二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 ,　　　　　　　　[學(xué)生用書P60]) [A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋>成立時(shí)，起始值n0至少應(yīng)取(　　) A．7　　 B．8 C．9 D．10 解析：選B.1＋＋＋＋＋＋＝，n－1＝6，n＝7，故n0＝8. 2．設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，計(jì)算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，觀察上述結(jié)果，可推測出的一般結(jié)論為(　　) A．f(2n)>(n＞1，n∈N*) B．f(n2)>(n＞1，n∈N*) C．f(2n)>(n＞1，n∈N*) D．以上都不對 解析：選C.f(2)＝，f(4)＝f(22)>， f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>， f(32)＝f(25)>，…， 依此類推可知f(2n)>(n＞1，n∈N*)． 3．觀察下列不等式：1>，1＋＋>1，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，1＋＋＋…＋>，…，由此猜測第n(n∈N＋)個(gè)不等式為(　　) A．1＋＋＋…＋> B．1＋＋＋…＋> C．1＋＋＋…＋> D．1＋＋＋…＋> 解析：選C.因?yàn)?，3，7，15，31，…的通項(xiàng)公式為an＝2n－1， 所以不等式左邊應(yīng)是1＋＋＋…＋. 因?yàn)椋?，，2，，…的通項(xiàng)公式為bn＝， 所以不等式右邊應(yīng)是. 4．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有f(k)滿足：當(dāng)“f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”． 那么下列命題總成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，則當(dāng)k<5時(shí)，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，則當(dāng)k≥8時(shí)，均有f(k)<k2成立 D．若f(4)＝25成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立 解析：選D.由“f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，對于A，k＝1，2時(shí)不一定成立，對于B，C，顯然錯(cuò)誤．對于D，因?yàn)閒(4)＝25>42，因此對于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立． 5．對于正整數(shù)n，下列說法不正確的是(　　) A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n C．0.9n<1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n 解析：選C.結(jié)合貝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x>－1，且x≠0，n≥1，n∈N＋)判斷． 當(dāng)x＝2時(shí)，(1＋2)n≥1＋2n，A正確． 當(dāng)x＝－0.1時(shí)，(1－0.1)n≥1－0.1n， B正確，C不正確． 當(dāng)x＝－0.9時(shí)，(1－0.9)n≥1－0.9n， 因此D正確． 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>－，假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立之后，證明n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________． 解析：把n＝k時(shí)的不等式中的k換成k＋1，得＋＋…＋＋>－. 答案：＋＋…＋＋>－ 7．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四邊形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五邊形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n邊形A1A2…An中，類似成立的不等式為________． 解析：n＝3時(shí)，不等式為＋＋≥， n＝4時(shí)，不等式為＋＋＋≥， n＝5時(shí)，不等式為＋＋＋＋≥， … 猜想＋＋…＋≥. 答案：＋＋…＋≥ 8．若不等式＋＋…＋>對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為________． 解析：令f(n)＝＋＋…＋， 易知f(n)是單調(diào)遞增的． 所以f(n)的最小值為f(2)＝＋＝. 依題意>， 所以m<14. 因此取m＝13. 答案：13 9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝a－nan＋1.