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1、2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本復(fù)數(shù)教案舊人教版 —、基礎(chǔ)知識(shí) 1. 復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-l的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi(a,bWR)的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。 2. 復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bWR),a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱

2、為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形 式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z,見圖15-1，連接0Z,設(shè)ZxOZ=0,|oz|=r，則a=rcos0,b=rsin0，所以z=r(cos0+isin0)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cos0+isin0)，則8稱為z的輻角。若OW0<2n，貝90稱為z的輻角主值，記作0=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|,由勾股定理知|z|二.如果用ei0表示cos0+isin0，則z=rei0，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。

3、3. 共軛與模，若z=a+bi，(a,b￡R),則a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)||z|-|z||W|z土z|W|z|+|z|；(8) 121212 |z+z12+|z-z12=2|z12+2|z12；(9)若|z|=1,則。 121212 4. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：(1)按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；(2)按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；(3)按三角形式，若z=r(cos0+isin0),z=r(cos0+isin0)，則 111122

4、22 z?z=rr［cos(0+0)+isin(0+0)］；若［cos(0-0)+isin(0-0)］，用指數(shù)形式記1?21212121212 為zz=rrei(01+02), 1212 5. 棣莫弗定理：［r(cos0+isin0)］n=rn(cosn0+isinn0). 0+2k兀0+2k兀 6. 開方：若r(cos0+isin0)，則w=n：r(o+is),k=0,1,2，…，n-1。 nn 7. 單位根：若wn=1，則稱w為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根，記Z］=，則全部單位根可表示為1,,.單位根的基本性質(zhì)有(這里記,k=1,2,…,n-1)：(1)對(duì)任意整數(shù)k,若k

5、=nq+r,qGZ,0WrWn-1,有Z=Z；(2)對(duì)任意整數(shù)m,當(dāng)n±2時(shí)，有=特別1+Z+Z+-+Z=0； nq+rr12n-1 (3)xn-1+xn-2+???+x+1=(x-Z)(x-Z)…(x-Z)=(x-Z)(x-)…(x-). 12n-11 8. 復(fù)數(shù)相等的充要條件：(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等；(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等。 9. 復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0(且zM0). 10. 代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。 11. 實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+

6、bi(bM0)是方程的一個(gè)根，貝0a-bi也是一個(gè)根。 12. 若a,b,cWR,aM0,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0,當(dāng)A=b2-4ac<0時(shí)方程的根為 二、方法與例題 1. 模的應(yīng)用。 例1求證：當(dāng)nWN時(shí)，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。 + ［證明］若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n,所以|(Z+1)2n|=|-(zT)加|,即|z+1|2=|zT|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1),化簡(jiǎn)得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對(duì)一切|z|=1,有|f(z)|=1，求a

7、,b的值。 [解]因?yàn)?=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b) =|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|三|f(l)|+|f(-l)|+|f(i)|+|f(-i)|=4,其中等號(hào)成立。 所以f(l),f(-l),-f(i),-f(-i)四個(gè)向量方向相同，且模相等。 所以f(l)=f(-l)=-f(i)=-f(-i),解得a=b=0. 2. 復(fù)數(shù)相等。 例3設(shè)入GR,若二次方程(l-i)x2+(入+i)x+l+入i=0有兩個(gè)虛根，求入滿足的充要條件。［解］若方程有實(shí)根，則方程組有實(shí)根，由方程組得(入+l)x+入+1=0.若入=-1，則方程x2

8、-x+l=0中4<0無實(shí)根，所以入HT。所以x=-l,入=2.所以當(dāng)入工2時(shí)，方程無實(shí)根。所以方程有兩個(gè)虛根的充要條件為入工2。 3．三角形式的應(yīng)用。 例4設(shè)nWxx,nWN,且存在8滿足(sin8+icos0)n=sinn0+icosn0，那么這樣的n有多少個(gè)？ ［解］由題設(shè)得 [cos(扌-0)+isin(號(hào)-9)]n=cosn&-0)+isin(^-0)=cos(￡-n0)+isin(^-n0) ，所以n=4k+1.又因?yàn)镺WnWxx，所以lWkW500,所以這樣的n有500個(gè)。 4．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。 例5計(jì)算：(1)C0—C2+C4—?…+C100；(2)C1—C3+C

