數(shù)列極限存在嗎?如果有,說(shuō)出極限.
n是奇數(shù)
(a)a=<
n
n是偶數(shù)
(b)無(wú)窮數(shù)列:0.3,0.33,0.333,…,0.333???3,…
'7J
n
學(xué)生1:
數(shù)列(a)有極限,當(dāng)是奇數(shù)時(shí),數(shù)列的極限是0,當(dāng)是偶數(shù)時(shí),數(shù)列的極限是1.數(shù)列(b)的極限
是
6、0.4.
教師:
有不同意見(jiàn)嗎?
學(xué)生2:
數(shù)列(b)的極限是0.34
學(xué)生3:
數(shù)列(b)的極限不存在
(這時(shí)課堂上的學(xué)生們都在紛紛議論,大家對(duì)數(shù)列(b)的極限持有各自不同的觀(guān)點(diǎn),但對(duì)數(shù)
列(a)的極限的認(rèn)識(shí)基本贊同學(xué)生1的觀(guān)點(diǎn)?)
教師:數(shù)列(a)有極限嗎?數(shù)列(b)的極限究竟是多少?(學(xué)生們們?nèi)咚迹?
學(xué)生4:數(shù)列(a)沒(méi)極限原因是極限的描述性定義中要求趨近與一常數(shù)數(shù)列(b)的極限是
教師:回答的非常正確(用動(dòng)畫(huà)演示數(shù)列(b)的逼近過(guò)程),同學(xué)們對(duì)(a)判斷錯(cuò)誤的原因是對(duì)描述性定義還未很好的理解.對(duì)(b)判斷錯(cuò)誤的原因是描述性定義的局限性導(dǎo)致的,數(shù)列(b)隨著的無(wú)
7、限增大,它會(huì)趨近于0.4、0.34、0.334,但是接近到一定的程度就不在接近了,所以無(wú)限的接近必須有量化的表述.
(2)量化認(rèn)識(shí)
教師:用什么來(lái)體現(xiàn)這種無(wú)限接近的過(guò)程呢?學(xué)生:用和之間的距離的縮小過(guò)程,即
趨近0
教師:現(xiàn)在以數(shù)列為例說(shuō)明這種過(guò)程觀(guān)察:
從左丄
W從右
1111
III11?
140X扌
距離量化::隨著的增大,的值越來(lái)越小,不論給定怎樣小的一個(gè)正數(shù)(記為E:),只要充分的大都有上比給定的正數(shù)小.
教師:請(qǐng)同桌的兩位同學(xué),一個(gè)取£,另一個(gè)找.
問(wèn)題拓展
學(xué)生:老師再來(lái)幾個(gè)其它的數(shù)列
教師:以上我們以提到的和1-丄,1-_,1-_,...,1—丄
8、,…為例,大家可以再操作一下.
1010210310n
教師:(學(xué)生問(wèn)答完畢)大家作了這項(xiàng)活動(dòng)以后有什么感受?
學(xué)生:只要數(shù)列有極限,對(duì)于給定的正數(shù)£,總可以找到一項(xiàng),使得它后面的所有的項(xiàng)與數(shù)列的極限的差的絕對(duì)值小于£.
教師:順理成章的給出數(shù)列極限的定義:一般地,設(shè)數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列,是一個(gè)常數(shù),如果對(duì)于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)£,
總存在正整數(shù)N,使得只要正整數(shù),就有,那么就說(shuō)數(shù)列以為極限,記作,或者時(shí).教師:常數(shù)數(shù)列的極限如何?
學(xué)生:是這個(gè)常數(shù)本身.
教師:為什么?學(xué)生:因?yàn)闃O限和項(xiàng)的差的絕對(duì)值為0,當(dāng)然比所有給定的正數(shù)小.
三、鞏固練習(xí)
講授例題
已知數(shù)列
①把這
9、個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)在數(shù)軸上表示出來(lái).
② 寫(xiě)出的解析式?③中的第幾項(xiàng)以后的所有項(xiàng)都滿(mǎn)足
④ 指出數(shù)列的極限.
課堂練習(xí)
第41至42的練習(xí).
四、課堂小結(jié)
① 無(wú)窮數(shù)列是該數(shù)列有極限的什么條件.
② 常數(shù)數(shù)列的極限就是這個(gè)常數(shù).
③ 數(shù)列極限的描述性定義.
④ 數(shù)列極限的的定義
五、作業(yè)布置
1.課本第42頁(yè)習(xí)題2,3,42.根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí),結(jié)合你自己對(duì)數(shù)列極限的體會(huì),寫(xiě)一篇《我看極限》的短文,格式不限(本作業(yè)的意圖是想把學(xué)生的態(tài)度、情感、價(jià)值觀(guān)融入到所學(xué)的知識(shí)中去.)
七、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明
對(duì)于數(shù)列極限的學(xué)習(xí),對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是有限到無(wú)限認(rèn)識(shí)上的一次飛躍,由于學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的局限性和學(xué)習(xí)習(xí)慣、方法的影響,學(xué)習(xí)過(guò)程中的困難會(huì)較大,根據(jù)一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律和學(xué)生的心理特征,設(shè)計(jì)了直觀(guān)認(rèn)識(shí)、量化認(rèn)識(shí)和極限定義三個(gè)教學(xué)步驟,由淺入深,由表及里,由感性到理性的逐步深化,力求使學(xué)生很好的理解極限的概念.