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讓更多的孩子得到更好的教育 相似三角形判定定理的證明(提高) 責(zé)編：康紅梅 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.熟記三個判定定理的內(nèi)容. 2.三個判定定理的證明過程. 3.學(xué)選會用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明結(jié)論的成立性. 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、兩角分別相等的兩個三角形相似 已知：如圖,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求證：△ABC∽△A′B′C′. 證明：在△ABC的邊AB（或它的延長線）上截取AD=A′D′,過點(diǎn)D作BC的平行線，交AC于點(diǎn)E,則∠ADE=∠B，∠AED=∠C, 過點(diǎn)D作AC的平行線，交BC與點(diǎn)F,則 ∴ ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四邊形DFCE是平行四邊形. ∴DE=CF. ∴. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED==∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要點(diǎn)詮釋：證明這個定理的正確性，是把它轉(zhuǎn)化為平行線分線段成比例來證明的，注意轉(zhuǎn)化時 輔助線的做法. 要點(diǎn)二、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 已知，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求證：△ABC∽△A′B′C′. 證明：在△ABC的邊AB（或它的延長線）上截取AD=A′B′,過點(diǎn)D作BC的平行線，交AC于點(diǎn)E,則 ∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ABC∽△ADE(兩個分別相等的兩個三角形相似). ∴. ∵ ,AD=A′B′, ∴ ∴ ∴AE=A′C′ 而∠A=∠A′ ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要點(diǎn)詮釋：利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過添設(shè)輔助線，將未知的判定方法轉(zhuǎn)化為已知兩組角對應(yīng)相等推得相似或已知平行推得相似的. 要點(diǎn)三、三邊成比例的兩個三角形相似 已知：在在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, . 求證：△ABC∽△A′B′C′. 證明：在△ABC的邊AB，AC（或它們的延長線）上截取AD=A′B′,AD=A′B′,連接DE. ∵，AD=A′B′,AE=A′C′, ∴ 而∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE(兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似). ∴ 又，AD= A′B′, ∴ ∴ ∴DE=B′C′, ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 【典型例題】 類型一、兩角分別相等的兩個三角形相似 1、（2016?云南模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90，DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)E． 求證：△DME∽△BCA． 【思路點(diǎn)撥】先證明∠DEM=∠A，再由∠C=∠DME=90，根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可證明△DME∽△BCA． 【答案與解析】 證明：∵∠C=90，DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N， ∴∠C=∠ENB=∠DME=90， ∴AC∥DN， ∴∠BEN=∠A， ∵∠BEN=∠DEM， ∴∠DEM=∠A． 在△DME與△BCA中， ， ∴△DME∽△BCA． 【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似． 類型二、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 2、如圖，在△ABC中，M、N分別為AB、AC邊上的中點(diǎn)．D、E為BC邊上的兩點(diǎn)，且DE=BD+EC，ME與ND交于點(diǎn)O，請你寫出圖中一對全等的三角形，并加以證明． 【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镸、N分別為AB、AC邊上的中點(diǎn)，∠A=∠A，可證明△AMN∽△ABC，則MN∥BC，又因?yàn)镈E=BD+EC，所以有△MON≌△EOD． 【答案與解析】 解：△MON≌△EOD． 證明：∵M(jìn)、N分別為AB、AC邊上的中點(diǎn)， ∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2． ∵∠A=∠A， ∴△AMN∽△ABC． ∴∠AMN=∠ABC，MN=BC． ∴MN∥BC． ∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE． ∵DE=BD+EC， ∴DE=BC． ∴MN=DE． ∴△MON≌△DOE． 【總結(jié)升華】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件． 舉一反三 【變式】如圖，點(diǎn)O是△ABC的垂心（垂心即三角形三條高所在直線的交點(diǎn)），連接AO交CB的延長線于點(diǎn)D，連接CO交AB的延長線于點(diǎn)E，連接DE．求證：△ODE∽△OCA． 【答案】 證明：∵O是垂心， ∴AO⊥CD， ∴∠CDO=90， 同理∠AEO=90， ∴∠AEO=∠CDO， 在△AEO和△CDO中 ， ∴△AEO∽△CDO， ∴， ∴， 在△ODE和△OCA中 ， ∴△ODE∽△OCA． 3、（2015?大慶模擬）如圖，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線與BC交于點(diǎn)E，若直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似，則DE的長是多少？ 【答案與解析】解：∵D為AB的中點(diǎn)， ∴BD=AB=， ∵∠DBE=∠ABC， ∴當(dāng)∠DEB=∠ACB時，△BDE∽△BAC時，如圖1，則=，即=，解得DE=2； 當(dāng)∠BDE=∠ACB時，如圖2，DE交AC于F， ∵∠DAF=∠CAB， ∴△ADF∽△ACB， ∴△BDE∽△BCA， ∴=，即=，解得DE=， 綜上所述，若直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似，則DE=2或． 【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形判定和性質(zhì)，其次要注意分類討論思想的運(yùn)用． 舉一反三 【變式】如圖，已知點(diǎn)P是邊長為4的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PB=3，BF⊥BP，垂足是B．請在射線BF上找一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B、M、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似．（請注意：全等圖形是相似圖形的特例） 【答案】解：在射線BF上截取線段，連接M1C， ?， ?∠ABP=∠CBM1， ∴△M1BC∽△ABP． 在射線BF上截取線段BM2=BP=3，連接M2C， ?△CBM2≌△ABP．（全等必相似） ∴在射線BF上取或BM2=3時，M1，M2都為符合條件的M． 類型三、三邊成比例的兩個三角形相似 4、如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　?。? 　 A． B． C． D． 【思路點(diǎn)撥】首先求得△ABC三邊的長，然后分別求得A，B，C，D各三角形的三邊的長，然后根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似，即可求得答案． 【答案與解析】 解：如圖：AB==，AC==，BC=2， A、∵DE==，DF==，EF=1， ∴， ∴△DEF∽△BAC， 故A選項正確； B、∵M(jìn)N==，MK==，NK=3， ∴，=1，， ∴△MNK與△ABC不相似， 故B選項錯誤； C、∵PQ==2，PR==，QR=1， ∴==，=，=， ∴△PQR與△ABC不相似， 故C選項錯誤； D、∵GH==，GL==，HL=2， ∴=，=，=， ∴△GHL與△ABC不相似， 故D選項錯誤． 故選：A． 【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定．此題難度適中，三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵． 5、如圖，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格紙中的格點(diǎn)，為使△ABC與△DEF相似，則點(diǎn)F應(yīng)是甲、乙、丙、丁四點(diǎn)中的（　?。? 【思路點(diǎn)撥】令每個小正方形的邊長為1，分別求出兩個三角形的邊長，從而根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可找到點(diǎn)F對應(yīng)的位置． 【答案與解析】 解：根據(jù)題意，△ABC的三邊之比為 1：：， 要使△ABC∽△DEF，則△DEF的三邊之比也應(yīng)為1：：， 經(jīng)計算只有甲點(diǎn)合適， 故選A． 【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定定理： （1）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似． （2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似． （3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似． 舉一反三 【變式】如圖，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格紙中的格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)），要使△DEF與△ABC相似，則點(diǎn)F應(yīng)是G，H，M，N四點(diǎn)中的（　?。? A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M 【答案】C. 解：設(shè)小正方形的邊長為1，則△ABC的各邊分別為3、、，只能F是M或N時，其各邊是6、2 ，2 ．與△ABC各邊對應(yīng)成比例，故選C． 地址：北京市西城區(qū)新德街20號4層 電話：010－82025511 傳真：010－82079687 第9頁 共9頁