9、5—?…—C99 100100100100100100100100 [解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100= (C0-C2+C4+C100)+( 100100100100 C0+C1i+C2i2HFC99i99+C100i100= 100100100100100 C1-C3+C5C99)i,比較實(shí)部和虛部，得C0-C2+C4——+C100=-250, 100100100100100100100100 C1-C3+C5C99=0。 100100100100 5．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。 例6以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作△

10、ABC,分別以AB,AC為腰，B,C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角△ABM、等腰直角厶ACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。 ［證明］設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)0為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則 B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a，點(diǎn)A,M,N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z］,Z2，Z3,,由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得:， ①BM=z+a=—i(z—a)，②由①+②得z+z=i(z+a)-i(z-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P,212311 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。 例7設(shè)A,B,C,D為平面上任意四點(diǎn)，求證：AB?AD+BC?AD三AC?BD。 ［證明］用A,B,C,D表示它們

11、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D),因?yàn)閨A-B|?|C—D|+|B—C|?|A-D|三(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D). 所以|A—B|?|C—D|+|B—C|?|A-D|三|A-C|?|B—D|,“=”成立當(dāng)且僅當(dāng) B-AB-CD-AB-C Arg()=Arg()，即Arg()+Arg()=n，即A,B,C,D共圓時(shí) D-AC-DB-AD-C 成立。不等式得證。 6．復(fù)數(shù)與軌跡。 例8△ABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i,底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且|BC|=2，求△ABC的外心軌跡。 ［解］設(shè)外心M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x

12、,yWR),B,C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|,BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|,所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去b解得所以△ABC的外心軌跡是軌物線。 7．復(fù)數(shù)與三角。 例9已知cosa+cosp+cosy=sina+sinp+siny=0,求證：cos2a+cos2p+cos2y=0。［證明］令Z］二cosa+isina,^=cosp+isinp,^=cosY+isiny，則z+z+z=0。所以z+z+z二z+z+z二0.又因?yàn)閨z|=l,i=l,

13、2,3. 123123123i 所以z?=1，即 i 由z+z+z=0得x2+x2+x2+2zz+2zz+2zz=0.① =zzz 123 riii) ——+—+— 、zzz丿 123 123123122331 =zzz(z+z+z)=0. 123123 所以 所以cos2a+cos2p+cos2y+i(sin2a+sin2p+sin2y)=0. 所以cos2a+cos2p+cos2y=0。 例10求和：S=cos200+2cos400+???+18cosl8X200. ［解］令w=cos200+isin20。，則wi8=l,令P=sin200+2sin40

14、0+…+18sinl8X20。，則S+iP=w+2w2+…+18wi8.①由①Xw得w(S+iP)=w2+2w3+…+17wi8+18wi9,②由①-②得(l-w)(S+iP)二w+w2+???+wi8-18wi9二，所以S+iP二，所以 8．復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式。 例11已知f(z)二czn+czn-i+???+cz+c是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c工0). 01n-1n0 求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)z,|z|Wl,并且|f(z)|三|c|+|c|. 0000n ［證明］記czn+czn-i+—+cz=g(z),令=人礙@)-Arg(z),則方程g(Z)-ceie=0為n次方01n-1n00 程，

15、其必有n個(gè)根，設(shè)為z,z,…，z，從而g(z)-ceie=(z-z)(z-z)(z-z)c，令z=0 12n012n0 得-ceie=(-l)nzz…巳c，取模得|zz…巳|=1。所以z,z,…，z中必有一個(gè)z使得|z|W012n012n12nii 1, 從而f(z)=g(z)+c=ceie=c，所以|f(z)|=|ceie+c|=|c|+|c|. iin0ni0n0n 9. 單位根的應(yīng)用。 例12證明：自00上任意一點(diǎn)p到正多邊形AA-A各個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。 12n ［證明］取此圓為單位圓，0為原點(diǎn)，射線0A為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)A對(duì)應(yīng)n1復(fù)數(shù)設(shè)為，則頂點(diǎn)A

16、2A3—An對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為￡2,￡3,...,￡n.設(shè)點(diǎn)p對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Z,貝y|z|=1, 且=2n-工IpA I2=Iz-￡kI2=(z-￡k)(z-￡k)=(2-￡kz-￡kz) =2n-z工￡k—za 二￡k=2n-z工￡k-z工￡k=2n.命題得證。 k k=1 k=1 k=1 k=1 k=1k=1k=1k=1 10．復(fù)數(shù)與幾何。 例13如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)P,使得△PAB,△PCD都是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)Q,使得△QBC,△QDA也都是以Q為直角頂 點(diǎn)的等腰直角三角形。 ［證明］以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面

