2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第九講坐標(biāo)平面上的直線 一般地，若（，是常數(shù)，），則叫做的一次函數(shù)，它的圖象是一條直線，函數(shù)解析式6 中的系數(shù)符號，決定圖象的大致位置及單調(diào)性（隨的變化情況）．如圖所示： 一次函數(shù)、二元一次方程、直線有著深刻的聯(lián)系，任意一個一次函數(shù)都可看作是關(guān)于、的一個二元一次方程；任意一個關(guān)于、的二元一次方程，可化為形如（）的函數(shù)形式．坐標(biāo)平面上的直線可以表示一次函數(shù)與二元一次方程，而利用方程和函數(shù)的思想可以研究直線位置關(guān)系，求坐標(biāo)平面上的直線交點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解由函數(shù)解析式聯(lián)立的方程組．【例題求解】 【例1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點A（3，0）、B（2，7），P為線段OC上一點，若過B、P兩點的直線為，過A、P兩點的直線為，且BP丄AP，則二. 12 思路點撥解題的關(guān)鍵是求出P點坐標(biāo)，只需運用幾何知識建立OP的等式即可. 【例2】設(shè)直線（為自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（=1，2,+S的值為（） xx A．1B．C．D． 思路點撥求出直線與軸、軸交點坐標(biāo)，從一般形式入手，把用含的代數(shù)式表示． 【例3】某空軍加油飛機接到命令，立即給另一架正在飛行的運輸飛機進行空中加油．在 加油過程中，設(shè)運輸飛機的油箱余油量為Q噸，加油飛機的加油油箱余油量為Q噸，加油12 時間為分鐘，Q］、Q2與之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題： （1）加油飛機的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運輸飛機需多少分鐘？ （2）求加油過程中，運輸飛機的余油量Q］（噸）與時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式； （3）運輸飛機加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時到達(dá)目的地，油料是否夠用?說明理由．思路點撥對于（3），解題的關(guān)鍵是先求出運輸飛機每小時耗油量． 注：(1)當(dāng)自變量受限制時，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點，一次函數(shù)當(dāng)自變量取值受限制時，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了． (2) 當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有交點時，就與直角三角形聯(lián)系在一起，求兩交點坐標(biāo)并能發(fā)掘隱含條件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ)． 【例4】如圖，直線與軸、y軸分別交于點A、B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC,ZBAC=90°，如果在第二象限內(nèi)有一點P(,)，且△ABP的面積與AAABC的面積相等，求的值． 思路點撥利用Lbp=Lbc的三角形面積和、差． 注：解函數(shù)圖象與面積結(jié)合的問題，關(guān)鍵是把相關(guān)三角形用邊落在坐標(biāo)軸的其他三角形面積來表示，這樣面積與坐標(biāo)就建立了聯(lián)系． 【例5】在直角坐標(biāo)系中，有以A(一1,一1),B(l,—1),C(1,1),D(—1,1)為頂點的正方形，設(shè)它在折線上側(cè)部分的面積為S,試求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并畫出它們的圖象. 思路點撥先畫出符合題意的圖形,然后對不確定折線及其中的字母的取值范圍進行分類討論,的取值決定了正方形在折線上側(cè)部分的圖形的形狀. 注：我們把有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對值符號在內(nèi)的一類函數(shù)稱為絕對值函數(shù).去掉絕對值符號,把絕對值函數(shù)化為分段函數(shù),這是解絕對值的一般思路. 學(xué)歷訓(xùn)練 1. 一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3WW6,相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5WW-2,則這個函數(shù)的解析式為 2. 已知k二也工=上出，+b+c，且，則關(guān)于自變量的一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第 cba 象限. 3. 一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數(shù)之間的關(guān)系如圖所示,其中超過150人時,要繳 納公安消防保險費50元.試根據(jù)關(guān)系圖回答下列問題： (1) 當(dāng)售票數(shù)滿足0〈W150時，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式. (2) 當(dāng)售票數(shù)滿足150〈xW200時，盈利額(元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是 影廳要獲得最大利潤200元，此時售票數(shù)應(yīng)為 （4）當(dāng)售票數(shù)滿足時，此時利潤比=150時多. 4. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一點，過P作EF〃AC,與 平行四邊形的兩條邊分別交于點E，F(xiàn),設(shè)BP=，EF=，則能反映與之間關(guān)系的圖象是（） 5. 6.小李以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進若干千克西瓜到市場去銷售，在銷售了部分 2 5W 列圖象中， 不可能是關(guān)于的一次函數(shù)的圖象是（ C. 西瓜之后，余下的每千克降價0.4元，全部售完.銷售金額與賣瓜的千克數(shù)之間關(guān)系如圖所 示，那么小李賺了（） A.32元B.36元 7. 某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時時血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6微克（1微克=10-3毫克），接著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量（微克）隨時間（小時）的變化如圖所示，當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用后. ⑴分別求出W2和三2時與之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效時間是多長? 8. 如圖，正方形ABCD的邊長是4,將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系0中，使AB在軸的正半軸上，A點的坐標(biāo)是（1,0） ⑴經(jīng)過C點的直線與軸交于點E,求四邊形AECD的面積； （2）若直線經(jīng)過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線的方程，并在坐標(biāo)系中畫出直線． 9. 如圖，已知點A與B的坐標(biāo)分別為（4,0）,（0，2） （1）求直線AB的解析式. （2）過點C（2,0）的直線（與軸不重合）與厶A0B的另一邊相交于點P,若截得的三角形與△A0B相似，求點P的坐標(biāo). 10. 如圖，直線與軸、y軸分別交于P、Q兩點，把△P0Q沿PQ翻折，點0落在R處，則點 R的坐標(biāo)是. 11. 在直角坐標(biāo)系0中，軸上的動點M（，0）到定點P（5，5）、Q（2，1）的距離分別為MP和MQ,那么，當(dāng)MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標(biāo)為. 12. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形0ABC的頂點B的坐標(biāo)為（15,6）,直線恰好將矩形0ABC分成面積相等的兩部分，那么b=— 13. 如果一條直線經(jīng)過不同的三點A（a,b）,B（b,a）,C（a-b,b-a）,那么，直線經(jīng)過（）象限． A.二、四B.—、三C.二、三、四D.一、三、四 14. 一個一次函數(shù)的圖象與直線平行，與軸、軸的交點分別為A、B,并且過點（一l,—25）, 則在線段AB（包括端點A、B）上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的的點有（） A.4個B.5個C.6個D.7個 15. 點A（一4,0）,B（2,0）是坐標(biāo)平面上兩定點，C是的圖象上的動點，則滿足上述條件 的直角△ABC可以畫出（） A.1個B.2個C.3個D.4個 16．有—個附有進、出水管的容器,每單位時間進、出的水量都是一定的,設(shè)從某時刻開始5分鐘內(nèi)只進不出水,在隨后的15分鐘內(nèi)既進水又出水,得到時間（分）與水量（升）之間的關(guān)系如下圖.若20分鐘后只出水不進水，求這時（即220）y與之間的函數(shù)關(guān)系式. 17.如圖，AAOB為正三角形，點B坐標(biāo)為(2,0),過點C(一2,0)作直線交AO于D,交AB于E,且使△ADE和厶DCO的面積相等，求直線的函數(shù)解析式. 18.在直角坐標(biāo)系中，有四個點A(—8,3),B(—4,5),C(0,),D(,0),當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時，求的值． 19．轉(zhuǎn)爐煉鋼產(chǎn)生的棕紅色煙塵會污染大氣,某裝置可通過回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染,該裝置的氧化鐵回收率與其通過的電流有關(guān)．現(xiàn)經(jīng)過試驗得到下列數(shù)據(jù)： 1) 2) 通過電流強度(單位A) 1 1.7 1.9 2.1 2.4 氧化鐵回收率(%) 75 79 88 87 78 如圖建立直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)表示通過的電流強度，縱坐標(biāo)表示氧化鐵回收率． I 將試驗所得數(shù)據(jù)在右圖所給的直角坐標(biāo)系中用點表示(注：該圖中坐標(biāo)軸的交點代表點(1,70)；用線段將題(1)所畫的點從左到右順次連接,若用此圖象來模擬氧化鐵回收率y關(guān)于通過電流x的函數(shù)關(guān)系,試寫出該函數(shù)在1.7WxW2.4時的表達(dá)式；利用題(2)所得函數(shù)關(guān)系，求氧 85- 80- 75- (1,70) 270) (第25題) 化鐵回收率大于85%時，該裝置通過的電流應(yīng)該控制的范圍(精確到0.1A). 