求證：an≥n＋2. 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3＝1＋2，即an≥n＋2成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即ak≥k＋2. 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1>k＋3＝(k＋1)＋2，也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1>(k＋1)＋2. 由①②可知an≥n＋2對一切n∈N*都成立． 10．設(shè)a∈R，f(x)＝是定義在R上的奇函數(shù)． (1)求a的值； (2)如果g(n)＝，試比較f(n)與g(n)的大小(n∈N＋)． 解：(1)因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 所以f(0)＝0，故a＝1. (2)f(n)－g(n)＝－＝. 只要比較2n與2n＋1的大?。? 當(dāng)n＝1，2時(shí)，2n<2n＋1，f(n)<g(n)； 當(dāng)n≥3時(shí)，2n>2n＋1，f(n)>g(n)． 下面證明，n≥3時(shí)，2n>2n＋1，即f(n)>g(n)． ①當(dāng)n＝3時(shí)，23>2×3＋1，顯然成立， ②假設(shè)n＝k(k≥3，k∈N＋)時(shí)，2k>2k＋1， 那么n＝k＋1時(shí)，2k＋1＝2×2k>2(2k＋1)． 2(2k＋1)－[2(k＋1)＋1]＝4k＋2－2k－3＝2k－1>0(因?yàn)閗≥3)， 有2k＋1>2(k＋1)＋1. 所以當(dāng)n＝1，2時(shí)，f(n)<g(n)， 當(dāng)n≥3且n∈N＋時(shí)，f(n)>g(n)． [B　能力提升] 1．已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，…，可推廣為x＋≥n＋1，則a的值為(　　) A．2n B．n2 C．22(n－1) D．nn 解析：選D.由已知中不等式： x＋≥2， x＋＝x＋≥3， x＋＝x＋≥4， …， 歸納可得，不等式左邊第一項(xiàng)為x，第二項(xiàng)為，右邊為n＋1，故第n個(gè)不等式為x＋≥n＋1，故a＝nn，選D. 2．設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，n∈N＋，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，則M，N的大小關(guān)系為________(提示：利用貝努利不等式，令x＝)． 解析：由貝努利不等式(1＋x)n>1＋nx (x>－1，且x≠0，n>1，n∈N＋)， 當(dāng)n>1時(shí)，令x＝， 所以>1＋n·， 所以>1＋n·， 即(a＋b)n>an＋nan－1b. 當(dāng)n＝1時(shí)，M＝N， 故M≥N. 答案：M≥N 3．設(shè)xn＝，yn＝，n＝1，2，…，求證xn<xn＋1，yn＋1<yn. 證明：先證xn<xn＋1. 因?yàn)閚≥1，所以n＋1≥2. 由貝努利不等式得>1－＝1－， 即>1－， 故> ＝＝＝. 故xn<xn＋1. 再證yn＋1<yn， 由貝努利不等式得 >1＋>1＋， 即>1＋， >1＋， 即<， <. 故yn＋1<yn. 4．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝ca＋1－c，n∈N＋，其中c為實(shí)數(shù)． (1)證明：an∈[0，1]對任意n∈N＋成立的充分必要條件是c∈[0，1]； (2)設(shè)0<c<，證明：an≥1－(3c)n－1，n∈N＋. 證明：(1)必要性：因?yàn)閍1＝0，所以a2＝1－c. 因?yàn)閍2∈[0，1]，所以0≤1－c≤1， 即c∈[0，1]． 充分性：設(shè)c∈[0，1]，對n∈N＋用數(shù)學(xué)歸納法證明an∈[0，1]． 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝0∈[0，1]． 假設(shè)ak∈[0，1](k∈N＋，k≥1)， 則ak＋1＝ca＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝ca＋1－c≥1－c≥0， 故ak＋1∈[0，1]． 由數(shù)學(xué)歸納法，知an∈[0，1]對所有的n∈N＋成立． 綜上，可得an∈[0，1]對任意n∈N＋成立的充分必要條件是c∈[0，1]． (2)設(shè)0<c<，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝0，結(jié)論成立． 當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)閍n＝ca＋1－c， 所以1－an＝c(1－a)＝c(1－an－1)(1＋an－1＋a)． 因?yàn)?<c<，由(1)知an－1∈[0，1]， 所以1＋an－1＋a≤3，且1－an－1≥0. 所以1－an≤3c(1－an－1)． 所以1－an≤3c(1－an－1)≤(3c)2(1－an－2)≤…≤(3c)n－1(1－a1)＝(3c)n－1. 所以an≥1－(3c)n－1(n∈N＋)． 7