17、，并用A,B,C,D,P,Q表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，則C-Q=i(B-Q),則4BCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以△ADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。 例14平面上給定△AAA及點(diǎn)p，定義A=A,s±4,構(gòu)造點(diǎn)列p,p,p,…，使得p為繞 1230ss-3012k+1 中心A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200時(shí)p所到達(dá)的位置，k=0,l,2,…,若p=p.證明：△AAA為等邊 k+1k19860123 三角形。 ［證明］令u=，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平

18、面，則p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, ①XU2+②X(-u)得p=(1+u)(A-uA+U2A)+p=w+p,w為與p無關(guān)的常數(shù)。同理得 3321000 叮w+p3=2w+p0,…,pi986=662w+p0=p0,所以w=0,從而A3-uA2+U2A1=0.由u2=u-l得A3-A1=(A2-Ai)u,這說明△A］A2A3為正三角形。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1?滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)有組。 2. 若zWC且z2=8+6i,且z3-16z-=。 3?復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，

19、且(3+4i)?z是純虛數(shù)，則。 4. 已知，則1+z+z2+???+z1992=。 5. 設(shè)復(fù)數(shù)z使得的一個(gè)輻角的絕對(duì)值為，則z輻角主值的取值范圍是。 6. 設(shè)z,w,入WC,|入|工1,則關(guān)于z的方程-八z=w的解為z=。 7. 設(shè)0〈x〈1,則2arctan。 &若a,B是方程ax2+bx+c=0(a,b,cWR)的兩個(gè)虛根且，則。 9.若a,b,c^C,則a2+b2〉c2是a2+b2-c2〉0成立的條件。 10. 已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個(gè)不同的根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的 點(diǎn)共圓，則m取值的集合是。 11. 二次方程ax2+x+1=0

20、的兩根的模都小于2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 12. 復(fù)平面上定點(diǎn)Z,動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z,z,其中z工0,且滿足方程|z-z|=|z|, 01010101 ①另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足Z］?z=-1,②求點(diǎn)Z的軌跡，并指出它在復(fù)平面上的形狀和位置。 13. N個(gè)復(fù)數(shù)z,z,…，z成等比數(shù)列，其中|z|工1,公比為q,|q|=1且qM土1,復(fù)數(shù) 12n1 w,w,…,w滿足條件：w=z++h,其中k=1,2,…,n,h為已知實(shí)數(shù)，求證：復(fù)平面內(nèi)表示 12nkk w,w,…,w的點(diǎn)p,p,…,p都在一個(gè)焦距為4的橢圓上。 12n12n 四、高考水平訓(xùn)練題 1. 復(fù)數(shù)z和c

21、os0+isin0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線|iz+1|=|z+i|對(duì)稱，則z=。 2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i,那么z=。 3?有一個(gè)人在草原上漫步，開始時(shí)從0出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)角度，他走過n千米后，首次回到原出發(fā)點(diǎn)，則n=。 4. 若，貝y|z|=。 5. 若a20,k=1,2,…，n,并規(guī)定a=a，使不等式乙、:a2一aa+a2'九乙a恒成 kn+11Vkkk+1k+1k k=1k=1 6. 已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為邊逆時(shí)針作正方形OPQR，則動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為 7. 已知P為直線x-y+l=O上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P為邊作正4OPQ(O,P,Q按順時(shí)

22、針方向排列)。 則點(diǎn)Q的軌跡方程為。 8. 已知zGC，則命題“z是純虛數(shù)”是命題“”的條件。 9. 若nWN,且n23,則方程zn+i+zn-l=O的模為1的虛根的個(gè)數(shù)為。 10 設(shè)(xxx+xxx+3)xx=a+ax+ax2+…+axn 012n aaaa 則a-―^+2+a-5+… 022322 +a- 3k 11. 設(shè)復(fù)數(shù)zi，z2滿足Z1?，其中AMO,AGC。證明： (1)|Z]+a|?|z2+a|=|a|2；(2) 12. 若zWC,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時(shí)的復(fù)數(shù)

