數(shù)學(xué)解題過(guò)程與解題教學(xué).ppt
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數(shù)學(xué)解題過(guò)程與解題教學(xué),一、數(shù)學(xué)解題過(guò)程1、數(shù)學(xué)問(wèn)題的分類數(shù)學(xué)問(wèn)題具有客觀和主觀兩個(gè)方面。問(wèn)題的客觀方面是指問(wèn)題的語(yǔ)言陳述,也就是通常意義下的數(shù)學(xué)題。問(wèn)題的主觀方面是指解題者對(duì)問(wèn)題的理解,主要包括問(wèn)題的起始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的途徑,解題者對(duì)數(shù)學(xué)題的理解可以稱為問(wèn)題空間。雖然問(wèn)題的語(yǔ)言陳述是相同的,但是不同的解題者對(duì)問(wèn)題的理解會(huì)有很大的不同,即不同的解題者形成不同的問(wèn)題空間類型。因此我們可以將數(shù)學(xué)題和人看成一個(gè)系統(tǒng),依據(jù)解題者形成的問(wèn)題空間類型來(lái)劃分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題。,(1)標(biāo)準(zhǔn)題,如果解題者明確某個(gè)數(shù)學(xué)題的起始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài),達(dá)到目標(biāo)的途徑,那么解題者形成第一類問(wèn)題空間類型,相對(duì)于解題者而言,這個(gè)數(shù)學(xué)題稱為標(biāo)準(zhǔn)題。,(2)變式題,如果解題者明確某個(gè)數(shù)學(xué)題的起始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài),達(dá)到目標(biāo)的途徑,但是解題者還需要從兩種或兩種以上達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的途徑中進(jìn)行選擇,那么解題者形成第二類問(wèn)題空間類型,相對(duì)于解題者而言,這個(gè)數(shù)學(xué)題稱為變式題。,(3)探究題,如果解題者明確某個(gè)數(shù)學(xué)題的起始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài),但不知如何到達(dá)目標(biāo),那么解題者形成第三類問(wèn)題空間類型,相對(duì)于解題者而言,這個(gè)數(shù)學(xué)題稱為探究性題。,(4)開(kāi)放題,如果解題者只明確數(shù)學(xué)題的起始狀態(tài),或目標(biāo)狀態(tài),或達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的途徑而且只明確一個(gè),那么解題者形成第四類問(wèn)題空間類型,相對(duì)于解題者而言,此數(shù)學(xué)題是開(kāi)放性題。,實(shí)驗(yàn)1,閱讀題后立即報(bào)告該題的解題方法。,實(shí)驗(yàn)2,閱讀題后立即報(bào)告該題的解題方法。,實(shí)驗(yàn)3,閱讀題后立即報(bào)告該題的解題方法。,實(shí)驗(yàn)4,閱讀題后立即報(bào)告該題的解題方法。給出三張圖,每個(gè)圖中畫(huà)出五個(gè)點(diǎn),問(wèn)哪張圖中的五個(gè)點(diǎn)從整體上看散度最小,為什么?,2、數(shù)學(xué)解題過(guò)程分析,(1)波利亞的《怎樣解題》表喬治波利亞(GeorgePolya,1887-1985)美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。先后在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根、巴黎等地攻讀法律、語(yǔ)言、數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué),獲布達(dá)佩斯大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位,是法國(guó)巴黎科學(xué)院、美國(guó)全國(guó)科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士。,(1)波利亞的《怎樣解題》表,作為數(shù)學(xué)教授的波利亞為了改變數(shù)學(xué)在公眾心目中的形象,致力于解題的研究,為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的”這個(gè)令人困惑的問(wèn)題,他很早就開(kāi)始探索數(shù)學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造,利用在大學(xué)任教的機(jī)會(huì),通過(guò)與學(xué)生的交流和對(duì)學(xué)生的細(xì)致觀察,認(rèn)真研究了人們解題的過(guò)程,通過(guò)和一批數(shù)學(xué)大家的交流,花了整整三十年的時(shí)間,直到1944年才發(fā)展為名著《怎樣解題》一書(shū)。該書(shū)出版后,被譯成多種文字,直到今天,該書(shū)仍被各國(guó)數(shù)學(xué)教育界奉為經(jīng)典,波利亞的啟發(fā)式教學(xué)和數(shù)學(xué)解題方法成為數(shù)學(xué)教育的一面旗幟,在全世界廣為流傳。