《2018-2019學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例練習 新人教A版選修4-5》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例練習 新人教A版選修4-5(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例
, [學生用書P60])
[A 基礎(chǔ)達標]
1.用數(shù)學歸納法證明不等式1+++…+>成立時,起始值n0至少應取( )
A.7 B.8
C.9 D.10
解析:選B.1++++++=,n-1=6,n=7,故n0=8.
2.設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+++…+,計算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,觀察上述結(jié)果,可推測出的一般結(jié)論為( )
A.f(2n)>(n>1,n∈N*)
B.f(n2)>(n>1,n∈N*)
C.f(2n)>(n>1,n∈N*)
D.以上都不對
解析:選C
2、.f(2)=,f(4)=f(22)>,
f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,
f(32)=f(25)>,…,
依此類推可知f(2n)>(n>1,n∈N*).
3.觀察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,…,由此猜測第n(n∈N+)個不等式為( )
A.1+++…+>
B.1+++…+>
C.1+++…+>
D.1+++…+>
解析:選C.因為1,3,7,15,31,…的通項公式為an=2n-1,
所以不等式左邊應是1+++…+.
因為,1,,2,,…的通項公式為bn=,
所以不等式右邊應是.
4.設(shè)f(x)是
3、定義在正整數(shù)集上的函數(shù),有f(k)滿足:當“f(k)≥k2成立時,總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.
那么下列命題總成立的是( )
A.若f(3)≥9成立,則當k≥1時,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,則當k<5時,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,則當k≥8時,均有f(k)42,因此對于任意的k≥
4、4,均有f(k)≥k2成立.
5.對于正整數(shù)n,下列說法不正確的是( )
A.3n≥1+2n B.0.9n≥1-0.1n
C.0.9n<1-0.1n D.0.1n≥1-0.9n
解析:選C.結(jié)合貝努利不等式(1+x)n≥1+nx(x>-1,且x≠0,n≥1,n∈N+)判斷.
當x=2時,(1+2)n≥1+2n,A正確.
當x=-0.1時,(1-0.1)n≥1-0.1n,
B正確,C不正確.
當x=-0.9時,(1-0.9)n≥1-0.9n,
因此D正確.
6.用數(shù)學歸納法證明++…+>-,假設(shè)n=k時,不等式成立之后,證明n=k+1時,應推證的目標不等式是____
5、____.
解析:把n=k時的不等式中的k換成k+1,得++…++>-.
答案:++…++>-
7.在△ABC中,不等式++≥成立;在四邊形ABCD中,不等式+++≥成立;在五邊形ABCDE中,不等式++++≥成立,猜想在n邊形A1A2…An中,類似成立的不等式為________.
解析:n=3時,不等式為++≥,
n=4時,不等式為+++≥,
n=5時,不等式為++++≥,
…
猜想++…+≥.
答案:++…+≥
8.若不等式++…+>對大于1的一切自然數(shù)n都成立,則自然數(shù)m的最大值為________.
解析:令f(n)=++…+,
易知f(n)是單調(diào)遞增的.
所以
6、f(n)的最小值為f(2)=+=.
依題意>,
所以m<14.
因此取m=13.
答案:13
9.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=a-nan+1.求證:an≥n+2.
證明:①當n=1時,a1=3=1+2,即an≥n+2成立.
②假設(shè)當n=k(k≥1,k∈N+)時,不等式成立,即ak≥k+2.
那么當n=k+1時,ak+1=a-kak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2(k+2)+1>k+3=(k+1)+2,也就是說,當n=k+1時,ak+1>(k+1)+2.
由①②可知an≥n+2對一切n∈N*都成立.
10.設(shè)a∈R,f(x)=是定義在R
7、上的奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)如果g(n)=,試比較f(n)與g(n)的大小(n∈N+).
解:(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
所以f(0)=0,故a=1.
(2)f(n)-g(n)=-=.
只要比較2n與2n+1的大?。?
當n=1,2時,2n<2n+1,f(n)2n+1,f(n)>g(n).
下面證明,n≥3時,2n>2n+1,即f(n)>g(n).
①當n=3時,23>2×3+1,顯然成立,
②假設(shè)n=k(k≥3,k∈N+)時,2k>2k+1,
那么n=k+1時,2k+1=2×2k>2(2k+1).
2(2k+1)
8、-[2(k+1)+1]=4k+2-2k-3=2k-1>0(因為k≥3),
有2k+1>2(k+1)+1.
所以當n=1,2時,f(n)g(n).
[B 能力提升]
1.已知x∈R+,不等式x+≥2,x+≥3,…,可推廣為x+≥n+1,則a的值為( )
A.2n B.n2
C.22(n-1) D.nn
解析:選D.由已知中不等式:
x+≥2,
x+=x+≥3,
x+=x+≥4,
…,
歸納可得,不等式左邊第一項為x,第二項為,右邊為n+1,故第n個不等式為x+≥n+1,故a=nn,選D.
2.設(shè)a,b均為正實數(shù),
9、n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,則M,N的大小關(guān)系為________(提示:利用貝努利不等式,令x=).
解析:由貝努利不等式(1+x)n>1+nx
(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),
當n>1時,令x=,
所以>1+n·,
所以>1+n·,
即(a+b)n>an+nan-1b.
當n=1時,M=N,
故M≥N.
答案:M≥N
3.設(shè)xn=,yn=,n=1,2,…,求證xn1-=1-,
即>1-,
故>
===.
故xn
10、n+1.
再證yn+11+>1+,
即>1+,
>1+,
即<,
<.
故yn+1
11、.
假設(shè)ak∈[0,1](k∈N+,k≥1),
則ak+1=ca+1-c≤c+1-c=1,且ak+1=ca+1-c≥1-c≥0,
故ak+1∈[0,1].
由數(shù)學歸納法,知an∈[0,1]對所有的n∈N+成立.
綜上,可得an∈[0,1]對任意n∈N+成立的充分必要條件是c∈[0,1].
(2)設(shè)0