23、z. 1z1=1z1=1z1=1, 123 13.給定實(shí)數(shù)a,b,c,已知復(fù)數(shù) z1,z2,z3滿足 1zzz+T+— zzz 231 1, |az1+bz2+cz3|的值。 三、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 I. 已知復(fù)數(shù)z滿足則z的輻角主值的取值范圍是。 2?設(shè)復(fù)數(shù)z=cos0+isin0(0<0Wn)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z,2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P,Q,R,當(dāng)P,Q,R不共線時(shí)，以PQ,PR為兩邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)為S,則S到原點(diǎn)距離的最大值為 3. 設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z：,z2,…，z20,則復(fù)數(shù) 所對(duì)應(yīng)的不同

24、點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 4. 已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則|z+iz+1|的最小值為。 5. 設(shè),Z]二w-z,z2=w+z,Z],z2對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)A,B,點(diǎn)O為原點(diǎn)，ZA0B=90°>,|A0|=|B0|,則4OAB面積是。 6. 設(shè)，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開式為。 7. 已知()m=(1+i)n(m,nWN),則mn的最小值是。 + 8?復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，?z2的實(shí)部為零，Z]的輻角主值為,則z2=。 9. 當(dāng)nWN,且1WnW100時(shí)，的值中有實(shí)數(shù)個(gè)。 10. 已知復(fù)數(shù)Z],z2滿足，且，，，則的值是。 II

25、. 集合A={z|zi8=1},B={w|w48=1},C={zw|zWA,wWB}，問：集合C中有多少個(gè)不同的元素？ 12. 證明：如果復(fù)數(shù)A的模為1,那么方程的所有根都是不相等的實(shí)根(nGN). + 13?對(duì)于適合|z|W1的每一個(gè)復(fù)數(shù)z,要使0<|az+B|<2總能成立，試問：復(fù)數(shù)a,p應(yīng)滿足什么條件？ 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1.設(shè)非零復(fù)數(shù)a,a,a,a,a滿足 12345 aaaa a+a+a+a+a=(a+a+a+a+a)=S, 12345412345 在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一圓周上。 （n>2）。 其中S為實(shí)數(shù)且|S|W2,求證：復(fù)數(shù)a,a,a,a,a

26、 12345 ,.兀.2兀.(n-1)兀n 2.求證：sm—-sm--sm=— nnn2n-1 3. 已知p(z)二Zn+cZn-l+cZn-2+???+C是復(fù)變量Z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且|p(i)|<1，求證：存在 12n 實(shí)數(shù)a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)2〈4b2+1. 4. 運(yùn)用復(fù)數(shù)證明：任給8個(gè)非零實(shí)數(shù)a,a,…，a,證明六個(gè)數(shù)aa+aa,aa+aa,aa+aa, 128132415261728aa+aa,aa+aa,aa+aa中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)。 354637485768 5. 已知復(fù)數(shù)z滿足11zio+1Oiz9+1OizT1=O,求證：|

27、z|=1. 6. 設(shè)Z1,Z2,Z3為復(fù)數(shù)，求證： |Z|+|z|+|z|+|z+z+z|2|z+z|+|z+z|+|z+zI。 123123122331 2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本平面幾何教案舊人教版 一、常用定理（僅給出定理，證明請(qǐng)讀者完成） 梅涅勞斯定理設(shè)分別是厶ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則梅涅勞斯定理的逆定理?xiàng)l件同上，若則三點(diǎn)共線。 塞瓦定理設(shè)分別是厶ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若三線平行或共點(diǎn)，則塞瓦定理的逆定理設(shè)分別是厶ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若則三線共點(diǎn)或互相平行。 角元形式的塞瓦定

28、理分別是△ABC的三邊BC,CA,AB所在直線上的點(diǎn)，則平行或共點(diǎn)的 sinZCBB' sinZB'BA sinZBAA'sinZACC' sinZA'ACsinZC'CB 廣義托勒密定理設(shè)ABCD為任意凸四邊形，則AB?CD+BC?AD三AC?BD,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。 斯特瓦特定理設(shè)P為卜ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，P不同于B,C,則有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線,則三垂足共線。西姆松定理的逆定理若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線,則該點(diǎn)在三角形的外接圓上。 九點(diǎn)圓定理三角