,第一你必須弄清問(wèn)題,弄清問(wèn)題未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)(指已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等的統(tǒng)稱)是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數(shù),條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?畫(huà)張圖。引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。把條件的各個(gè)部分分開(kāi)。你能否把它們寫(xiě)下來(lái)?,第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,如果找不出直接的聯(lián)系,你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。,第二找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系,擬定計(jì)劃你以前見(jiàn)過(guò)它嗎?你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同?你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題?你是否知道一個(gè)可能用得上的定理?看著未知數(shù)!試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān),且早已解決的問(wèn)題,你能應(yīng)用它嗎?,第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,擬定計(jì)劃你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎?為了能利用它,你是否應(yīng)該引入某些輔助元素?你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題?你能不能用不同的方法重新敘述它?回到定義去。,第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,擬定計(jì)劃如果你不能解決所提出的問(wèn)題,可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題?一個(gè)更普遍的問(wèn)題?一個(gè)更特殊的問(wèn)題?一個(gè)類比的問(wèn)題?你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分??jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分,這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度?它會(huì)怎樣變化?,第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,擬定計(jì)劃你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)?如果需要的話,你能不能改變未知數(shù)和數(shù)據(jù),或者二者都改變,以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近?,第二找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系,擬定計(jì)劃你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個(gè)條件?你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念?,第三實(shí)行你的計(jì)劃,實(shí)現(xiàn)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃,檢驗(yàn)每一步驟。你能否清楚地看出這一步是正確的?你能否證明這一步是正確的?,第四驗(yàn)算所得到的解,回顧反思你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?你能否一下子看出它來(lái)?你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問(wèn)題?,解題過(guò)程的四個(gè)階段,問(wèn)題的理解、制定解題方案、執(zhí)行解題方案、評(píng)價(jià)和調(diào)整。不一定完全按上述順序進(jìn)行,經(jīng)常是從后一階段返回到前一階段。如果執(zhí)行解題操作有困難,可能返回第一階段,即對(duì)問(wèn)題的條件狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行重新的理解,也可能返回第二階段重新制定解題的方案。,(2)解標(biāo)準(zhǔn)題的過(guò)程,解標(biāo)準(zhǔn)題的過(guò)程是模式再認(rèn)的過(guò)程模式:?jiǎn)栴}條件的外在特征或本質(zhì)特征、典型范例或典型范例中的關(guān)鍵詞。通過(guò)模式識(shí)別,激活相應(yīng)操作的條件,從而執(zhí)行有關(guān)的操作,直至達(dá)到問(wèn)題的目標(biāo)狀態(tài)。,(3)解變式題的過(guò)程,由于變式題是對(duì)熟悉了的模式作形式上的變化,即對(duì)標(biāo)準(zhǔn)題增設(shè)了干擾因素,這就要求解題者逐步擺脫已有解題操作(或解題程序)的束縛以適應(yīng)問(wèn)題情境的變化。,(3)解變式題的過(guò)程,由于通用的解題操作(或解題程序)總是暗中支配和制約解題者的行為,所以要適應(yīng)問(wèn)題的變化,解題者必須學(xué)會(huì)評(píng)價(jià)解題中的中間成果和調(diào)整自己的思維,即學(xué)會(huì)評(píng)價(jià)一種解題操作是否可行。