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1、第第1 1講講 直線與圓直線與圓考情分析考情分析總綱目錄考點一 直線的方程考點二 圓的方程考點三 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考點一 直線的方程1.直線方程的五種形式(1)點斜式:y-y1=k(x-x1).(2)斜截式:y=kx+b.(3)兩點式:=(x1x2,y1y2).(4)截距式:+=1(a0,b0).(5)一般式:Ax+By+C=0(A,B不同時為0).121yyyy121xxxxxayb2.三種距離公式(1)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點間的距離:|AB|=.(2)點P到直線l的距離:d=(其中點P(x0,y0),直線l的方程:Ax+By+C=0).(3)兩平行線間的距離:d=

2、(其中兩平行線方程分別為l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0且C1C2).222121()()xxyy0022|AxByCAB2122|CCAB3.兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1l2k1=k2,l1l2k1k2=-1,若給出的直線方程中存在字母系數(shù),則要考慮斜率是否存在.典型例題典型例題(1)若直線l1:x+ay+6=0與l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,則l1與l2間的距離為()A.B.C.D.(2)已知直線l過直線3x+4y-2=0與直線2x-3y+10=0的交點,且垂直于直線6x+4y-7=0,則直線l的方程為()

3、A.2x-3y+10=0B.2x-3y-10=0C.4x-6y+5=0D.4x-6y-5=028 2338 33解析解析(1)由l1l2得(a-2)a=13,且a2a36,解得a=-1,l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,l1與l2間的距離d=,故選B.(2)由題意聯(lián)立兩直線方程,得解得即交點為(-2,2).由直線l垂直于直線6x+4y-7=0,得直線l的斜率為.所以直線l的方程為y-2=(x+2),即2x-3y+10=0,故選A.23222631( 1) 8 233420,23100,xyxy2,2,xy 2323答案答案(1)B(2)A方法歸納方法歸納求解直線方程應(yīng)注意的問題(1)求

4、解兩條直線平行的問題時,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出參數(shù)的值后,要注意代入檢驗,排除兩條直線重合的情況.(2)要注意幾種直線方程的局限性.點斜式、斜截式要求直線不能與x軸垂直;兩點式要求直線不能與坐標(biāo)軸垂直;截距式方程不能表示過原點的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.(3)求直線方程要考慮直線的斜率是否存在.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.“C=5”是“點(2,1)到直線3x+4y+C=0的距離為3”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案答案B點(2,1)到直線3x+4y+C=0的距離為3等價于=3,解得C=5或C=-25,所以“C=5”是“點(2

5、,1)到直線3x+4y+C=0的距離為3”的充分不必要條件,故選B.22|3 24 1|34C 2.過點P(-2,2)作直線l,使直線l與兩坐標(biāo)軸在第二象限內(nèi)圍成的三角形面積為8,這樣的直線l一共有()A.3條B.2條C.1條D.0條答案答案 C設(shè)直線l的方程為+=1(a0),由題意得解得a=-4,b=4,故滿足條件的直線l一共有1條.故選C.xayb221,1()8,2abab考點二 圓的方程1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時,其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地,當(dāng)圓心在原點時,方程為x2+y2=r2.2.圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E

6、2-4F0)表示以為圓心,為半徑的圓.,22DE2242DEF典型例題典型例題(1)(2016浙江,10,6分)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是,半徑是.(2)與圓C:x2+y2-2x+4y=0外切于原點,且半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案答案(1)(-2,-4);5(2)(x+2)2+(y-4)2=205解析解析(1)方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則a2=a+2,故a=-1或2.當(dāng)a=2時,方程為4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,亦即+(y+1)2=-,不成立,故舍去;當(dāng)a=-1時,方