29、形三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)以及垂心與頂點(diǎn)的三條連線段的中點(diǎn),這九點(diǎn)共圓。 蒙日定理三條根軸交于一點(diǎn)或互相平行。（到兩圓的冪（即切線長(zhǎng)）相等的點(diǎn)構(gòu)成集合為一條直線,這條直線稱根軸） 歐拉定理△ABC的外心0,垂心H,重心G三點(diǎn)共線，且 二、方法與例題 1.同一法。即不直接去證明,而是作出滿足條件的圖形或點(diǎn),然后證明它與已知圖形或點(diǎn)重合。 例1在厶ABC中，ZABC=7Oo,ZACB=3O。，P,Q為卜ABC內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，ZQBC=ZQCB=lOo,ZPBQ=ZPCB=20。，求證：A,P,Q三點(diǎn)共線。 ［證明］設(shè)直線CP交AQ于P,直線BP交AQ于P，因?yàn)閆ACP=ZPCQ=10o,所以

30、，①在△ABP,△BPQ,△ABC中由正弦定理有 ABAP 二2，②，③④ sinZAPBsinZABP 22 由②，③，④得。又因?yàn)镻1，P2同在線段AQ上，所以P1，P2重合，又BP與CP僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以P,P即為P,所以A,P,Q共線。12 12 2．面積法。 例2見圖16-1,OABCD中，E,F分別是CD,BC上的點(diǎn)，且BE=DF,BE交DF于P,求證: AP為ZBPD的平分線。 ［證明］設(shè)A點(diǎn)到BE,DF距離分別為％,丸，則 S=1BExh,S AABE21AADF 又因?yàn)镾=S，又BE=DFO ?ABCD△ADF 所以h=h，所以PA為ZBPD

31、的平分線。 12 3. 幾何變換。 例3（蝴蝶定理）見圖16-2,AB是00的一條弦，M為AB中點(diǎn)，CD,EF為過M的任意弦,CF,DE分別交AB于P,Q。求證：PM=MQo ［證明］由題設(shè)0MAB。不妨設(shè)。作D關(guān)于直線0M的對(duì)稱點(diǎn)。 連結(jié)，則D'M=DM.ZPMD=ZDMQ.要證PM=MQ，只需證，又ZMDQ=ZPFM,所以只 需證F,P,M,共圓。 因?yàn)閆=1800-=1800-Z=180o-Zo（因?yàn)?MoAB//） 所以F,P,M,四點(diǎn)共圓。所以△遜MDQ。所以MP=MQ。 例4平面上每一點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一染色，證明：存在這樣的兩個(gè)相似三角形，它們的相似比為1995

32、，而且每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)同色。 ［證明］在平面上作兩個(gè)同心圓,半徑分別為1和1995,因?yàn)樾A上每一點(diǎn)都染以紅、藍(lán)兩色之一，所以小圓上必有五個(gè)點(diǎn)同色，設(shè)此五點(diǎn)為A,B,C,D,E,過這兩點(diǎn)作半徑并將半徑延長(zhǎng)分別交大圓于％,B］,q,DjEj由抽屜原理知這五點(diǎn)中必有三點(diǎn)同色，不妨設(shè)為％,B］,q,則4ABC與AA1B1C1都是頂點(diǎn)同色的三角形，且相似比為1995。 4. 三角法。 例5設(shè)AD,BE與CF為AABC的內(nèi)角平分線，D,E,F在AABC的邊上，如果ZEDF=90o,求ZBAC的所有可能的值。 ［解］見圖16-3，記ZADE=a,ZEDC=B, 由題設(shè)ZFDA=-a,ZBDF=

33、-p, AEDECEDE 由正弦定理：=,= sina.AsinpsmC sin一廠 2 AEsinasinC 得=?一 得CEsinp?A， 廠sin— 2 -'、亠sinasinCsinC 又由角平分線定理有，又，所以= sinp.AsmA 廠sin— 2 化簡(jiǎn)得，同理，即 所以，所以sinpcosa-cospsina=sin(p-a)=0. 又-n

34、+GB+PG+GC =3PG+GA+GB+GC，又G為卜 ABC重心，所以 (事實(shí)上設(shè)AG交BC于E,貝嘰所以) 所以，所以IPAI+IPBI+IPC1>1PA+PB+PC1=3丨PGI. 又因?yàn)椴蝗簿€，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG。 6．解析法。 例7H是厶ABC的垂心，P是任意一點(diǎn)，HLPA，交PA于L,交BC于X，HMPB，交PB于M,交CA于Y，HNPC交PC于N,交AB于Z,求證：X，Y，Z三點(diǎn)共線。 ［解］以H為原點(diǎn)，取不與條件中任何直線垂直的兩條直線為x軸和y軸，建立直角坐標(biāo)系，用(x,y)表示點(diǎn)k對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，則直線PA的斜率為，直線HL