如果某種解題操作行不通或會(huì)造成復(fù)雜的運(yùn)算等,則需要解題者能夠及時(shí)轉(zhuǎn)換思維,如重新認(rèn)識(shí)問(wèn)題的條件或問(wèn)題的目標(biāo),以找到新的解題途徑。因此與解標(biāo)準(zhǔn)題不同的是,解變式題的過(guò)程增加了評(píng)價(jià)和調(diào)整兩個(gè)中間環(huán)節(jié)。,(3)解變式題的過(guò)程,解變式題可以實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的學(xué)習(xí)向探究活動(dòng)的過(guò)渡,是解題學(xué)習(xí)的一個(gè)重要階段,有別于標(biāo)準(zhǔn)題的解題過(guò)程。,(3)解變式題的過(guò)程,解變式題時(shí),解題者為了適應(yīng)新問(wèn)題,開(kāi)始注意問(wèn)題的本質(zhì)結(jié)構(gòu),對(duì)執(zhí)行解題操作的條件更加敏感,應(yīng)用策略技能的發(fā)展使解題者從對(duì)數(shù)學(xué)題所含信息的加工開(kāi)始轉(zhuǎn)向?qū)ψ陨碚J(rèn)知活動(dòng)本身的認(rèn)識(shí),所以在問(wèn)題的認(rèn)知方式上發(fā)生了重要變化。,(4)解探究題的過(guò)程,解探究題的過(guò)程是新途徑的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。發(fā)現(xiàn)過(guò)程是指解題者通過(guò)積極的思維,在向著目標(biāo)狀態(tài)逐步逼近的的進(jìn)程中能有意識(shí)地揭示問(wèn)題的潛在聯(lián)系的過(guò)程。,(4)解探究題的過(guò)程,有研究認(rèn)為,解變式題更多地受原型的指引和影響,而解探究題主要依賴解題者對(duì)復(fù)雜多變的情況進(jìn)行抉擇,通過(guò)分析、引申和適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換變通尋求可解的途徑。要求能針對(duì)問(wèn)題自身的特征,靈活地選擇和支配知識(shí),顯示出創(chuàng)造性思維的特征。,二、數(shù)學(xué)解題教學(xué),數(shù)學(xué)解題教學(xué)包括數(shù)學(xué)例題教學(xué)和數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)。例題教學(xué)是以教師為主導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生將已學(xué)習(xí)的概念、命題應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所提供的一種示范性活動(dòng);習(xí)題教學(xué)則是以學(xué)生為主體,依照或模仿例題,自己將已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)踐性活動(dòng)。數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。,1.解題教學(xué)的意義和功能,(1)通過(guò)解題活動(dòng),學(xué)生不僅可以加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解,而且還能達(dá)到訓(xùn)練邏輯思維的目的,根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)編擬不同類型的題目,能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì),提高智能和發(fā)展能力。,1.解題教學(xué)的意義和功能,(2)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理等是為了解決問(wèn)題才產(chǎn)生和發(fā)展的,而用它們?nèi)ソ鉀Q問(wèn)題卻需要一定的技能,這種技能只有通過(guò)解題活動(dòng)才能掌握,因此,解題教學(xué)能夠幫助學(xué)生形成解決問(wèn)題的技能。,1.解題教學(xué)的意義和功能,(3)初學(xué)數(shù)學(xué)概念、定理、公式及法則時(shí)很容易造成對(duì)知識(shí)理解不深入,甚至產(chǎn)生錯(cuò)誤的理解,而這些錯(cuò)誤能充分地在解題活動(dòng)中暴露出來(lái),通過(guò)解題教學(xué),教師能及時(shí)糾正和澄清學(xué)生的錯(cuò)誤觀念,使他們能正確和完整地掌握知識(shí)。,1.解題教學(xué)的意義和功能,(4)通過(guò)解題教學(xué)以及對(duì)學(xué)生的解題作業(yè)分析,可以測(cè)試學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平,了解和評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)能力狀況,為教材分析和教法調(diào)整提供有用的參考數(shù)據(jù)。,2.解題教學(xué)的基本要求,(1)要使學(xué)生明確解題的目標(biāo)和要求。(2)要使學(xué)生熟悉解題步驟。(3)要使學(xué)生掌握解題思想和方法。(4)要使學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣。,本階段微格教學(xué)任務(wù),準(zhǔn)備一個(gè)以數(shù)學(xué)解題為主要內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)方案。確定講解時(shí)間為15分鐘的內(nèi)容。,- 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