7、程為x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圓心為(-2,-4),半徑為5.(2)易知所求圓的圓心在直線y=-2x上,所以可設(shè)所求圓的圓心為(a,-2a)(a0),因為所求圓與圓C:x2+y2-2x+4y=0外切于原點,且半徑為2,所以=2,可得a2=4,則a=-2或a=2(舍去).所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-4)2=20.52212x54522( 2 )aa 5方法歸納方法歸納求圓的方程的兩種方法(1)直接法:利用圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,數(shù)形結(jié)合直接求出圓心坐標(biāo)、半徑,進而求出圓的方程.(2)待定系數(shù)法:先設(shè)出圓的方程,再列出滿足條件

8、的方程(組)求出各系數(shù),進而求出圓的方程.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則ABC外接圓的圓心為.33答案答案2 31,3解析解析設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則ABC外接圓的圓心為.10,330,7230,DFEFDEF2,4 3,31,DEF 2 31,32.已知圓C過點(-1,0),且圓心在x軸的負半軸上,直線l:y=x+1被該圓所截得的弦長為2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2答案答案(x+3)2+y2=4解析解析設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(m,0)(m0),則圓心C到直線l:y=x+1的距離d=,弦長為2=|m+1|=2,解得m=-3或m=1(舍),圓心坐

9、標(biāo)為(-3,0),半徑為2,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+y2=4.|1|2m22(1)md22考點三 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相交、相切和相離.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法主要有點線距離法和判別式法.(1)點線距離法:設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r,則dr直線與圓相離.(2)判別式法:設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直線l:Ax+By+C=0,聯(lián)立消去y,得關(guān)于x的一元二次方程,其根的判別式為,則直線與圓相離0.2220,()()AxByCxaybr2.圓與圓的位置關(guān)系有五種:內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.設(shè)圓C1:(x-a1)2+(y-b1)

10、2=,圓C2:(x-a2)2+(y-b2)2=,兩圓心之間的距離為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下:(1)dr1+r2兩圓外離;(2)d=r1+r2兩圓外切;(3)|r1-r2|dr1+r2兩圓相交;(4)d=|r1-r2|(r1r2)兩圓內(nèi)切;(5)0d0)截直線x+y=0所得線段的長度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離2答案答案B由題意知圓M的圓心為(0,a),半徑R=a,因為圓M截直線x+y=0所得線段的長度為2,所以圓心M到直線x+y=0的距離d=(a0),解得a=2,又知圓N的圓心為(1,1),半徑r=1,所以|MN|

11、=,則R-rR+r,所以兩圓的位置關(guān)系為相交,故選B.2|2a22a 223.已知圓O:x2+y2=1,點P在直線x-2y+5=0上,過點P作圓O的一條切線,切點為A,則|PA|的最小值為.答案答案2解析解析過O作OP垂直于直線x-2y+5=0(P為垂足),過P作圓O的切線PA(A為切點),連接OA,易知此時|PA|最小.由點到直線的距離公式,得|OP|=.又|OA|=1,所以(|PA|)min=2.22|1 02 05|12 522|OPOA1.(2017東北四市高考模擬)直線x-3y+3=0與圓(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦長為()A.B.C.4D.3305 3223隨堂檢測隨

12、堂檢測答案答案A圓的圓心坐標(biāo)為(1,3),半徑r=,則圓心到直線的距離d=,所以弦長為2=2=.故選A.1022|1 93|1( 3) 10222rd10104302.已知圓(x-2)2+(y+1)2=16的一條直徑通過直線x-2y+3=0被圓所截弦的中點,則該直徑所在的直線方程為()A.3x+y-5=0B.x-2y=0C.x-2y+4=0D.2x+y-3=0答案答案D直線x-2y+3=0的斜率為,由題意可知該直徑所在直線與直線x-2y+3=0垂直,故該直徑所在直線的斜率為-2,所以該直徑所在的直線方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,故選D.123.(2017黃岡一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+y2-4x=0及點A(-1,0),B(1,2).在圓C上存在點P,使得|PA|2+|PB|2=12,則點P的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案答案B圓C的方程可化為(x-2)2+y2=4,設(shè)P(x,y),|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,因為|2-2|0),由題意可得解得所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9.222|2 |4 5,55()( 5),aar22,9,ar