35、斜率為，直線HL的方kk 程為x(xP-xA)+y(yP-yA)=0. 又直線HA的斜率為，所以直線BC的斜率為，直線BC的方程為xxA+yyA=xAxB+yAyB,②又點(diǎn)C AAABAB 在直線BC上，所以xx+yy=xx+yy. CACAABAB 同理可得％叫+%人=叫％+人人=叫叫+人人. 又因?yàn)閄是BC與HL的交點(diǎn)，所以點(diǎn)X坐標(biāo)滿足①式和②式，所以點(diǎn)X坐標(biāo)滿足xxP+yyP=xAxB+yAyB.④同理點(diǎn)Y坐標(biāo)滿足xxP+yyP=xBxC+yByC.⑤點(diǎn)Z坐標(biāo)滿足xxP+yyP=xCxA+yCyA.由③知④，⑤，⑥表示同一直線方程，故X,Y,Z三點(diǎn)共線。 7．四點(diǎn)共圓。

36、 例8見圖16-5，直線l與00相離，P為l上任意一點(diǎn)，PA,PB為圓的兩條切線，A,B為切點(diǎn)，求證：直線AB過定點(diǎn)。 ［證明］過O作OCl于C,連結(jié)OA,OB,BC,OP，設(shè)OP交AB于M,則OPAB，又因?yàn)镺APA, 0BPB，0CPC。 所以A,B,C都在以O(shè)P為直徑的圓上，即O,A,P,C,B五點(diǎn)共圓。 AB與OC是此圓兩條相交弦，設(shè)交點(diǎn)為Q, 又因?yàn)镺PAB,OCCP, 所以P,M,Q,C四點(diǎn)共圓，所以O(shè)M?OP=OQ?OC。 由射影定理OA2=OM?OP,所以O(shè)A2=OQ?OC,所以O(shè)Q=(定值)。 所以Q為定點(diǎn)，即直線AB過定點(diǎn)。 三、習(xí)題精選 1.0O］和O

37、O2分別是△ABC的邊AB,AC上的旁切圓，0O］與CB,CA的延長(zhǎng)線切于E,G,OO與BC,BA的延長(zhǎng)線切于F,H,直線EG與FH交于點(diǎn)P,求證：PABC。 2 2. 設(shè)0O的外切四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn)分別為E,F,求證：E,O,F三點(diǎn)共線。 3. 已知兩小圓00與00相外切且都與大圓00相內(nèi)切，AB是00與00的一條外公切線， 1212 A,B在00上,CD是00與00的內(nèi)公切線，00與00相切于點(diǎn)P,且P,C在直線AB 1212的同一側(cè)，求證：P是厶ABC的內(nèi)心。 4. △ABC內(nèi)有兩點(diǎn)M,N,使得ZMAB=ZNAC且ZMBA=ZNBC，求證： AM-AN

38、BM-BNCM-CN. AB-ACBC-BACA-CB 5. △ABC中，0為外心，三條高AD,BE,CF相交于點(diǎn)H,直線ED和AB相交于點(diǎn)M,直線FD和AC相交于點(diǎn)N,求證：(1)0BDF,0CDE；(2)0HMN。 6. 設(shè)點(diǎn)I,H分別是銳角△ABC的內(nèi)心和垂心，點(diǎn)B1，C1分別是邊AC,AB的中點(diǎn)，已知射線BI交邊AB于點(diǎn)B(BMB)，射線CI交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,BC與BC相交于點(diǎn)K,A 12212221為卜BHC的外心。試證：A,I,A1三點(diǎn)共線的充要條件是厶BKB2和4CKC?的面積相等。 7. 已知點(diǎn)A,B,C，點(diǎn)A,B,C，分別在直線l,l上,BC交BC于點(diǎn)M,CA交AC 1112221221121212于點(diǎn)N,BA交BA于L。求證：M,N,L三點(diǎn)共線。 1221 8. △ABC中，ZC=900,ZA=300,BC=1,求AABC的內(nèi)接三角形(三個(gè)頂點(diǎn)分別在三條邊上的三角形)的最長(zhǎng)邊的最小值。 9. AABC的垂心為H,外心為0,外接圓半徑為R,頂點(diǎn)A,B,C關(guān)于對(duì)邊BC,CA,AB的對(duì)稱點(diǎn)分別為，求證：三點(diǎn)共線的充要條件是0H=2R。