《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 二 推理與證明練習(xí) 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 二 推理與證明練習(xí) 新人教A版選修2-2（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、二 推理與證明 [A　基礎(chǔ)達標] 1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（　　） A.2 B.－ C. D.－ 解析：選A.因為＝＝是純虛數(shù)，所以a＝2. 2.已知復(fù)數(shù)z1＝＋i，z2＝－＋i，則z＝在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（　?。? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：選D.因為z1＝＋i，z2＝－＋i，所以z＝＝＝＝－i，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第四象限.故選D. 3.對于數(shù)25，規(guī)定第1次操作為23＋53＝133，第2次操作為13＋33＋33＝55，第3次操作為53＋53＝250，如此反復(fù)操作，則第2 018次操作后得到的

2、數(shù)是（　?。? A.25 B.250 C.55 D.133 解析：選C.由規(guī)定：第1次操作為23＋53＝133，第2次操作為13＋33＋33＝55，第3次操作為53＋53＝250，第4次操作為23＋53＋03＝133，……，故操作得到的數(shù)值周期出現(xiàn)，且周期為3.又2 018＝3×672＋2，故第2 018次操作后得到的數(shù)等于第2次操作后得到的數(shù)，即55，故選C. 4.已知命題1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）及其證明： （1）當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，所以等式成立； （2）假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k

3、＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以當(dāng)n＝k＋1時等式也成立. 由（1）（2），知對任意的正整數(shù)n等式都成立. 則以下說法正確的是（　　） A.命題、推理都正確 B.命題正確、推理不正確 C.命題不正確、推理正確 D.命題、推理都不正確 解析：選B.命題正確，但證明n＝k＋1時沒有用到假設(shè)的結(jié)論，故推理不正確. 5.對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2≠0； ②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立. 其中判斷正確的個數(shù)為（　?。? A.0 B.

4、1 C.2 D.3 解析：選B.若（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0，則a＝b＝c，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故①正確.a＝b與b＝c及a＝c中最多只能有一個成立，故②不正確.由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個數(shù)相等或三個數(shù)都互不相等，故③不正確. 6.已知m∈R，復(fù)數(shù)－的實部和虛部相等，則m＝　　　　. 解析：由－＝－＝－＝，由已知得＝，則m＝. 答案： 7.在平面幾何中：△ABC中∠C的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為＝.把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中（如圖），DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E，則得到類

5、比的結(jié)論是　　　?。? 解析：由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得＝. 答案：＝ 8.觀察下列等式： S1＝n2＋n， S2＝n3＋n2＋n， S3＝n4＋n3＋n2， S4＝n5＋n4＋n3－n， S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2， … 可以推測，A－B＝　　　　. 解析：由S1，S2，S3，S4，S5的特征，推測A＝.又Sk的各項系數(shù)的和為1，所以A＋＋＋B＝1，所以B＝－.故A－B＝＋＝. 答案： 9.已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法證明：|x＋y|≤|1＋xy|. 證明：要證|x＋y|≤|1＋xy|， 即證（x＋y）2≤（1＋xy）2， 即證

6、x2＋y2≤1＋x2y2， 即證（x2－1）（1－y2）≤0， 因為|x|≤1，|y|≤1， 所以x2－1≤0，1－y2≥0， 所以（x2－1）（1－y2）≤0，不等式得證. 10.設(shè)f（x）＝，g（x）＝（其中a>0，且a≠1）. （1）5＝2＋3，請你推測g（5）能否用f（2），f（3），g（2），g（3）來表示； （2）如果（1）中獲得了一個結(jié)論，請你推測能否將其推廣. 解：（1）由f（3）g（2）＋g（3）f（2）＝·＋·＝， 又g（5）＝， 因此g（5）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2）. （2）由g（5）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2）， 即g（2＋3

7、）＝f（3）g（2）＋g（3）f（2）， 于是推測g（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y）. 證明：因為f（x）＝， g（x）＝（大前提）. 所以g（x＋y）＝， g（y）＝，f（y）＝， （小前提及結(jié)論） 所以f（x）g（y）＋g（x）f（y） ＝·＋· ＝ ＝g（x＋y）.故推測正確. [B　能力提升] 11.定義：如果函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)的給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a

8、＝x3＋mx是[－1，1]上的平均值函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　. 解析：由f（x）＝x3＋mx是[－1，1]上的平均值函數(shù)，知關(guān)于x的方程x3＋mx＝在區(qū)間（－1，1）上有解，即方程x3＋mx－m－1＝0在區(qū)間（－1，1）上有解，就是方程m＝－x2－x－1在區(qū)間（－1，1）上有解.因為當(dāng)x∈（－1，1）時，－x2－x－1＝－－∈，所以m的取值范圍是. 答案： 12.傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù)： 將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}.可以

9、推測： （1）b2 016是數(shù)列{an}中的第　　　　項； （2）b2k－1＝　　　　（用k表示）. 解析：觀察知這些三角形數(shù)滿足an＝，n∈N*，當(dāng)n＝5k－1或n＝5k，k∈N*時，對應(yīng)的三角形數(shù)是5的倍數(shù)，為數(shù)列{bn}中的項，將5k－1和5k列為一組，所以b2 016是第1 008組的后面一項，即b2 016是數(shù)列{an}中的第5×1 008＝5 040項；b2k－1是第k組的前面一項，是數(shù)列{an}中的第5k－1項，即b2k－1＝a5k－1＝. 答案：（1）5 040　（2） 13.設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0.

10、 （1）證明：l1與l2相交； （2）證明：l1與l2的交點在橢圓2x2＋y2＝1上. 證明：（1）假設(shè)直線l1與l2不相交，則l1與l2平行， 由直線l1與l2的方程可知實數(shù)k1，k2分別為兩直線的斜率，則有k1＝k2， 代入k1k2＋2＝0，消去k1，得k＋2＝0，k2無實數(shù)解，這與已知k2為實數(shù)矛盾， 所以k1≠k2，即l1與l2相交. （2）法一：由方程組，解得 故l1與l2的交點坐標為. 而2＋ ＝ ＝＝1. 此即表明l1與l2的交點在橢圓2x2＋y2＝1上. 法二：l1與l2的交點P的坐標（x，y）滿足故知x≠0. 從而 代入k1k2＋2＝0， 得·＋

11、2＝0， 整理后，得2x2＋y2＝1， 所以交點P在橢圓2x2＋y2＝1上. 14.（選做題）觀察下列各不等式： 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， 1＋＋＋＋<， … （1）由上述不等式，歸納出一個與正整數(shù)n（n≥2）有關(guān)的一般性結(jié)論； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的結(jié)論. 解：（1）觀察上述各不等式，得到與正整數(shù)n有關(guān)的一般不等式為1＋＋＋＋…＋<（n∈N*，且n≥2）. （2）證明：①當(dāng)n＝2時，由題設(shè)可知，不等式顯然成立. ②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥2，k∈N*）時，不等式成立，即 1＋＋＋＋…＋<， 那么，當(dāng)n＝k＋1時，有 1＋＋＋＋…＋＋<＋<＋＝＋＝2－＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立. 根據(jù)①和②，可知不等式對任何n∈N*且n≥2都成立. 7