20.如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為和，動點P(x,0)在OB上移動(0〈〈3),過點P作直線與軸垂直． (1) 求點C的坐標(biāo)； (2) 設(shè)厶OBC中位于直線左側(cè)部分的面積為S,寫出S與之間的函數(shù)關(guān)系式； (3) 在直角坐標(biāo)系中畫出(2)中的函數(shù)的圖象； (4) 當(dāng)為何值時，直線平分△OBC的面積？ 參考答案 [9]坐標(biāo)平面上的直線 例 例 例 c o 例 0 【例題求解】 例1或旦.設(shè)OP=x,由RtAPBCcoRtAAPO得？=解得x=\或丄=6.當(dāng)P(0,l)時，B(2,7),A(3,0),直線 32工百 PB為力=3卄1,直線PA為刃=一*工+1；當(dāng)P(0,6)時，B(2,7),A(3,0),則直線PB為力=茹+6,直線PA為y： (1〉30噸，10分鐘; (2)設(shè)Qi=kt+b,把(0,40)和(10,69)代入得 s^aob=yvsAJjOP+s^u-s^Me=sAabp_y+y_^=2<解得 ⑴當(dāng)a/1時,y=|z-4+a的圖象與正方形ABCD沒有公共部分，S=0； 40=6仏=2.9■,一丿、 解得AQ,=2.9z+40(0<t<10) 69=10^+6,2=40 (3)由圖象知運輸飛機的耗油量為每分鐘0-1噸，?'?IO小時耗油量為：10X60XO.1=60(噸)<69(噸)，.?.油料夠用 A(73.0),B(0,1),OA=V3,OB=1,AB=2,S^abp=SAAbc=2,連PO,S^p=,SABt>p=_y?" (2)當(dāng)0£a=l時,S=y(l-a)X2(l—a)=(l—a)2; ⑶當(dāng)—iWaVO時,s=2_2(1T叫(Ul£12=2_(l+a円 —~2x+6. (4)當(dāng)a<-l時,S=2. 因此，S與a的函數(shù)關(guān)系式為：S= (1一a)? 2—(1+a) av—i) (心) (0<a<l) 選cSn=;^ny,S1+S2+-+S2m=T^2+273 12000 2000X20012001* y D a 0 B B A B B A 或 3 四 y 3 3 5. B 4 3 B 72 5 0 3 2 y= 【學(xué)力訓(xùn)練】 7.(1)時q=3r_tM2時.y=—冷■?>■+% o4 (2) 8.(1) =10(平方單位) 5 11.yQ(2,l)關(guān)于z軸對稱點Q'(2,-l),直線PQ'與軸交點即為M點. 2 (2)過點E及正方形對稱中心的直線即為所求直線，連AC、BD交于G,求得G(3,2),設(shè)直線I的方程為y^kx+b.代入E(2,0),G(3,2),得&=2,6=—4,故貢線/的方程為>=2x-4. 9-<l>^=-y.r+2；⑵當(dāng)CPt//AB時，P|(0,l)；當(dāng)CP2//OB時，P?(2,1),當(dāng)CP3丄AB時，戸(¥，丄) 把>=4分別代入y=Zx,y=—-^x+~得R=令,小=晉，由正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì),得t=x2-x1=6(小時).這就是有效時間. F(20)S—(AE+CD)?AD 丿6哄邊j^ARrij 5955 14.BAB為>==19),t—19是4的倍數(shù)，又一19<z—19W0.15.D 當(dāng)時，只進水不岀水,>=4x.每分鐘進水4升：當(dāng)5<xC20時，既進水又出水,y=20+.r；這樣既進又出.每分鐘還可進水1升，則每分鐘出水3升；當(dāng)y^20時，只出水不進水t=35-3(j■—20),即y=-3z+95. 3.(l)y=2j~200；(2)y=3_r-4;(3)100；OMj<100；200；(4)167M_rsC200 直線過矩形OABC的中心G(y,3). 13?A可得a+b=Q. 、 I 1 0 a i ° y 17. ■，設(shè)點E坐標(biāo)為(Xo?>o),則S45E=2為.溝=亨'.又AB的解析式為_y=—>/3^(t—2),.?.$(>=—yf3(.xa —2),得Zo="|",?，嚕').故直線l的解析式為(x+2>. 18. 作點A(—8,3)關(guān)于rr軸的對稱點A'(-8,-3),作點B(-4,5)關(guān)于y軸的對稱點B'(4,5),直線A'B'的方程為$=手卄€■，直線A'B'與工軸交點Dim,O'),與y軸交點為C(O,n),可得加=一壬， _7..m3 "—丁’故孑=_亍 (2)圖象解析式為 (45z+2.5 y=*_5z+97.5 I—30x4-150 (1.7W1.9) (1.9Cx<2.1) (2.4) ⑶當(dāng)1.7<x<l.9時，由45z+2.5>85,得1.8<x<1.9；當(dāng)2.l<x<2.4時，由一30x+150>85,得2.l<x<2.2；又當(dāng)1.9<x<2.1時，恒有一5z+97.5>85. 綜合上述可知：滿足要求時，該裝置的電流應(yīng)控制在1-8A至2.2A之間. (1) C點坐標(biāo)為(2,2)； (2) 作CD丄'軸于點D.則D(2,0) ① 當(dāng)0Vz=2時，設(shè)直線/交OC于點Q.則Q(jc,x)..\s=yx2. ② 當(dāng)2<x<3時，設(shè)直線/與OB交于點Q.則Q(z,6-2_r).而B(3,0),則△BQP的面積=* X(3—1*)(6—2工)=(3—工)'??'?5=3—(3—工)2即?$=—卡+6才一6 (4)7(2)屮AODC面積大于面積,若直線I要平分△OEC面積，則點P只能在線段OD上，即0V«rV2?又三角形 OBC面積為3..?.設(shè)*”= =y解之得x=73(-73舍去)顯然0V73<2.A/平分△OBC面積時，相應(yīng)z的值為